杜冬梅　張　昭　何　青　李　紅

華北電力大學(xué)，北京，102206

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基于時間序列差分特性的LMD端點效應(yīng)處理方法

杜冬梅張昭何青李紅

華北電力大學(xué)，北京，102206

摘要：局部均值分解方法在計算過程中會使信號在端部產(chǎn)生端點效應(yīng)，為減弱LMD中存在的端點效應(yīng)，提出了一種基于信號時間序列差分特性的端點延拓方法。將信號曲線看作一段離散函數(shù)，利用該函數(shù)段末端的一階差分和二階差分的符號判斷曲線的特征和發(fā)展趨勢，根據(jù)具體情況判定所延拓極值點的值。使用該方法對仿真信號和實驗軸承外圈故障和內(nèi)圈故障信號進行了分解，并將其結(jié)果與鏡像延拓改進的LMD方法分解的結(jié)果進行了對比。該方法在分解中的良好表現(xiàn)驗證了其在信號分析中的有效性。

關(guān)鍵詞：局部均值分解；端點效應(yīng)；時間序列差分；延拓

0引言

振動是反映機械設(shè)備運行狀態(tài)的重要參數(shù)，通過對機械設(shè)備振動信號的監(jiān)測分析，可以對設(shè)備的運行狀態(tài)進行監(jiān)視，及時發(fā)現(xiàn)設(shè)備出現(xiàn)的異常狀態(tài)，并對其原因作出分析判斷。時頻分析可以更好地判斷設(shè)備發(fā)生異常時的振動頻率變化，傳統(tǒng)的時頻分析方法有短時Fourier變換[1]、Gabor變換[2]、 Wignar-Ville分布[3]和小波變換[4-5]。短時Fourier變換、Gabor變換、Wignar-Ville分布和小波變換是在Fourier變換的基礎(chǔ)上利用窗函數(shù)將信號劃分為若干段分別求子段頻率的頻譜分析方法，它們可以確定頻率發(fā)生變化的時刻。但是利用窗函數(shù)對信號進行機械的劃分，不能自適應(yīng)地將信號中包含的固有模態(tài)成分分離出來，在信號分析中有一定的局限性。

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition, EMD)是Huang等[6]提出的一種自適應(yīng)的分解方法，能夠自適應(yīng)地將信號分解為一組頻率從高到低自動排列的本征模態(tài)分量和一個殘余分量，但EMD本身存在的端點效應(yīng)、模態(tài)混疊等問題較嚴(yán)重。Simth[7]提出了一種新的信號分解算法——局部均值分解(local mean decomposition, LMD)，采用移動平均的方式求取信號包絡(luò)線和均值，減小了EMD因樣條插值造成的嚴(yán)重的端點效應(yīng)，同時瞬時頻率具有了明確的物理意義。學(xué)者們對LMD作了許多研究，Yang等[8]利用高斯白噪聲具有頻率均勻分布的統(tǒng)計特性，在目標(biāo)信號中加入白噪聲以減弱LMD算法的模態(tài)混疊現(xiàn)象。Park等[9]將LMD引入復(fù)數(shù)域，從而使LMD算法可以進行多變量的信號分析。任達千等[10]將LMD的端點效應(yīng)與EMD作了比較，并提出了一種基于能量的端點效應(yīng)評價方法和鏡像延拓的端點效應(yīng)抑制方法，但鏡像延拓的極值點確定缺乏具體的理論依據(jù)。孟宗等[11]提出了基于對稱差分能量算子解調(diào)的LMD端點效應(yīng)抑制方法，實現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)機械故障的有效診斷，但LMD分解過程中產(chǎn)生的各分量的端點效應(yīng)難以避免。

本文針對LMD算法中存在的端點效應(yīng)問題，提出了基于信號時間序列差分特性的方法進行端點延拓，根據(jù)信號兩端時間序列的一階差分和二階差分的符號判斷信號的發(fā)展趨勢，對信號進行端點的延拓，從而大大減弱了LMD算法計算過程中的端點效應(yīng)，通過仿真信號和實驗軸承數(shù)據(jù)的分析，驗證了改進方法的有效性。

1LMD原理

LMD可以將原始信號自適應(yīng)地分解為一組頻率由高到低自動排列的乘積函數(shù)(product function, PF)分量，每個分量由一個純調(diào)頻信號和一個包絡(luò)信號相乘得到。LMD原理如下[12]。

(1)確定原始信號x(t)所有的局部極值點ni,j，計算相鄰兩個極值點ni,j和ni,j+1的平均值mk,i,j：

mk,i,j=(ni,j+ni,j+1)/2

(1)

將所有平均值mk,i,j用直線連接起來，然后利用滑動平均方法進行平滑處理，得到局部均值函數(shù)mk,i(t)。計算局部包絡(luò)估計值：

ak,i,j=|ni,j-ni,j+1|/2

(2)

將所有包絡(luò)估計值ak,i,j用直線連接起來，同樣利用滑動平均方法進行平滑處理，得到包絡(luò)函數(shù)ak,i(t)。其中，k為PF分量的個數(shù)，k=1,2,…,l；i為求取PF分量過程中的迭代次數(shù)，i=1,2,…,n；j為極值點下標(biāo)。

(2)將局部均值函數(shù)mk,i(t)從原始信號x(t)中分離出來：

hk,i(t)=x(t)-mk,i(t)

(3)

(3)用hk,i(t)除以包絡(luò)估計函數(shù)ak,i(t)，從而對hk,i(t)進行解調(diào)，得

sk,i(t)=hk,i(t)/ak,i(t)

(4)

理想地，sk,i(t)是一個純調(diào)頻函數(shù)，其包絡(luò)值為1。如果sk,i(t)不滿足此條件，則再將其作為原始時間序列，重復(fù)步驟(1)～(3)，直到某一調(diào)頻函數(shù)sk(t)的包絡(luò)值為1時停止。但是在實際應(yīng)用中，由于種種原因，純調(diào)頻信號的包絡(luò)值不能精確地為1，可設(shè)置一個閾值Δ，當(dāng)1-Δ≤a1n(t)≤1+Δ時，結(jié)束迭代。迭代得到的純調(diào)頻信號sk(t)求反余弦即可得到分量瞬時相位角：

φk=arccos(sk(t))/(2π)

(5)

由瞬時相位角對時間求導(dǎo)可得到瞬時頻率ωk：

ωk=dφk/dt

(6)

(4)將上述迭代過程中得到的所有包絡(luò)估計函數(shù)相乘，從而得到包絡(luò)信號ak(t)：

(7)

(5)將包絡(luò)估計函數(shù)ak(t)與純調(diào)頻函數(shù)sk(t)相乘，得到原始信號的第k個攜帶有用信息的分量CPFk(t)：

CPFk(t)=ak(t)sk(t)

(8)

(6) 將第一個分量CPF1(t)從原始時間序列x(t)中分離出來后，得到一個新的信號u1(t)，再將u1(t)視為原始信號，重復(fù)步驟(1)～(5)，循環(huán)l次，直到ul為一個單調(diào)函數(shù)或常數(shù)函數(shù)為止。最終可以得到一組攜帶有用信息的分量和一個殘余分量ul，即

(9)

循環(huán)結(jié)束后得到l個PF分量及其對應(yīng)的瞬時頻率，通過時頻圖能很容易地獲得各分量頻率隨時間變化的軌跡信息，從而從頻域?qū)π盘柛鹘M分進行更準(zhǔn)確的分析。本文涉及的LMD方法的迭代停止準(zhǔn)則都應(yīng)用了文獻[12]提出的停止準(zhǔn)則，減少了迭代過程中的計算量。

2LMD的改進

由于離散時間序列求取包絡(luò)估計值和平均值后，序列長度較原始時間序列會變短，故需要在端點延拓值才能進行后續(xù)的計算。但是所延拓點的值是一個未知數(shù)，無論采用何種延拓方法，分解得到的PF分量較信號原始組分都會有一定誤差。因此，可設(shè)法延拓序列使其更接近信號發(fā)展趨勢，盡可能地減弱端點效應(yīng)，從而使分析更真實可靠。

表1　基于序列差分特性的端點處理方法

(a)(t)>0,(t)>0,xe<0

(b)(t)>0,(t)>0,xe>0

(c)(t)>0,(t)<0,xe<0

圖1　信號右端曲線函數(shù)特征及延拓示意圖

x(s)-x(s-1)

(10)

其中，s∈t且s=k,k+1,…,e，k是離端點最近的拐點的下標(biāo)。函數(shù)x(t)外延拓點幅值為xe+Δx1，這樣可以避免如鏡像延拓方法中延拓至該點幅值為Ma而造成幅值過大的問題；如圖1d所示，若xe>0時延拓至xe+Δx1也是為了防止幅值過大。其他情況可作同理分析。

3仿真分析

為驗證新的極值點延拓方法的有效性，對仿真信號

x1=10sin(10πt)+30cos(100πt)+20cos(50πt)

進行分析，采樣頻率為1 kHz，采樣點數(shù)為1000。對比LMD方法改進前后的分解結(jié)果如圖2和圖3所示,圖中，CPF1、CPF2、CPF3、CPF4及C分別為各PF分量及殘余分量幅值。圖2所示為原始LMD方法的分解結(jié)果，原LMD方法單純將信號端點值視為極值點進行計算，將仿真信號分解為4個分量和1個殘余分量，第4分量為因誤差產(chǎn)生的虛假分量。從圖2中可以很容易看出在分解到第3分量時，組分兩端出現(xiàn)了嚴(yán)重偏差，并影響到信號內(nèi)部區(qū)域。

圖2　原始LMD方法分解結(jié)果一

圖3　改進LMD方法分解結(jié)果一

圖3所示為改進的LMD分解結(jié)果，包含3個組分和1個殘余分量，符合原始信號有3個不同頻率組分的事實，且到第3分量時端點效應(yīng)明顯減弱。端點效應(yīng)累積到第3分量時使信號產(chǎn)生較大的偏差，導(dǎo)致第3分量波形失真，第3分量分解結(jié)果與原組分的絕對誤差如圖4所示，從而驗證了改進方法的有效性。

圖4　第3分量絕對誤差對比一

用同樣的采樣頻率和采樣點數(shù)對仿真信號

x2=10sin(10πt)+30cos(120πt)+20sin(50πt)

進行分解得到圖5和圖6所示結(jié)果。對比圖5和圖6結(jié)果中的前3個分量可以發(fā)現(xiàn)，原始LMD結(jié)果在分解到第3分量時產(chǎn)生嚴(yán)重的端點效應(yīng)，并且影響到了信號內(nèi)部，而圖6中的端點效應(yīng)則有了明顯的改善。

圖5　原始LMD方法分解結(jié)果二

圖6　改進LMD方法分解結(jié)果二

圖7所示為LMD方法改進前后，分解到第3分量時產(chǎn)生的與原分量的絕對誤差對比。從圖7中可以很容易看出改進前產(chǎn)生了很大的誤差，并且嚴(yán)重影響到信號內(nèi)部；而應(yīng)用改進方法后，信號的分解結(jié)果有了很大的改善，使分解結(jié)果更可靠。

圖7　第3分量絕對誤差對比二

4實驗信號分析

實驗信號的驗證選取美國凱斯西儲大學(xué)軸承數(shù)據(jù)中心公開的電機驅(qū)動端SKF6205-2RS深溝球軸承外圈和內(nèi)圈故障數(shù)據(jù)，軸承參數(shù)見表2，故障特征頻率分別為108 Hz和162 Hz。采樣頻率為12 kHz，分析點數(shù)為6000。實驗信號的分解采用了鏡像延拓[13]改進的LMD方法和本文改進的LMD方法兩種方法進行對比。

表2　SKF6205-2RS軸承結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)　mm

對于軸承外圈故障信號，鏡像延拓LMD分解結(jié)果如圖8所示，得到2個分量；新方法改進的LMD分解如圖9所示，得到3個分量。圖8中第1分量對應(yīng)的頻譜中不能找到外圈故障特征頻率108 Hz，該分量含有較寬頻帶的噪聲成分和因故障產(chǎn)生的共振成分，第2分量對應(yīng)的頻譜中可以找到故障特征頻率，但其仍含有大量的噪聲成分。圖9中第1分量對應(yīng)頻譜中噪聲頻率能量明顯提高，并且改進后的算法在第2和第3分量中都能找到外圈故障特征頻率，說明改進的LMD方法對各頻率段的成分分解得更徹底，使故障分量信號特征更明顯，驗證了改進算法的優(yōu)越性。

圖8　外圈信號鏡像延拓LMD分解及頻譜

圖9　外圈信號新改進LMD分解及頻譜

對于軸承內(nèi)圈故障信號，鏡像延拓LMD分解結(jié)果如圖10所示，分解得到3個分量；新方法改進的LMD分解得到4個分量，如圖11所示。圖10、圖11在第2和第3分量對應(yīng)的頻譜中都能找到內(nèi)圈故障特征頻率162 Hz。從頻譜來看，圖10中第3分量包含的低頻成分比圖11中第3分量的低頻成分要多，而圖11分出4個分量，將圖10中第3分量進行進一步分解，使不同頻率段的信號得到了更為徹底的分解，由此驗證了新方法改進LMD的有效性。

圖10　內(nèi)圈信號鏡像延拓LMD分解及頻譜

圖11　內(nèi)圈信號新改進LMD分解及頻譜

5結(jié)語

本文針對LMD方法中存在的端點效應(yīng)問題，結(jié)合曲線函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)趨勢的原理，提出了基于信號序列差分的端點延拓方法。該方法兼顧了延拓點的誤差和算法的復(fù)雜程度兩個方面，在信號端點延拓一個盡可能接近下一個極值點的點以減弱端點效應(yīng)。利用該方法對仿真信號和實驗軸承外圈和內(nèi)圈故障信號進行了分析，驗證了該方法的實用性。

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(編輯陳勇)

A Processing Method to Weaken End Effects of LMD Based on Difference Performance of Time Series

Du DongmeiZhang ZhaoHe QingLi Hong

North China Electric Power University,Beijing,102206

Abstract:End effects occured at the ends of signals after calculating their envelope and mean value estimation with LMD algorithm. In order to weaken the influences, a continuation approach was proposed based on the difference performance of time series. It considered the signals as a discrete function, and judged the signal tendency by the signs of their first-order difference and second-order difference, determining the value of extreme points of continuation according to the specific situation.This new method was used to decompose the synthetic signals and test signals of rolling bearings with outer raceway faults and inner raceway faults, their results were compared with those decomposed by the LMD improved by mirror extension. Its good performance in decomposition validates the effectiveness of this new approach in signal analysis.

Key words:local mean decomposition(LMD); end effect; difference of time series; continuation

收稿日期：2015-06-25

基金項目：中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金資助項目(2014MS17)

中圖分類號：TH133.3; TH17

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.10.007

作者簡介：杜冬梅，女，1964年生。華北電力大學(xué)能源動力與機械工程學(xué)院教授。主要研究方向為狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷。張昭，男，1990年生。華北電力大學(xué)能源動力與機械工程學(xué)院碩士研究生。何青，男，1962年生。華北電力大學(xué)能源動力與機械工程學(xué)院教授。李紅，女，1977年生。華北電力大學(xué)能源動力與機械工程學(xué)院講師。