強化數(shù)學建模 培養(yǎng)創(chuàng)新能力

陳文，湖北省武漢市第二十九中學教導處主任，中學高級教師，湖北省“課內(nèi)比教學，課外訪萬家”活動先進個人，武漢市2014年度“高效課堂建設(shè)”先進個人，武漢市硚口區(qū)第九批學科帶頭人，第三批硚口區(qū)骨干教師，武漢市”黃鶴英才“培養(yǎng)對象。先后在省級刊物發(fā)表文章5篇，參與了3個國家級課題研究和結(jié)題報告的撰寫，主編了特色校本課程《幾何畫板——數(shù)學學習的助推器》，承擔了5套教輔類書籍的編寫和修訂。

越來越多的人認為數(shù)學教學是一種模式化的教學，讓學生能夠在豐富多彩的各種問題中概括提煉數(shù)學模型，并熟練掌握各種基礎(chǔ)數(shù)學模型，應用基礎(chǔ)模型解決實際問題是學習數(shù)學、應用數(shù)學和發(fā)展數(shù)學的基礎(chǔ)。高中數(shù)學課程標準中已明確提出函數(shù)模型與函數(shù)建模有關(guān)內(nèi)容的教學要求，同時強調(diào)數(shù)學學習的本質(zhì)是培養(yǎng)有效的數(shù)學思維和應用數(shù)學的能力，在高中數(shù)學教學中強化數(shù)學建模意識，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的重要載體。

一、經(jīng)歷基礎(chǔ)數(shù)學模型構(gòu)建的過程，

內(nèi)化建模認知

1.基礎(chǔ)數(shù)學模型是模型建立的基礎(chǔ)

課堂是教師和學生交流的主要場所，隨著課堂改革的深入，教學越來越不受時間和空間限制。但教師和學生的主要交流方式仍然是在課堂上，所以，教師應該充分利用課堂教學向?qū)W生內(nèi)化建模認知，并滲透建模思想?，F(xiàn)行教材對各種公式、定理和法則等，都非常注重其知識的形成過程，而得到這些基礎(chǔ)模型往往就是一個建立模型的過程，所以注重知識形成過程的教學，能很好地內(nèi)化建模認知和滲透建模思想。

在教學實踐中，教師可以利用教材，以教材上的知識點為基礎(chǔ)，采用微課和導學案等形式，在學生掌握基本知識的基礎(chǔ)上進行適當延伸，或通過教材上的實例展開小組學習和討論，進一步體會建模過程反復和逐漸優(yōu)化的特性，在教學中向?qū)W生提供適時的指導，讓學生自己通過對基礎(chǔ)模型形成過程的理解，做到舉一反三，在舊有知識上生出新的知識和方法。

比如，學生通過對等差數(shù)列概念及性質(zhì)的探究，體會等差模型的研究方法和特點，就會比較輕松地實現(xiàn)等比數(shù)列的模型探究，從而讓學生自己完成對新知識的建構(gòu)。學生對自身的認識結(jié)構(gòu)進行調(diào)整后，通過對等差、等比數(shù)列的基本理解和掌握，就能創(chuàng)造性地研究其他類型的數(shù)列，從一個單一的等差、等比數(shù)列的認知狀態(tài)，過渡到另一個可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)學模型的認知和性質(zhì)研究，真正意義上實現(xiàn)授生以漁。

2.基礎(chǔ)函數(shù)模型是高中數(shù)學建模的重點

高中教材中的函數(shù)模型最為普遍。函數(shù)模型是用函數(shù)形式來表達的數(shù)學模型，即用基礎(chǔ)函數(shù)模型對生活中普遍存在的利潤、成本、效益、用料等實際問題進行轉(zhuǎn)化、抽象、歸納和加工，建立相應的基礎(chǔ)函數(shù)模型的復合形式，運用函數(shù)的方法解決實際問題。

只有在對基礎(chǔ)函數(shù)模型掌握得比較準確熟練后，學生才能通過轉(zhuǎn)化、遷移、發(fā)散和抽象，把復雜的問題簡單化，把未知的問題熟悉化，把實際生活問題數(shù)學化，從而培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化能力、想象能力和創(chuàng)新意識。常見的有一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、對勾函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和由以上函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)以及復合函數(shù)等。同一個問題的解決可以有各種不同的模型建構(gòu)，不同問題也可以利用同一模型解決。同時，對實際問題和相對復雜的問題，往往還需要多個模型聯(lián)系、整合和抽象，借助導數(shù)、向量、方程和積分才能解決。

正確地將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型是解決問題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化來源于對已知條件的綜合分析、歸納與抽象，并與熟知的函數(shù)模型相比較，從而確定適用的函數(shù)模型，利用函數(shù)構(gòu)造數(shù)學模型來解決實際問題，這對于學生的數(shù)學學習至關(guān)重要。如何有效落實函數(shù)模型的教學，讓學生體會、理解和掌握函數(shù)模型及函數(shù)模型建立是函數(shù)模型教學的重心。由于生活中具有函數(shù)特征的問題很豐富，也不難轉(zhuǎn)化，所以教學中應該用生本理念去推動學生自主發(fā)現(xiàn)、自主調(diào)查、自主質(zhì)疑、自主探究和小組交流分享，從而實現(xiàn)知識建構(gòu)的實踐性、豐富性和有效性。

比如，教師在進行指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型應用的教學時，可以通過生活中具備二元關(guān)系的問題，組織學生先進行社會調(diào)查，從調(diào)查數(shù)據(jù)中進行適當?shù)暮Y選，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)借助計算機進行函數(shù)模型探究，再根據(jù)模型對調(diào)查數(shù)據(jù)進行檢驗，檢驗過程中學生會自然提出對模型或數(shù)據(jù)的質(zhì)疑，自然引發(fā)模型方案的再探究，從而體會模型建立的反復性。通過這樣一個反復探究的過程，學生不僅對函數(shù)模型的認識達到一個新的高度，同時培養(yǎng)并提升了對實際問題的轉(zhuǎn)化思路，這有利于他們掌握模型建立的方法。

二、精心設(shè)計前置性導學案，

引導學生開展模型自主探究

新課程改革要求進一步轉(zhuǎn)變教師角色，從側(cè)重知識傳授轉(zhuǎn)變?yōu)橐I(lǐng)學生尋求掌握知識的來源。數(shù)學建模的過程、途徑及其結(jié)果都是開放的。數(shù)學建模突破了以往以教室、教師、教材為中心的狀況，可以深入社會，可以由學生自主完成，也可以通過小組合作交流，甚至借助校外教授、專家等豐富的社會資源進行探究，極大地調(diào)動了學生的積極性，增強了學生學習的興趣和欲望；同時，強調(diào)學生的動手能力、統(tǒng)計能力、協(xié)調(diào)能力和表達能力及其團隊意識，多方位地提高學生的綜合素質(zhì)。在條件允許的情況下，盡可能地讓學生走出課堂，通過社會實踐和小組合作等方式去體會建模的基本步驟，在生活中應用數(shù)學模型，表達自己的見解。社會實踐、研究性學習以及生涯規(guī)劃等課程，能很好地引導學生走出去，學生從實踐中不僅能學到社會知識，還能加強溝通交流的能力。同時，在如何用數(shù)學模型解決生活中的實際問題方面，也將會取得良好效果。

基于此，課前教師應精心設(shè)計前置性學習導學案，為學生的探究活動掃除知識性、方向性的障礙，通過導學案引導學生去探究問題的關(guān)鍵所在，幫助學生克服畏難情緒，對模型構(gòu)建有一個初步的自主學習。前置性導學案應選擇教學低起點、緩坡度設(shè)置問題，用可持續(xù)拓展的思路編寫，以簡潔的形式抓住模型探究的主線，找準模型探究的重難點，留給學生寬廣的探究空間，人人可做，人人又不一樣，使不同層次的學生得到不同程度的發(fā)展。通過自主學習探究，讓學生在”自主”中充分暴露思維、暴露問題，提高模型教學的針對性。

比如，關(guān)于測量類模型的建構(gòu)，設(shè)計導學案時應事先提醒學生對測量物體進行抽象化理解和對基本常識的掌握，同時鼓勵學生采用多種測量方式，對測量數(shù)據(jù)進行分析和優(yōu)化，從而突出測量方法的多樣性和科學性，歸納不同條件下的模型建立方法，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力。

三、創(chuàng)新數(shù)學模型教學，體會模型應用的樂趣

數(shù)學模型教學不能局限于教材，更不能拘泥于教材中的函數(shù)模型應用。應該著眼于培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識，著力于基礎(chǔ)模型的應用；培養(yǎng)學生分析和解決實際問題的能力，加強對實際問題的轉(zhuǎn)化和抽象；給予學生發(fā)展所需要的數(shù)學，立足為學生終身發(fā)展奠基；鼓勵學生研究解決生存、生活和服務社會所需要的數(shù)學。

中學數(shù)學教學中應融入數(shù)學建模思想，培養(yǎng)學生解決實際問題和應用問題的能力，使數(shù)學具有更高的教育價值和社會價值。在實際教學中要有意識地設(shè)置與生活息息相關(guān)的實際問題背景，培養(yǎng)學生關(guān)注生活、關(guān)注社會的主人翁意識。在教學素材的選取中要體現(xiàn)科學性，不能為教學方便的需要而隨意改變假設(shè)和數(shù)據(jù)，應盡可能地符合實際問題的需要，盡可能地讓素材做到層層遞進、環(huán)環(huán)相扣、首尾呼應。

在教學探究過程中，要注重學生的參與性。只有學生的廣泛參與才能更好地開展模型教學，對基礎(chǔ)薄弱的學生，更需要通過模型教學的參與來促進他們學習數(shù)學的興趣。也可以以探究過程為載體，讓學生主動學習、主動探究，讓每位學生都能在數(shù)學模型的應用和學習中獲得愉悅和成就感。在課后的鞏固中，要鼓勵學生加強反思、整理和質(zhì)疑，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)、題型歸類、方法模型提煉和問題延伸，感悟收獲。小組之間要對各自的反思及收獲進行交流，教師要結(jié)合學生的交流作建設(shè)性評價，并指導學生進一步完善和拓展，讓學生逐漸學會自主知識構(gòu)建和模型建構(gòu)的方法。

四、數(shù)學模型教學應融入教學的各個環(huán)節(jié)中

數(shù)學來源于生活，又服務于生活，新課引入教學應注重模型意識的滲透，因此，要充分挖掘新課知識所蘊含的實際背景，將現(xiàn)實生活中發(fā)生的與數(shù)學學習有關(guān)的素材適時引入課堂，提高學生學習數(shù)學的興趣，同時內(nèi)化為數(shù)學的應用模型；要將教材上的內(nèi)容通過生活中熟悉的事例，以情境再現(xiàn)的方式在課堂上展示給學生，描述數(shù)學問題產(chǎn)生的背景，以問題背景為導向開展新課程學習。

比如，三角函數(shù)模型應用中的溫度變化例題，教師可以事先安排學生對一天的溫度變化進行統(tǒng)計。為克服統(tǒng)計誤差，可以借助網(wǎng)絡(luò)或者全班學生的統(tǒng)計結(jié)果進行大數(shù)據(jù)處理，作為三角函數(shù)模型的引例，其真實性、趣味性和參與性得到了充分發(fā)揮。

新課探究過程應突出模型建立的方法、模型基礎(chǔ)應用和模型優(yōu)化探究，體驗模型思想，體會模型方法，歸納模型特征。積極引導學生自主探索、合作交流，對學習過程、學習材料進行主動歸納和提升，力求建構(gòu)出人人都能理解的數(shù)學模型，尋求最佳數(shù)學模型；在解釋與應用中體驗數(shù)學模型思想的實用性，用所建立的數(shù)學模型來解答實際生活中的問題，體會到數(shù)學模型的實際應用價值，體驗到所學知識的用途和益處，體驗到實際應用所帶來的快樂。比如，在探究三角函數(shù)的周期性變化的模型教學中，教材本是以抽象的圓為研究對象，而生活中的實例很多，教師在問題設(shè)置中不難找到實際背景下的應用問題，可以從娛樂城的各種圓盤玩具運行規(guī)律進行研究，也可以以天體運行為研究對象等。這些問題既是學生感興趣的，同時也可以更好地體現(xiàn)數(shù)學模型應用的價值。

復習課教學應注重解題模型的提煉和總結(jié)。數(shù)學學習離不開解題，高中階段的數(shù)學問題有較強的知識綜合性，需要思維的靈活性，但所考查的數(shù)學知識、方法和基本數(shù)學思想是不變的，題目形式的設(shè)置是相對穩(wěn)定的。因而，通過對答題思路的分析、梳理，構(gòu)建重點題型的解題模型，有利于培養(yǎng)學生抓住問題的本質(zhì)舉一反三的能力。

實際問題教學中應注重數(shù)學模型應用的有效探究。數(shù)學教學應該越來越向數(shù)學的本質(zhì)靠近，即教學生有用的數(shù)學。在教學中，可以選取更加鮮活的題材進行數(shù)學模型應用的教學，甚至可以通過社會實踐的調(diào)查和適當?shù)哪Ｐ图僭O(shè)來實現(xiàn)數(shù)學模型的對接，增強問題的開放性。雖然很費時費力，但學生能更好地體會問題，同時使問題更具開放性和教育性，實現(xiàn)模型應用的有效探究。

總之，在實際的數(shù)學教學過程中，應強調(diào)以生本理念為核心，充分調(diào)動學生積極性，鼓勵學生挖掘數(shù)學模型、探究數(shù)學模型和應用數(shù)學模型。通過強化數(shù)學模型的教學，讓學生在數(shù)學問題和實際問題間實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化、建立聯(lián)系，并了解數(shù)學在實際生活中的應用價值。這樣不僅能夠使學生更加牢固地掌握基礎(chǔ)數(shù)學模型和數(shù)學模型應用的方法，奠定堅實的數(shù)學基礎(chǔ)，從而提高課堂教學的效率，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，而且能夠讓學生學會建模的方法，從而掌握探究新知、解決和探索未知事物的有效途徑，逐步培養(yǎng)學生創(chuàng)新實踐能力。這樣極大地實現(xiàn)數(shù)學教學適應學生終身發(fā)展需要的功能，讓數(shù)學教學變得魅力無窮！

（責任編輯 郭向和）