謝友方　王　玲　黃文德

1　湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，長(zhǎng)沙市麓山南路218號(hào)，410082 2　國(guó)防科技大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，長(zhǎng)沙市三一大道，410073

?

一種基于偽逆平差理論的導(dǎo)航星座整網(wǎng)定軌方法

謝友方1,2王玲1黃文德2

1湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，長(zhǎng)沙市麓山南路218號(hào)，410082 2國(guó)防科技大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，長(zhǎng)沙市三一大道，410073

摘要：針對(duì)分布式單星自主定軌存在的次優(yōu)解及濾波易發(fā)散等問(wèn)題，結(jié)合整網(wǎng)偽逆平差理論和航天器軌道動(dòng)力學(xué)定軌理論，提出一種導(dǎo)航星座整網(wǎng)自主定軌方法。討論衛(wèi)星網(wǎng)與大地自由網(wǎng)平差方法的區(qū)別，結(jié)合偽逆平差和衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)定軌方法，建立導(dǎo)航星座整網(wǎng)自主定軌方法，并給出整網(wǎng)定軌基本流程，最后以典型Walker星座為例進(jìn)行整網(wǎng)自主定軌仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明，在初始位置誤差1 m、星間測(cè)量噪聲0.1 m、不考慮鐘差的條件下，星座自主運(yùn)行5 d，每顆衛(wèi)星的定軌誤差均小于0.8 m，星座平均定軌誤差小于0.5 m,驗(yàn)證了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)航星座；自主定軌；整網(wǎng)平差；星間測(cè)量；偽逆

為解決導(dǎo)航星座自主定軌問(wèn)題，學(xué)者們提出了各種定軌方法[1-3]。僅利用星間觀測(cè)進(jìn)行星座自主定軌是一個(gè)經(jīng)典的自由網(wǎng)問(wèn)題[4]，由于網(wǎng)中所有節(jié)點(diǎn)位置未知，因此該方法缺少必要的起算數(shù)據(jù)，需選擇合理的估計(jì)方法。偽逆平差是一種可解決秩虧自由網(wǎng)的有效平差理論，其將自由網(wǎng)中所有點(diǎn)當(dāng)作未知數(shù)，網(wǎng)中點(diǎn)的相對(duì)位置不受已知點(diǎn)的支配。對(duì)于一個(gè)沒(méi)有固定數(shù)據(jù)的自由網(wǎng)，按照最小二乘原則確定平差改正值，得到一個(gè)最優(yōu)的相對(duì)網(wǎng)形，再根據(jù)各點(diǎn)近似值，利用最小范數(shù)條件得到平差結(jié)果[5]。因此，該方法本質(zhì)上屬于線性最小方差估計(jì)。本文討論了星座整網(wǎng)自主定軌的數(shù)學(xué)模型，提出整網(wǎng)偽逆平差模型和定軌流程。通過(guò)該方法對(duì)星座中衛(wèi)星的軌道參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并以Walker星座為例進(jìn)行仿真驗(yàn)證，得到一些有益的結(jié)論。

1星座整網(wǎng)自主定軌的數(shù)學(xué)模型

(1)

(2)

(3)

對(duì)式(3)進(jìn)行線性化，在第i、j衛(wèi)星概略位置處進(jìn)行泰勒展開(kāi)并保留一階項(xiàng)，有:

(4)

式中，

(5)

l=L-AX0

(6)

(7)

由于星間觀測(cè)對(duì)衛(wèi)星網(wǎng)整體運(yùn)動(dòng)的不可觀測(cè)性，其衛(wèi)星網(wǎng)只能構(gòu)成空間的相對(duì)位置約束，整個(gè)衛(wèi)星網(wǎng)缺乏一個(gè)絕對(duì)的參考基準(zhǔn)，因此不能直接對(duì)上式進(jìn)行求解。誤差方程中系數(shù)矩陣A的秩小于其列數(shù)，發(fā)生秩虧現(xiàn)象，相應(yīng)的法方程為：

NδX=ATPl

N=ATPA

(8)

式中，P為觀測(cè)噪聲權(quán)矩陣，法方程系數(shù)矩陣N發(fā)生奇異，凱利逆不存在，在最小二乘VTPV=min條件下得不到唯一解。

1.1平差方法

在衛(wèi)星網(wǎng)中，若沒(méi)有足夠的起算數(shù)據(jù)，或僅通過(guò)星間相對(duì)測(cè)量進(jìn)行解算，則誤差方程的系數(shù)矩陣為非列滿秩，相應(yīng)的法方程系數(shù)矩陣發(fā)生秩虧。應(yīng)用偽逆平差理論，將星座中所有待解參數(shù)作為未知數(shù)，整個(gè)平差網(wǎng)不固定在任何節(jié)點(diǎn)上。在求解誤差方程時(shí)，添加最小范數(shù)附加約束：

δXTδX=min

(9)

在滿足NδX=ATPl的約束條件下，求目標(biāo)函數(shù)δXTδX=min的極值。組成新的函數(shù)：

(10)

對(duì)δX求偏導(dǎo)數(shù)，令其等于0，得：

(11)

(12)

針對(duì)自由網(wǎng)平差問(wèn)題，國(guó)內(nèi)學(xué)者提出了很多有效的解決方法[5-7]。其中，最小二乘嶺估計(jì)方法通過(guò)引入嶺參數(shù)能夠較好地改善方程病態(tài)，其算法簡(jiǎn)單、易于操作，是解決秩虧問(wèn)題的經(jīng)典方法。因此，本文采用張艷[7]提出的最小二乘嶺估計(jì)進(jìn)行定軌方法的比較。應(yīng)用最小二乘嶺估計(jì)時(shí)，將式(8)中的法方程系數(shù)矩陣N替換成(N+kI)求解待估參數(shù)，其中k為嶺參數(shù)，一般取k=10-6。

整網(wǎng)星座平差定軌中，衛(wèi)星網(wǎng)是實(shí)時(shí)變動(dòng)的自由網(wǎng)。進(jìn)行星座的整網(wǎng)定軌時(shí)，需考慮各衛(wèi)星軌道的連續(xù)性。因此，采用軌道積分的方式計(jì)算下一時(shí)刻的軌道概略值，然后通過(guò)星間測(cè)量值，對(duì)軌道預(yù)報(bào)值進(jìn)行整網(wǎng)平差，得到優(yōu)化后各衛(wèi)星的軌道值。

1.2動(dòng)力學(xué)模型

(13)

式中，f表示衛(wèi)星受力模型。衛(wèi)星所受力包括二體引力、日月引力、地球非球形攝動(dòng)力、地球潮汐、太陽(yáng)光壓和大氣阻力等。W表示動(dòng)力學(xué)模型噪聲。一般情況下，無(wú)法得到式(13)的解析表達(dá)式，需要將上述軌道動(dòng)力學(xué)模型線性化。假設(shè)狀態(tài)參數(shù)X0在初始時(shí)刻和實(shí)際軌道足夠接近，則實(shí)際軌道可以在X0處線性化。令

(14)

則軌道動(dòng)力學(xué)模型線性化方程為：

(15)

式(15)一般解為：

(16)

2整網(wǎng)偽逆平差定軌方法及流程

整網(wǎng)偽逆平差定軌方法首先給出衛(wèi)星的概略軌道參數(shù)及其相應(yīng)的星間觀測(cè)權(quán)矩陣，然后讀取某一時(shí)刻所有星間測(cè)量值，利用動(dòng)力學(xué)軌道積分解算下一時(shí)刻的狀態(tài)參數(shù)，建立平差方程，利用偽逆平差算法修正衛(wèi)星的狀態(tài)值。當(dāng)星座衛(wèi)星所有時(shí)刻的觀測(cè)量全部讀完時(shí)，結(jié)束本次定軌流程，否則，循環(huán)計(jì)算各個(gè)時(shí)刻的衛(wèi)星軌道軌道。其流程如圖1所示。

整網(wǎng)偽逆平差方法中，通過(guò)軌道動(dòng)力學(xué)積分及狀態(tài)轉(zhuǎn)移解算，可以將兩相鄰時(shí)刻的軌道參數(shù)建立聯(lián)系，從而使整網(wǎng)定軌在時(shí)間上連續(xù)一致。通過(guò)偽逆平差的方法，添加目標(biāo)解的最小范數(shù)約束，用偽逆代替最小二乘平差中的凱利逆，可以解決目標(biāo)方程秩虧問(wèn)題，得到導(dǎo)航星座整網(wǎng)解算的唯一最優(yōu)解。

3仿真算例及結(jié)果分析

利用STK模擬仿真場(chǎng)景，建立仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。選取典型Walker星座為分析對(duì)象，Walker星座描述符為24/6/1，軌道高度取25 678 km，軌道傾角取55°。動(dòng)力學(xué)模型中，考慮地球重力場(chǎng)及日月引力，不確定模型主要考慮太陽(yáng)光壓，其他攝動(dòng)力暫不考慮。地球重力場(chǎng)參數(shù)JGM3為10×10階，光壓參數(shù)中面質(zhì)比取0.002 m2/kg，反射面系數(shù)取1.2。本文僅分析平差方法的定軌精度，不考慮鐘差延遲，認(rèn)為所有的觀測(cè)數(shù)據(jù)都已經(jīng)歸算到同一時(shí)刻。在進(jìn)行整網(wǎng)偽逆平差定軌中，以用戶偽距誤差值URE(user range error)作為指標(biāo)，其定義為[8]：

(17)

(18)

式中，URE(i)表示第i顆衛(wèi)星的URE值，R(i)表示徑向方向誤差，C(i)表示鐘差誤差，仿真時(shí)認(rèn)為其為0，P(i)表示水平方向誤差，UREM表示星座中N顆衛(wèi)星的平均URE值。

初始時(shí)刻由STK產(chǎn)生軌道數(shù)據(jù)，各衛(wèi)星的初始軌道見(jiàn)表1。

注：S為衛(wèi)星類型，V為該軌道面衛(wèi)星編號(hào)，a為軌道半長(zhǎng)軸，e為軌道偏心率，i為軌道傾角，RAAN為升交點(diǎn)經(jīng)度，w為近地點(diǎn)角距，M為平近點(diǎn)角。

初始時(shí)刻，星座中各衛(wèi)星加入均方根為1 m的隨機(jī)誤差，星間測(cè)量值加入均值為0.1 m的隨機(jī)誤差。星座自主運(yùn)行5 d，分別利用整網(wǎng)偽逆平差定軌方法和整網(wǎng)最小二乘嶺估計(jì)定軌方法，得到24顆衛(wèi)星平均URE變化曲線(圖2、圖3)。

為進(jìn)一步分析整網(wǎng)偽逆平差定軌方法對(duì)星座中各衛(wèi)星的定軌效果，給出自主運(yùn)行5 d，星座中衛(wèi)星URE變化最小(Sat1，圖4)、最大(Sat22，圖5)及第5 d各URE變化情況(圖6)。

從圖4～6可見(jiàn)，采用整網(wǎng)偽逆平差定軌方法，在加入初始位置誤差為1 m、星間噪聲為0.1 m的情況下，星座自主運(yùn)行5 d，給出URE值變化最小的一顆衛(wèi)星為Sat1，約為0.3 m；給出URE值最大的一顆衛(wèi)星為Sat22，約為0.8 m；運(yùn)行至第5 d，每顆衛(wèi)星URE均小于0.6 m。說(shuō)明整網(wǎng)定軌由于考慮每顆衛(wèi)星的幾何約束，各衛(wèi)星均有良好的定軌效果，并不會(huì)出現(xiàn)定軌誤差相差很大的情況。由圖2、圖3知，利用整網(wǎng)偽逆平差定軌方法，星座平均URE不超過(guò)0.5 m；利用整網(wǎng)最小二乘嶺估計(jì)定軌方法，星座平均URE約為0.6 m，且其發(fā)散程度大于前者。因此，偽逆平差理論可以應(yīng)用于星座整網(wǎng)定軌，在短時(shí)間內(nèi)，偽逆平差方法有利于解決星座不可觀測(cè)、抑制濾波發(fā)散等問(wèn)題。

4結(jié)語(yǔ)

整網(wǎng)偽逆平差定軌方法中，利用最小二乘原則和最小范數(shù)約束建立整個(gè)衛(wèi)星網(wǎng)的基準(zhǔn)，使整個(gè)自由網(wǎng)具有參考基準(zhǔn)，能有效解決整網(wǎng)秩虧問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，采用整網(wǎng)偽逆平差定軌方法，充分利用衛(wèi)星網(wǎng)的星間幾何構(gòu)型，可以得到衛(wèi)星軌道參數(shù)估計(jì)量的最優(yōu)解。星座網(wǎng)處于一個(gè)高動(dòng)態(tài)變化的狀態(tài)，采用動(dòng)力學(xué)定軌方法有利于解決星座中衛(wèi)星軌道連續(xù)性問(wèn)題。必須指出，在采取

整網(wǎng)偽逆平差方法定軌時(shí)存在部分衛(wèi)星URE值突跳問(wèn)題，可能與求解最小范數(shù)偽逆的條件數(shù)過(guò)大有關(guān)。另外，在短時(shí)間內(nèi)，該算法的定軌效果較好，但長(zhǎng)時(shí)間定軌時(shí)，該算法同樣存在因缺乏絕對(duì)基準(zhǔn)而導(dǎo)致平差結(jié)果發(fā)散的問(wèn)題。后續(xù)將針對(duì)此問(wèn)題展開(kāi)進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)

[1]劉經(jīng)南,曾旭平,夏林元.導(dǎo)航衛(wèi)星自主定軌的算法研究及模擬結(jié)果[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版,2004,29(12):1 040-1 044(Liu Jingnan, Zeng Xuping, Xia Linyuan. Algorithm and Simulation of Autonomous Orbit Determination for Navigation Satellites [J].Geomatics and Information Science of Wuhan University,2004,29(12):1 040-1 044)

[2]朱俊，文援蘭，陳貴忠，等.基于抗差UD分解濾波的導(dǎo)航星座整網(wǎng)定軌方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2010,32(6):1 299-1 304(Zhu Jun，Wen Yuanlan，Chen Guizhong, et al.Integrated Orbit Determination of Navigation Constellation Based on the Robust UD Factorization Filter[J].Journal of Systems Engineering and Electrics，2010,32(6):1 299-1 304)

[3]蘇天祥,文援蘭，藍(lán)柏強(qiáng),等.基于錨固站的導(dǎo)航星座分布式自主定軌研究[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2014,34(3):111-115(Su Tianxiang， Wen Yuanlan, Lan Baiqiang,et al.Study on Autonomous Orbit Determination of Navigation Constellation with Distribution Algorithm Based on Ground-Based Anchors [J]. Journal of Geodesy and Geodynamics,2014,34(3):111-115)

[4]劉林，劉迎春.關(guān)于星-星相對(duì)測(cè)量自主定軌中的虧秩問(wèn)題[J].飛行器測(cè)控學(xué)報(bào),2000,19(3):13-16(Liu Lin, Liu Yingchun. Deficient-Rank Problem of Satellite-to-Satellite Relative Measurement Autonomous [J]. Journal of Spacecraft TT&C Technology, 2000, 19(3):13-16)

[5]陶本藻.自由網(wǎng)平差與變形分析[M].武漢：武漢測(cè)繪科技大學(xué)出版社,2001 (Tao Benzao.Adjustment of Free Network and Deformation Analysis[M].Wuhan: Wuhan Technical University of Surveying and Mapping Publishing House, 2001)

[6]趙超英，黃觀文.秩虧自由網(wǎng)平差及其通解[J].地球科學(xué)與環(huán)境學(xué)報(bào),2010,32(2):215-217(Zhao Chaoying，Huang Guanwen.Rank Defect Free Net Adjustment and Its General Solution [J].Journal of Earth Sciences and Environment,2010,32(2):215-217)

[7]張艷.基于星間觀測(cè)的星座自主導(dǎo)航方法研究[D].長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué),2005 (Zhang Yan.Study on Autonomous Navigation of Constellation Using Inter-Satellite Measurement [D].Changsha:National University of Defense Technology,2005)

[8]Ananda M P, Bernstein H, Cunningham K E, et al.Global Positioning System (GPS) Autonomous Navigation[C]. Position Location and Navigation Symposium, New York, 1990

Foundation support:National Natural Science Foundation of China,No.41274023；Chinese Postdoctoral Science Foundation,No.2015M580365.

About the first author:XIE Youfang, postgraduate, majors in satellite navigation simulation system and method,E-mail：1260026086@qq.com.

A Method Based on Pseudo-Inverse Adjustments of Navigation Satellite Constellation Orbit Determination

XIEYoufang1,2WANGLing1HUANGWende2

1College of Electrical and Information Engineering, Hunan University, 218 South-Lushan Road, Changsha 410082,China 2College of Mechatronics Engineering and Automation, National University of Defense Technology, Sanyi Road,Changsha 410073, China

Abstract:This paper is concerned with the problem of suboptimal and divergence in distributed filtering for autonomous orbit determination of satellite navigation systems. This paper proposes a concentrated filtering method, in which the navigation satellite constellation is considered as a whole, and essentially, theories of pseudo-inverse adjustment and spacecraft dynamic orbit determination are combined. First of all, differences between free network adjustment of geodetic survey and that of spacecraft network are discussed.Then a method of satellite constellation orbit determination which combines pseudo-inverse adjustment theory and satellite orbit dynamics is constructed, and the relevant technological process is given primarily. Finally, an example of network of typical walker constellations is given. The simulation results show that the user range error (URE) of any satellite is less than 0.8 m, mean URE of the satellite network is less than 0.5 m after five days’ autonomy operation.This verifies the efficiency of the method.

Key words:navigation satellite constellation; autonomous positioning； whole network adjustment；relative measurement；pseudo-inverse adjustments

收稿日期：2015-10-22

第一作者簡(jiǎn)介：謝友方,碩士生，主要從事衛(wèi)星導(dǎo)航仿真系統(tǒng)及算法研究，E-mail：1260026086@qq.com。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.06.017

文章編號(hào)：1671-5942(2016)06-0544-04

中圖分類號(hào)：P228

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

項(xiàng)目來(lái)源：國(guó)家自然科學(xué)基金(41274023)；中國(guó)博士后科學(xué)基金(2015M580365)。