參與數(shù)學證明，建構數(shù)學模型

伍曉艷

一、教學內容

《義務教育教科書數(shù)學》（人教版）六年級下冊第70頁、第71頁例1、例2

二、教學背景

《抽屜原理》是人教版六年級數(shù)學下冊數(shù)學廣角中的教學內容?！俺閷显怼痹谏钪杏袕V泛的應用，學生也會常常遇到實例，但并不能有意識地從數(shù)學的角度來理解和運用。因此能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律并參與證明，建立數(shù)學模型是本課的重點。教材中例1介紹了簡單的“抽屜原理”，意圖是讓學生發(fā)現(xiàn)這樣的一種存在現(xiàn)象。教材中呈現(xiàn)了兩種思維方法：一是枚舉法，羅列了擺放的所有情況。二是假設法，用平均分的方法直接考慮“至少”的情況。通過例1兩個層次的探究，讓學生理解“平均分”的方法能保證“至少”的情況，能用這種方法在簡單的具體問題中解釋證明。例2在例1的基礎上說明：只要物體數(shù)比抽屜數(shù)多，總有一個抽屜里至少放進（商+1）個物體。例2的目的是使學生進一步理解“盡量平均分”，能用有余數(shù)的除法算式表示思維的過程。

三、設計理念

本課設計從培養(yǎng)興趣入手，讓學生從游戲開始，帶著疑問進入課堂，為探究抽屜原理埋下伏筆。接著鼓勵學生自主探究，在觀察、操作、討論、交流、猜測、歸納、分析和整理的過程中，經歷問題的提出、概念的形成和結論的獲得的過程，初步經歷“數(shù)學證明”的過程，逐步提高學生的邏輯思維能力，并能夠從中感受到學習的樂趣，并主動地去探求知識，發(fā)展思維。

四、教學目標

1、經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。通過觀察、發(fā)現(xiàn)、猜測、驗證、分析等數(shù)學活動，建立數(shù)學模型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，滲透“建?！彼枷搿?/p>

2、經歷從具體到抽象的探究過程，提高學生有根據(jù)、有條理地進行思考和推理的能力。

3、通過“抽屜原理”的靈活應用，提高學生解決數(shù)學問題的能力和興趣，感受到數(shù)學文化及數(shù)學的魅力。

教學重點：經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”。

教學難點：理解“抽屜原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。

五、教學過程

（一）預言激趣，導入新課

（出示撲克牌）

同學們，魔術師常用撲克變魔術，老師可不會變魔術，不過，老師可以作出“預言”，你們相信嗎？請看，這有一副完整的撲克，有54張，從中取出大、小王，還剩52張，現(xiàn)在請5名同學來，每人抽出1張牌，別讓老師看見！請看老師的“預言”：

（課件顯示）至少有2張牌是同花色的。

請5位同學亮出你們的撲克牌！我的預言正確嗎？（在交流中理解“至少”的含義，即總能找到不少于2張牌的花色相同）

你們想知道其中的奧秘嗎？希望在這節(jié)課的研究中，你們能發(fā)現(xiàn)其中秘密，學完之后，你也能成為“預言家”，有信心嗎？

【教學情景的創(chuàng)設，不僅要激發(fā)學生的學習積極性，更要重視情景導入的實效性。本節(jié)課撲克游戲中的“預言”，其實就是一個能真實反映“抽屜原理”本質的現(xiàn)象，不單單只起到導入新課的作用，更重要的是要為本節(jié)課的學習做好鋪墊。這節(jié)課最大的難點在于理解和準確描述“抽屜原理”。怎樣讓學生在理解的基礎上自然而然地來運用它呢？突破了這一點，后面的教學才能順利地展開。于是，我就通過“預言”，幫助學生理解 “至少”這個關鍵詞，為后面的教學做好鋪墊。游戲結束，告訴學生，這個游戲蘊涵著有趣的數(shù)學原理叫做“抽屜原理”。學生帶著疑問進入學習，激發(fā)了學生探究的興趣和學習積極性?！?/p>

（二）動手操作，初探原理

1.（課件出示）聰聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)：

將3支筆放到2個筆筒，不管怎么放，總要一個筆筒里至少放2支筆。

是這樣嗎？請你們試試。

（學生自己操作）

誰來說說你是怎么放的？（根據(jù)學生敘述課件顯示，并在黑板上作出記錄）

觀察我們記錄的結果，聰聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)正確嗎？

【這一環(huán)節(jié)把復雜的抽屜問題采取化繁為簡的方法，用筆和筆筒來研究。從最簡單的數(shù)據(jù)入手，采用列舉法，讓學生把3支筆放入2個筆筒的情況一一列舉出來，初步感知抽屜原理。】

2.我們的發(fā)現(xiàn)（例1）

將4支筆放到3個筆筒里，會是怎樣的呢？請同學們放放看，有幾種不同的放法？看你有什么發(fā)現(xiàn)，在研究過程中，別忘了記錄自己的擺放結果。

（教師巡視，了解情況，個別指導）

誰來展示一下你擺放的情況？（指名擺）根據(jù)學生擺的情況，師板書各種情況。

（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1），

通過剛才的擺放，你發(fā)現(xiàn)了什么？

不管怎么放，總要一個筆筒里至少放2支筆。

“總有”是什么意思？（一定有，一定能找到）

“至少放2支”什么意思？（不少于2支，可能是2支，也可能是多于2支，就是不可能比2支少）

同學們，我們做個假設，假設少于2支，那最多是幾支？結果會怎樣？（引導學生用假設法說理）

假設少于2支，那最多是1支，就算每個筆筒都放1支，3個筆筒最多能放3支，還有1支，總會放進某個筆筒，那這個筆筒就放了2支。所以，總有一個筆筒至少會放進2支筆。

這種假設法也能驗證我們的發(fā)現(xiàn)是正確的。請你試著用這種方法再說說。

你能用這種方法驗證聰聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)嗎？（3支放進2個筆筒）

假設少于2支，那最多是1支，就算每個筆筒都放1支，2個筆筒最多能放2支，還有1支，總會放進某個筆筒，那這個筆筒就放了2支。所以，總有一個筆筒至少會放進2支筆。

【在學生初步感知的基礎上，激發(fā)學生通過實際操作進一步探究抽屜原理，進而引導學生利用假設法說理。學生的思維水平自然地得到提升，讓學生體驗用不同的思維方法進行“數(shù)學證明”?！?/p>

（三） ?用“平均分”來演繹“抽屜原理”

同學們太棒了，“至少”就是要保證筆筒里的筆盡量少，那怎樣放就能保證筆筒里筆最少？請同學們討論一下？

1.交流之中得出方法

要想使筆筒里筆盡量少，那就要盡量分散。

怎樣才能盡量分散？（及盡量平均分）。將4支筆平均放在3個筆筒里，每個筆筒放1支，還剩1支總要放進某個筆筒，那這個筆筒就放進了2支?！驹趯W生能簡單進行描述的基礎上，引導學生理解抽屜原理的一般化模型。先讓學生探討：怎樣放就能保證筆筒里筆最少？從而得出把筆盡量的“平均分”到各個筆筒中，看每個筆筒中能分到多少支筆，剩下的筆不管放到哪個筆筒中，總有一個筆筒比平均分得的筆多1支，接著引導學生用有余數(shù)的除法來表示這一數(shù)學規(guī)律。在大量列舉之后，幫助學生建構這一類“抽屜問題”的模型】。