林漢燕　史旭明

(桂林航天工業(yè)學(xué)院　理學(xué)部，廣西　桂林　541004)

分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型下美式期權(quán)定價(jià)的切片法*

林漢燕**史旭明

(桂林航天工業(yè)學(xué)院理學(xué)部，廣西桂林541004)

摘要在市場(chǎng)股價(jià)滿足分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型的條件下，以支付紅利的美式看跌期權(quán)為例，應(yīng)用切片法研究定價(jià)的近似計(jì)算，得到一般算法。

關(guān)鍵詞分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型；美式期權(quán)；切片法

美式期權(quán)是持有人可以在合約規(guī)定的到期日前任一個(gè)工作日實(shí)施的期權(quán)，但何時(shí)實(shí)施獲利最大未知，所以通常情況下不能得到價(jià)格解的解析式(除永久美式期權(quán)外)。目前有關(guān)美式期權(quán)定價(jià)的研究成果很多[1-5]，但這些成果由于基于Black-Scholes模型假設(shè)，所以與實(shí)際股價(jià)運(yùn)動(dòng)不符，需要更接近股價(jià)運(yùn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)模型。分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型就是其中的模型之一。本文在分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型下，應(yīng)用切片法研究Hurst參數(shù)H>1/2的紅利連續(xù)支付的美式看跌期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。切片法是根據(jù)Carr p[6]提出的利用有限差分法，結(jié)合二次近似的思想來(lái)計(jì)算的近似法。 G.H.Meyer和J.Van der Hoek[7]、Gu yong geng[8]、姜禮尚[9]等都在經(jīng)典Black-Scholes模型下用切片法研究了美式期權(quán)定價(jià)，得到較好結(jié)果。本文將這種算法應(yīng)用到分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型中。

1分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型

定義設(shè)(Ω,F,P)是一個(gè)完備概率空間，H∈(0,1)，稱一個(gè)連續(xù)高斯過(guò)程BH={BH(t)；t≥0}是Hurst參數(shù)為H的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，如果它滿足：

(1)BH(0)=E(BH(t))=0，(t>0)

假設(shè)(Ω,F,Ft,P)是一個(gè)具有σ-流的{Ft，t≥0}完備概率空間,Ft是由F生成的自然σ代數(shù)流。在金融市場(chǎng)中僅有兩種資產(chǎn)，一種為有紅利支付的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，價(jià)格S(t)適合方程：

dS(t)=(μ(t)-q(t))S(t)dt+σS(t)◇dBH(t) ，

(1)

其中μ=μ(t)表示股價(jià)期望回報(bào)率，q=q(t)表示紅利率，σ≠0表示股價(jià)瞬時(shí)波動(dòng)率(常數(shù))，BH(t)表示分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，“◇”為Wick積分。

另一種資產(chǎn)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，價(jià)格A(t)滿足

dA(t)=r(t)A(t)dt

(2)

其中r=r(t)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

這兩種資產(chǎn)交易連續(xù)，交易時(shí)間為[0，T]，不支付稅收和交易費(fèi)用，借款和存款利率相等，可以買(mǎi)空賣(mài)空。(1)、(2)就是分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型，它是無(wú)套利的完全市場(chǎng)模型。

在分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型下，執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T(mén)的美式看跌期權(quán)價(jià)格P=P(s,t)對(duì)應(yīng)下列定解問(wèn)題：

(3)

其中S*=S*(t)是最佳實(shí)施邊界函數(shù)，r、q均為常數(shù)。

2切片法

(4)

其中0≤n≤N-1。

算法如下：

(5)

Pn(S*)=1-S*

(6)

(7)

Pn(S)→0(S→∞)

(8)

(d)求解常微分方程自由邊界問(wèn)題(5)-(8)。

(9)

LΔPN-1=0(1≤S<∞)

(10)

(11)

(12)

以及適合邊界條件(6)-(8)。

在 [0，∞)上，PN-1(S)由三個(gè)分段函數(shù)組成，其中α+，α-是特征方程(9)的根。求右端為PN-1(S)的非齊次微分方程的特解，考慮引理1：

引理1[9]設(shè)非齊次方程

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

PN-2(S)→0(S→∞)

(21)

方程(16)有特解

(22)

由引理1，方程(14)、(15)的特解為

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

由(21)得

(28)

由(17)得

(29)

(30)

W3(1)=0

由(29)、(30)得

(31)

由(18)得

(32)

(33)

由自由邊界條件(20)、(21)得

(34)

(35)

(36)

(37)

……

(38)

(39)

(40)

……

Pn(S)，P′n(S) 在S=1處連續(xù)

(41)

(42)

(43)

Pn(∞)=0

(44)

Pn(S)具有下述形式：

要得到右端形如Sα±(lnS)j的非齊次常微分方程特解，需要引理2。

引理2[9]考慮非齊次方程

(45)

其中ω是特征方程(9)的單根，即

3結(jié)束語(yǔ)

從上面推導(dǎo)可以得到用切片法計(jì)算美式期權(quán)的一般過(guò)程。切片法在計(jì)算中所有的算式都是顯示式，不需要解大型線性方程組，但計(jì)算比較繁瑣，需要結(jié)合其他方法，使計(jì)算速度和精度提高。

參考文獻(xiàn)

[1]張鐵. 美式期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2002, 25(1)：113-122.

[2]張鐵. 美式債券期權(quán)的有限元方法[J]. 計(jì)算數(shù)學(xué), 2004, 26(3)：277-284.

[3]吳建祖,宣慧玉. 美式期權(quán)定價(jià)的最小二乘蒙特卡洛模擬方法[J]. 統(tǒng)計(jì)與決策, 2006(1): 155-157.

[4]Geske R, Johnson H. The American put option valued analytically [J]. Journal of Finance,1984 (39):1511-1524.

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[6]Carr P. Randomization and the American put [J]．The Review of Financial Studies, 1998, 11(3):597-626．

[7]G H Meyer, J Van der Hoek. The Evaluation of American Options with the method of Lines [J]. Advances in Futures and Options Research, 1997, 9: 265-285.

[8]Gu yong geng. A new numerical method on American Options pricing [J]．Science in China (F), 2002, 45(3):181-188.

[9]姜禮尚. 期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法[M]. 北京：高等教育出版社, 2003:182-192.

(責(zé)任編輯駱桂峰)

* 基金項(xiàng)目：廣西教育廳科研項(xiàng)目《分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型下幾種奇異期權(quán)的定價(jià)》(YB2014436)。

** 作者簡(jiǎn)介：林漢燕，女，廣西貴港人，副教授。研究方向：金融數(shù)學(xué)。

中圖分類號(hào)：O211.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2095-4859(2016)01-0070-06