廣義不變凸函數(shù)多目標(biāo)規(guī)劃的對偶性

◎雷 鳴 李文鈺 姜元政

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林 132013)

廣義不變凸函數(shù)多目標(biāo)規(guī)劃的對偶性

◎雷 鳴 李文鈺 姜元政

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林 132013)

本文討論了不變廣義凸函數(shù)多目標(biāo)規(guī)劃的對偶理論,弱對偶,直接對偶和逆對偶定理.將文[1]，[2]的結(jié)果給予推廣.

不變廣義凸函數(shù)；多目標(biāo)規(guī)劃；對偶理論

【項(xiàng)目】吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目：吉教科合字[2015]第133號.

一、引 言

多目標(biāo)規(guī)劃的對偶理論在多目標(biāo)規(guī)劃理論中占有重要的地位,它對多目標(biāo)最優(yōu)化問題中的求解以及最優(yōu)性條件的揭示中都起到重要的作用.因此,好多學(xué)者都在不斷地進(jìn)行深入的研究.

本文討論了如下形式的多目標(biāo)規(guī)劃(VP)和其對偶規(guī)劃(VD)的對偶理論.

其中x∈En,f(x),g(x)和h(x)分別為p維、m維和s維的向量函數(shù).?uΤg(x)+vΤh(x)?表示每個(gè)分量都是uΤg(y)+vΤh(y)的p維向量函數(shù)u∈Ep,v∈Es,λ∈Ep稱(VD)為(VP)的Lagrange對偶問題.

文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]分別討論了偽凸和擬凸多目標(biāo)規(guī)劃的對偶理論.本文就不變凸函數(shù)的一般情況給出了它的對偶理論.從而推廣了文[1]，[2]的結(jié)果.

二、定義與引理

記P={x|x∈En,g(x)≤0,h(x)=0,x≥0},稱P為多目標(biāo)規(guī)劃(VP)的可行域.

D={w|w=(y,u,v),u≥0,λΤf(y)+uΤg(y)+vΤh(y)=0}為(VD)的可行域.

定義2 稱F(x)是集合X?En上的次線性泛函,如果F(x)滿足：

(1)正齊次性：對?α≥0及x∈X,有F(αx)=αF(x)成立；

(2)次可加性：對?x,y∈X,有F(x+y)≤F(x)+F(y)成立.

我們構(gòu)造如下的單目標(biāo)規(guī)劃：

三、(VP)與(VD)的對偶理論

對于廣義F-凸函數(shù)而言,原問題(VP)的對偶問題(VD)具有如下形式,仍將其記為(VD).其可行域仍記為D,即

定理1 (弱對偶定理)若存在次線性泛函F(x),使f(x),g(x),±h(x)的每個(gè)分量函數(shù)都是P上的關(guān)于F(x)的F-凸函數(shù).則對任意的x∈P,w=(y,u,v)∈D及λ∈Λ+,都有λTf(x)≥λG(y,u,v)成立.

不難證明,在定理1,2,3中將F-凸函數(shù)分別換成F-擬凸和F-偽凸函數(shù)時(shí),則各定理仍然成立.即(VP)與(VD)之間關(guān)于有效解仍是對偶的.在此不予重述.

[1]林銼云.多目標(biāo)非線性規(guī)劃的對偶理論[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1981,3(1):18-26.

[2]林銼云.多目標(biāo)廣義凸規(guī)劃對偶理論[J].江西大學(xué)學(xué)報(bào)，1988，3(3)：3-13.

[3]MAHanson.OnSufficiencyoftheKuhn-Tuckercomditious.J.Math.Anal[J].1981，80(2)：545-550.