朱博 高亮 朱建良

摘 要： 為了產(chǎn)生更為復雜的混沌吸引子，提出了一個十維三次混沌系統(tǒng)。通過Lyapunov指數(shù)分析，證明了該系統(tǒng)混沌吸引子的存在。為了驗證系統(tǒng)的可實現(xiàn)性，設計了相應的實現(xiàn)電路，結(jié)果表明，電路仿真與系統(tǒng)仿真的結(jié)果完全一致。最后將系統(tǒng)應用于信號加密，收到了滿意的效果。為保密通信和信息加密等基于混沌的實際應用提供了新的混沌信號源。

關(guān)鍵詞： 十維混沌系統(tǒng)； 仿真； 電路實現(xiàn)； 信號加密

中圖分類號： O 415.5，TM 132 文獻標志碼： A 文章編號： 1671-2153（2016）03-0078-05

0 引 言

隨著信息技術(shù)的迅速發(fā)展，人們對信息的安全存儲和傳輸?shù)囊笠苍絹碓礁??；煦缧盘栆蚱渚哂蟹侵芷?、連續(xù)寬頻帶、類噪聲以及長期不可預測等特點，特別適合于信息加密通信等各個領域。

目前，低維混沌的理論和方法已在諸多領域有了成功的應用，但隨著研究的進一步深入，發(fā)現(xiàn)高維混沌系統(tǒng)具有更為復雜的動力學行為，更好的隨機性和不可預測性，將高維混沌系統(tǒng)用于保密通信、圖像加密、文本加密和語音加密等領域中，將會具有更大的密鑰空間和更高的安全性。所以，研究高維混沌系統(tǒng)的數(shù)學模型及其實現(xiàn)電路具有重要的理論和實際應用價值[1-3]。

本文提出了一個十維三次混沌系統(tǒng)，具有較大的Lyapunov指數(shù)和更為復雜的動力學行為。并設計了相應的實現(xiàn)電路，系統(tǒng)的Matalab仿真結(jié)果與所設計電路的Mutisim仿真結(jié)果完全一致，驗證了系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。最后應用十維三次混沌系統(tǒng)進行了信號加密，收到了滿意的結(jié)果。

1 十維三次混沌系統(tǒng)的數(shù)學模型

由式（3）可以看出，包含系統(tǒng)運動軌線的每個體積元都將以指數(shù)率e-95t收斂，它的漸近動力學行為最終會被限制在一個固定點上。這說明十維三次混沌系統(tǒng)的混沌吸引子是存在的。

Lyapunov指數(shù)是表征某一系統(tǒng)是否處于混沌狀態(tài)的一個重要定量指標，系統(tǒng)是否存在著非線性混沌動力學行為，可以從其最大的Lyapunov指數(shù)是否大于零而非常直觀的判斷出來：系統(tǒng)只要有一個正的Lyapunov指數(shù)，就說明在系統(tǒng)的相空間中，無論兩條相軌跡線的初始間距多么小，其差別都將會隨著時間的演化而成指數(shù)率的增加最終導致無法預測，這就是混沌現(xiàn)象。正的Lyapunov指數(shù)越大，說明系統(tǒng)的混沌動力學特性越復雜以及更加難以預測。

對十維三次混沌系統(tǒng)進行Lyapunov指數(shù)分析，計算結(jié)果如圖1所示。

其中：LE1=1.29384，LE2=0，LE3=-2.01961，LE4=-6.57374， LE5=-9.66362， LE6=-11.1757，LE7=-13.0704， LE8=-16.0464， LE9=-18.2757，LE10=-20.4586；可見系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，而且具有較為復雜的混沌動力學特性。

2 十維三次混沌系統(tǒng)的Matalab仿真結(jié)果

對十維三次混沌系統(tǒng)進行Matalab仿真，結(jié)果顯示該系統(tǒng)存在所有的二維和三維混沌吸引子，其中部分吸引子如圖2所示。

3 十維三次混沌系統(tǒng)的電路設計與仿真結(jié)果

十維三次系統(tǒng)的實現(xiàn)電路如圖3所示。該電路由10路通道組成，每一個通道對應一個變量x；每一通道電路由乘法器、反相加法比例運算器、反相積分器和反相器組成；反相加法比例運算器中的比例系數(shù)與系統(tǒng)方程系數(shù)一一對應，其中乘法器可由兩個模擬乘法器元件AD633組合實現(xiàn)[5-7]。

對所設計的電路，做Mutisim電路仿真運算，結(jié)果顯示出該電路存在所有的二維混沌吸引子，而且與系統(tǒng)的Matalab仿真結(jié)果完全一致。其中部分吸引子如圖4所示。

4 基于十維三次混沌系統(tǒng)的信號加密

混沌信號加密就是對原始信號采用混沌信號掩蓋，利用混沌掩蓋技術(shù)可以傳輸數(shù)字信號和模擬信號，其基本思想是以混沌同步信號為基礎，把需要加密的信號疊加到混沌信號上，達到信號保密傳輸?shù)哪康腫8-9]。

信號解密的基本原理就是將與發(fā)射端自相同步的混沌信號解調(diào)裝置放置在信號傳輸系統(tǒng)的接收端，將隱藏的混沌信號從接收到的信號中去掉，還原為原始信號，從而實現(xiàn)信號的解密。

圖5為信號加密的仿真模型。圖5（a）為1次信號迭加加密仿真模型；圖5（b）為待傳輸?shù)姆讲ㄐ盘?；圖5（c）為方波信號經(jīng)過1次迭代加密后已經(jīng)失去原有特點變得無法辨認。由圖5（d）可以看出，原始方波信號在經(jīng)過十維三次混沌系統(tǒng)多次加密后發(fā)生了更大程度的改變，已經(jīng)無法被識別出來，確保了信號在傳輸過程中的安全。

信號的解密過程就是信號加密的逆過程，只有知道原始混沌源和加密的相加減方式以及相應的迭代次數(shù)才能進行信號的解密，否則將無法破譯，如圖6所示。

如果把原始混沌信號源的各個混沌信號乘以某一倍數(shù)，以及相加減方式和迭代次數(shù)設置為密鑰將會大大增加解密難度，將會更加提高信號傳輸?shù)陌踩訹10]。

5 結(jié) 論

本文提出了一個十維三次混沌系統(tǒng)以及相應的硬件實現(xiàn)電路，通過Lyapunov指數(shù)分析及系統(tǒng)仿真，得出如下結(jié)論：

（1）十維三次混沌系統(tǒng)具有較大的Lyapunov指數(shù)和更為復雜的動力學行為。系統(tǒng)的MATLAB仿真結(jié)果與相應的實現(xiàn)電路的MULTISIM仿真結(jié)果完全一致，證明了該系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。

（2）所設計的電路結(jié)構(gòu)對稱簡單，容易實現(xiàn)和調(diào)試。

（3）利用十維三次混沌系統(tǒng)對方波信號進行加密、解密，得到了滿意的結(jié)論，說明了該系統(tǒng)的可應用性。

隨著混沌研究的進一步深入，設計并構(gòu)造出新的更高維數(shù)的混沌系統(tǒng)以及相應的硬件實現(xiàn)電路，必將成為混沌理論和應用研究的一個方向。

參考文獻：

[1] ZHU J L，ZHAO H C.Five-Dimensional Chaotic System and Its Circuitry mplementation[C]. 2nd International Congress on Image and Signal Processing，Tianjin，2009：4232-4236.

[2] ZHU J L，ZHANG D Q. Eight Dimension Seven-order Hyperchaotic System and Its Circuit Implementation [J]. IEEE International Conference on Measurement， Information and Control，2013：950-954.

[3] 禹思敏，丘水生，羅偉民. 混沌通信的研究進展與綜合評述[J]. 桂林電子工業(yè)學院學報：2000，20（1）：56-72.

[4] 王繁珍，齊國元，陳增強. 一個四翼混沌吸引子[J]. 物理學報，2007，56（6）：3137-3144.

[5] 楊曉松，李清都. 混沌系統(tǒng)與混沌電路[M]. 北京：科學出版社，2007：26-45.

[6] 王光義，丘水生，許志益. 一個新的三維二次混沌系統(tǒng)及其電路實現(xiàn)[J]. 物理學報，2006，55（7）：3295-3300.

[7] 聶典. Multisim9計算機仿真在電子電路中的應用[M]. 電子工業(yè)出版社，2007：1-50.

[8] 張博亞，張大慶，朱建良. 七維四次超混沌系統(tǒng)及其在信號加密中的應用[J]. 自動化技術(shù)與應用，2013，32（11）：56-60.

[9] 張大慶，朱建良. 六維三次超混沌系統(tǒng)及其在圖像家加密的應用[J]. 寧波職業(yè)技術(shù)學院學報，2013，17（4）：79-82.

[10] 李昌剛，韓正之，張浩然. 一種隨機密鑰及“類標準映射”的圖像加密[J]. 計算機學報，2003，26（4）：465-470.

Abstract： In order to produce a more complex chaotic attractors， we presented a ten-dimensional three-order chaotic system. It has been proved that the system is chaotic attractors existence by Lyapunov exponent analysis. In order to verify that the system can be realized， in this paper， a corresponded circuit has been designed to implement it and the result of circuit simulation and system simulation was exactly same. Finally， applying the system to signal encryption and have received a satisfied result. This provides a new signal source of confidential communications and information encryption based on chaos practical application.

Keywords： 10-D chaos system； simulation； circuit implementation； signal encryption

（責任編輯：徐興華）