賈達明，文平

(常州工學院數(shù)理與化工學院，江蘇常州213002)

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基于VaR的報童問題新解

賈達明，文平

(常州工學院數(shù)理與化工學院，江蘇常州213002)

摘要：試圖解釋管理者的報童問題決策，這些決策基于以下兩方面原因可能系統(tǒng)性偏離利潤最大化：一決策者可能具有不同于最大化利潤的偏好；二決策者可能應用其他方法選擇訂貨量。在2種不同決策方法下，討論了報童問題的解，并進行了必要的比較靜態(tài)分析。

關鍵詞：損失厭惡；報童問題；VaR

0引言

一個標準的隨機存貨管理模型是單階段報童問題。自從Arrow等[1]開始關注該問題之時，報童問題得到了來自各領域?qū)W者的廣泛研究。與之同名的故事是這樣講述的：早晨，報童必須決定從報社訂多少報紙。他所遇到的難題是他并不知道有多少顧客要買他的報紙，而他所訂報紙?zhí)?，將有可能因為報紙賣不出去而遭受損失，所訂報紙?zhí)伲瑒t有可能失去獲得額外利潤的機會。這種經(jīng)典的單階段存貯問題被稱為報童問題。報童問題在企業(yè)管理中經(jīng)常會出現(xiàn)，商業(yè)企業(yè)的訂貨量問題和生產(chǎn)企業(yè)的產(chǎn)出量問題都可歸結(jié)為報童問題，因此對報童問題的研究非常重要。

經(jīng)典的報童模型是建立在風險中性的假設基礎之上的，認為報童會選擇使期望利潤達到最大的訂貨量。然而，實證表明實際訂貨量往往偏離經(jīng)典報童模型的最優(yōu)訂貨量，且大部分實證結(jié)果還表明報童傾向于訂購比經(jīng)典報童模型最優(yōu)訂貨量少的貨物。為了解釋這種現(xiàn)象，學者們從不同角度對報童問題進行了研究。Eeckhoudt等[2]在期望效用理論框架下討論了風險厭惡的報童的訂貨量，并對影響訂貨量的各因素進行了比較靜態(tài)分析。文平[3]則在Kahneman、Tversky等[4-6]提出的預期理論(prospect theory)框架下對報童問題進行了討論，他的研究表明，訂貨量不僅與價格等因素有關，還與報童的損失厭惡程度有關，并且損失厭惡使得訂貨量比經(jīng)典報童模型的訂貨量少。Gotoh等[7]利用條件在值風險討論了報童問題。Wang等[8-9]同樣將損失厭惡運用于報童問題模型中，他發(fā)現(xiàn)假如短缺成本不被忽略，損失厭惡的報童的訂貨量要比經(jīng)典的報童的訂貨量要多。不過Wang所用的效用函數(shù)與文平所用的效用函數(shù)不同，自然所得研究結(jié)果也不相同。Herweg[10]假設報童是基于期望的損失厭惡的人，他認為報童的參照點是以往的利潤數(shù)據(jù)，在這些假設下，他推出報童的訂貨量要比經(jīng)典報童模型的訂貨量少。

為此，有必要在一種合理而又簡單的決策準則下對報童問題進行討論。本文試圖用一個替換的決策模型——損失厭惡來解決報童問題。之所以用損失厭惡去描述報童問題有兩方面原因：一是損失厭惡在金融、經(jīng)濟和組織行為等領域得到了強有力的支持；二是用損失厭惡去描述管理者的決策仍處于開始的階段。研究的目的就是從另外一個角度構(gòu)筑框架用以解釋為什么管理者的實際訂貨量異于經(jīng)典報童模型的最優(yōu)訂貨量。

1經(jīng)典報童模型

在報童問題中，管理者必須在面對隨機需求的前提下選擇訂貨量。設X為某一階段的隨機需求，其分布函數(shù)為F(x)，其概率密度函數(shù)為f(x)。假設貨物的單位成本為c，貨物的單位售價為p。如果貨物因賣不出去不得不以價格s售出，這里假設p>c>s。在經(jīng)典的報童問題中，最優(yōu)訂貨量Q*是在最大化期望利潤下得到的，它滿足

(1)

定義設X為1個隨機變量，其分布函數(shù)為F(x)。對于任意α∈(0,1)，稱相應的風險在值為F-1(α)，記為VaRα(X)。

根據(jù)以上定義，經(jīng)典報童問題的最優(yōu)訂貨量為

Q*=VaRα(X)

(2)

2損失厭惡的報童模型

2.1安全第一決策準則

一種決策準則是控制損失的概率，與之對應的風險測度是損失概率。根據(jù)Roy的觀點，人們決策時主要考慮的是避免災難的可能性。他提出的決策準則是安全第一，而給出的風險測度為損失的概率。Roy的風險測度被定義為

R(X)=P(X≤r)

(3)

(4)

則

(5)

所以

(6)

式中β反映管理者對虧損的容忍程度，β的取值越小，說明管理者對虧損的容忍程度越小，他的損失厭惡程度就越高；反之，β的取值越大，說明管理者對虧損的容忍程度越大，他的損失厭惡程度就越小。

為了獲得進一步的結(jié)論，下面對損失厭惡的管理者的最優(yōu)訂貨量進行比較靜態(tài)分析。

故有定理1 的結(jié)論。

該決策準則雖然簡單，卻具有重要的理論意義和現(xiàn)實意義，不僅表現(xiàn)在定理內(nèi)容與筆者的直覺是一致的，而且與實證也是一致的。定理1與定理2表明：管理者的損失厭惡程度是另外一個決定定貨量的重要因素，管理者的損失厭惡程度越高，管理者的最優(yōu)定貨量就越少；反之，管理者的損失厭惡程度越小，管理者的最優(yōu)定貨量就越多。定理2還表明隨著β從0變化到1，最優(yōu)定貨量從(p-s)L/(c-s)變化到(p-s)M/(c-s)。

2.2加權(quán)期望損失最小化

經(jīng)典報童問題的解決是在期望利潤最大準則下得到的，同樣經(jīng)典管理者問題的解決也可以在期望損失最小準則下得到。損失函數(shù)為

L(Q,X)=(p-c)max(0,X-Q)+(c-s)max(0,Q-X)

(7)

加權(quán)期望損失為

(8)

求導后，有

(9)

(c-s)F(Q)+(p-c)F(Q)-(p-c)=0

(10)

所以

(11)

可見，期望利潤最大準則與期望損失最小準則是等價的。仔細分析一下期望收益最大準則和期望損失最小準則，會發(fā)現(xiàn)兩者均存在缺陷。就以期望損失最小準則而言，它將欠缺損失與超額損失在人們決策中視為一樣的，這顯然與實際不符。所謂欠缺損失，即銷售量低于定貨量時由于部分產(chǎn)品賣不出去所遭受的損失，是看得見摸得著的損失，不妨稱之為顯性損失。而超額損失是由于銷售量高于定貨量時由于部分產(chǎn)品不夠賣所遭受的損失，是看得見摸不著的損失，不妨稱之為隱性損失。2種損失在決策中所起的作用是不同的。一般來講，欠缺損失所起的作用要大于超額損失。為了反映兩者作用的不同，在決策中應綜合考慮兩者的作用，為了正確衡量欠缺損失與超額損失的作用，不妨將期望損失最小準則修正為加權(quán)期望損失最小準則。加權(quán)期望損失為

(12)

式中λ為欠缺損失的權(quán)重，它介于0與1之間。

管理者選擇的報紙訂購量Q就是使w(Q)達到最小值的Q，為此讓w(Q)對Q求導得

(13)

則

(14)

所以

(15)

λ(c-s)F(Q)+(1-λ)(p-c)F(Q)-(1-λ)(p-c)=0

(16)

(17)

證明：

故定理3成立。

證明：

加權(quán)期望損失最小準則與控制損失概率準則雖然是2種不同的決策準則，但是得到的結(jié)論卻是類似的，比較靜態(tài)分析充分地說明了這一點。

2種決策準則中β與λ所起得作用卻不同，在加權(quán)期望損失最小準則中表示管理者對欠缺損失與超額損失的敏感程度。數(shù)值越大表明管理者對欠缺損失比較敏感,越小表明管理者對超額損失比較敏感。

3結(jié)論

報童問題是經(jīng)濟管理中常見的重要問題，對它的研究討論有助于管理者做出科學的、有效的決策。本文在控制損失概率準則以及加權(quán)期望損失最小準則下對報童問題進行了研究，并進行了比較靜態(tài)分析。研究發(fā)現(xiàn)：

1)報童的最優(yōu)訂貨量不僅與需求量的概率分布、價格、成本等因素有關外，還與人的損失厭惡程度以及人對欠缺損失與超額損失的厭惡程度不同有關。

2)在控制損失概率準則下,報童的損失厭惡程度越高，報童的最優(yōu)定貨量就越少；反之，報童的損失厭惡程度越小，報童的最優(yōu)定貨量就越多。隨著損失厭惡程度從0變化到1，最優(yōu)定貨量在需求量所在區(qū)間內(nèi)變化。

3)在加權(quán)期望損失最小準則下，如果報童對欠缺損失的厭惡程度高于超額損失，則報童的最優(yōu)定貨量較之經(jīng)典的最優(yōu)定貨量要小；反之，如果報童對欠缺損失的厭惡程度低于超額損失，則報童的最優(yōu)定貨量較之經(jīng)典的最優(yōu)定貨量要大。

4)一般來說，報童對欠缺損失的敏感程度要高于對超額損失的敏感程度，正是基于此，報童的最優(yōu)定貨量一般小于經(jīng)典的最優(yōu)定貨量。

[參考文獻]

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[10]HERWEG F.The expectation-based loss-averse newsvendor[J].Economics Letters,2013(3):429-432.

責任編輯：陳亮

A New Solution to Newsvendor Problem Based on Value-at-Risk

JIA Daming，WEN Ping

(School of Sciences and Chemical Engineering,Changzhou Institute of Technology,Changzhou 213002)

Abstract：This paper expounds on managers′ newsvendor decisions.These decisions may systematically deviate from profit maximization for several reasons.First,the decision maker may have preferences other than profit maximization.Second,the decision maker may apply a heuristic method to choose an inventory degree.Under the two different decision making,this paper discusses the newsvendor problem and reaches a solution to the newsvendor problem.Finally,comparative static effects of changes in the various price and cost are analyzed.

Key words：loss aversion;newsvendor problem;Value-at-Risk

doi:10.3969/j.issn.1671- 0436.2016.02.013

收稿日期：2016- 01- 03

作者簡介：賈達明(1958—)，男，副教授。

中圖分類號：F224

文獻標志碼：A

文章編號：1671- 0436(2016)02- 0055- 06