聯(lián)系圖形，巧解數(shù)學(xué)題

姜紅

七年級下學(xué)期第九章，同學(xué)們學(xué)習(xí)了《整式乘法與因式分解》，在學(xué)習(xí)完全平方公式時，我們用了以下圖形進(jìn)行驗證，用圖1的兩個正方形和兩個長方形拼成圖2的大正方形，再算其面積.

在學(xué)習(xí)因式分解時，我們也用到了類似的方法.

看下面的問題：

如圖3，陰影部分是邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形后所得到的圖形4，請借助此圖，驗證平方差公式.

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.初中數(shù)學(xué)研究的對象大致可分為數(shù)和形兩大部分.數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系就稱之為數(shù)形結(jié)合.

作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系.即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”.

其實，數(shù)形結(jié)合的思想方法，我們上學(xué)期就接觸到的.比如，在學(xué)習(xí)“絕對值”的概念時，我們說：數(shù)軸上，表示數(shù)a的點到原點的距離，就是數(shù)a的絕對值.像x-m這樣的代數(shù)式，也可以類似地看成是：數(shù)軸上，表示數(shù)a的點到表示數(shù)m的點的距離.借助這一思想方法，我們來試試解下面的問題：

方法二：數(shù)形結(jié)合

我們可以把代數(shù)式x-1+x-3看作兩個距離之和，即：數(shù)軸上，表示x的點與表示數(shù)1、3的兩點的距離之和.示意圖如下：

結(jié)合圖5，若表示數(shù)x的點P在數(shù)軸上移動，易知當(dāng)點P運動到1與3之間時，兩個距離之和最小，相當(dāng)于表示1與3的兩點之間的距離，即為2.故此，原式的最小值為2.

比較兩種解法可以發(fā)現(xiàn)，后者簡明扼要.同學(xué)們可以試著用這種方法解答第2題，答案在本文末找.小提示：x+3=x-（-3），故x+3可以看作表示x的點與表示-3的點之間的距離.

其實，數(shù)形結(jié)合這個獨特的思想方法，還有著很多的應(yīng)用.據(jù)傳，古希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯借助八個完全相同的直角三角形進(jìn)行拼圖，驗證了直角三角形的三邊a、b、c之間有著特殊的關(guān)系，你能借助下圖進(jìn)行探索嗎？

同學(xué)們找到a、b、c之間的關(guān)系了嗎？這就是我們下學(xué)期即將要學(xué)到的著名的勾股定理：直角三角形的兩直角邊a、b與斜邊c之間符合：a2+b2=c2.這個定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理.

用心觀察，運用經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想方法，也許將來的某一天，在數(shù)學(xué)論著中也能出現(xiàn)以你的名字命名的數(shù)學(xué)結(jié)論呢.

附：代數(shù)式x+3+x+2+x-1+x-2的最小值為8.

（作者單位：江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校）