求解拱壩極限荷載的增量彈性有限元迭代法

錢向東,鈕如嵩

(河海大學力學與材料學院,江蘇,南京　210098)

求解拱壩極限荷載的增量彈性有限元迭代法

錢向東,鈕如嵩

(河海大學力學與材料學院,江蘇,南京210098)

摘要：為了克服彈性補償法每一步計算量太大的問題,結合彈塑性分析法和塑性極限分析法的優(yōu)點,提出求解復雜結構極限荷載的增量彈性有限元迭代法(IEFEIM)。該方法以荷載因子β為變量,采用自適應增量調(diào)整技術,迭代逼近滿足平衡條件和屈服條件的最大荷載因子βmax。與彈塑性分析法相比,IEFEIM只需材料的強度準則,不需要材料屈服、破壞后的本構關系;與塑性極限分析法相比,IEFEIM只需增量定向搜索逼近荷載因子最大值,無需開展大范圍搜索的規(guī)劃算法;與彈性補償法相比,只需形成一次整體剛度矩陣,無需每一步重新形成整體剛度矩陣,可以有效地減少每次迭代的計算量。工程實例表明,IEFEIM可以有效地求得高拱壩的極限荷載,并可以給出臨近極限狀態(tài)時的結構性狀。

關鍵詞：拱壩;極限荷載;增量彈性有限元迭代法;拉西瓦水電站

極限荷載是結構承載能力的重要指標,可用于復雜工程結構的整體安全度評價。求解結構極限荷載的方法一般有2種[1]:增量彈塑性分析法和塑性極限分析法。

增量彈塑性分析法的本質是追蹤加載歷史,以增量形式施加荷載,逐步逼近結構的極限狀態(tài)。此方法可以了解結構的塑性破壞過程,能夠獲得加載過程中結構的位移、應變、應力等信息,但必須嚴格知道結構的加載歷史和材料的本構關系。

塑性極限分析法是一種簡化的方法,假定材料為理想塑性材料,采用上、下限定理直接對結構的極限狀態(tài)進行分析,將求解極限荷載的問題轉化為一個有約束的數(shù)學規(guī)劃問題。此方法不必考慮結構的加載歷史,也無需材料的本構關系,對于簡單的結構可以非常方便地求得結構的極限荷載。

為了避免復雜的彈塑性計算和大量的數(shù)學規(guī)劃運算,Mackenzie 等[2]提出了一種簡單高效的基于彈性迭代的數(shù)值方法,即降低模量法(reduced modulus method), 并發(fā)展為彈性補償法(elastic compensation method,ECM)[3]和修正的彈性補償法(MECM)[4]。ECM 法僅需要若干步彈性有限元迭代便可求得極限載荷,在每一次彈性有限元分析中,通過調(diào)整單元的彈性模量引起應力的重新分布,來模擬塑性失效行為。作為一種評價結構極限承載能力的方法,ECM在壓力容器設計與安全評定中得到了廣泛應用[5-7]。

拱壩作為典型的三維復雜結構,其極限承載能力的估算一直是難題。一方面,由于混凝土及巖石類材料的力學性能、破壞形式、后繼本構關系的復雜性,準確地模擬結構的破壞—失效過程顯得非常困難[8-11]。另一方面,由于結構的復雜性,采用有限元與數(shù)學規(guī)劃相結合的極限分析方法[12-15],變量數(shù)和約束條件數(shù)十分龐大,導致了超高維空間中數(shù)學規(guī)劃的“維數(shù)障礙”問題,目前還難以克服。宋鵬等[16]嘗試采用彈性補償法分析拱壩的極限荷載下限,通過承載比均勻度與基準承載比調(diào)整單元彈性模量的策略求解極限承載力系數(shù),但所設定的基準荷載以及表達的名義應力并不能合理地反映拱壩的安全或失效性能。

盡管彈性補償法不需要采用彈塑性本構關系,但每次迭代均需要重新形成一次整體剛度矩陣,求解一個新的彈性問題。迭代過程類似于牛頓法,對大規(guī)模問題仍然需要大量的計算時間。

為了克服彈性補償法每一步計算量太大的情況,筆者擬結合增量彈塑性分析法和塑性極限分析法的優(yōu)點,針對下限分析,構造一種只需要初始彈性剛度矩陣,通過增量定向搜索確定極限荷載因子近似值的迭代算法。

1下限定理及其積分表達式

下限定理可敘述為:與靜力容許場對應的外荷載不大于真實的極限荷載,即任意與靜力容許場對應的外荷載是極限荷載的一個下限[17]。因此,所有下限的最大值就是極限荷載。

maxβ

(1)

(2)

式中:σij——結構的應力張量;V——結構體;Sσ——結構的應力邊界;nj——應力邊界的方向余弦;f(σij)≤0——屈服條件。

利用虛功率原理可以將平衡條件和應力邊界條件表示為積分形式,則與式(1)(2)等價的下限定理的積分表達式為

maxβ

(3)

(4)

2下限分析的有限單元法

微分形式(式(1)(2))或積分形式(式(3)(4))所表示的下限定理實質上是一個約束最優(yōu)化問題。對于復雜結構,難以直接求解,一般可采用有限元法對結構進行離散,建立數(shù)值型的約束最優(yōu)化問題。由積分形式的下限定理可導出下限分析的有限元格式:

maxβ

(5)

(6)

式(5)(6)是一個以β和σ為自變量的約束最優(yōu)化問題,可以采用線性或非線性規(guī)劃法進行求解。求解時,為了降低求解空間的維數(shù),常常把尋求與外荷載平衡的應力向量σ轉變?yōu)閷で笞云胶獾膽ο蛄喀襰[1]。

設σp、σq分別為結構在不變荷載Rp、可變荷載Rq作用下的彈性應力,即滿足Eσp=Rp、Eσq=Rq，則由E的線性性質可知,彈性應力σE=βσq+σp滿足平衡條件:

(7)

假定在荷載βRq+Rp作用下,結構的真實應力由彈性應力σE=βσq+σp和自平衡應力σs疊加而成,即σ=σE+σs,則約束最優(yōu)化問題(式(5)(6))轉換為

maxβ

(8)

(9)

式中:σqi、σpi、σsi——可變荷載彈性應力、不變荷載彈性應力和自平衡應力場對應的第i個Gauss點的應力分量。

式(8)(9)是一個以β和σs為自變量的約束最優(yōu)化問題,可以采用線性或非線性規(guī)劃法進行求解。目前已有一系列成熟的線性和非線性規(guī)劃算法[1,18-21],但是大多數(shù)求解非線性規(guī)劃問題的方法需要處理Hessian矩陣,且對某些屈服函數(shù)還存在奇異性。另外,對于復雜的三維結構由于離散系統(tǒng)未知量和約束條件數(shù)巨大,求解超高維空間中的數(shù)學規(guī)劃問題存在所謂的“維數(shù)障礙”,且解的唯一性和收斂性也有待進一步探討。

3增量彈性迭代法

a. 對任意的β>0,有σE=βσq+σp,如果存在一個自平衡應力向量σs, 即Eσs=0,且滿足fi(βσqi+σpi+σsi)≤0(i=1,2,…,NF),則βσq+σp+σs是一個靜力許可應力場,β是極限荷載因子的一個下限,且β≤βmax。

增量彈性迭代法實施步驟如下:

計算中根據(jù)應力轉移迭代的收斂情況,采用自適應的步長(增量)調(diào)整技術,當步長Δβ<εβ時,表明已接近極限狀態(tài),即近似達到了βmax。由于與βmax對應的應力場滿足全部約束條件,因此βmax是極限荷載因子的一個下限。計算時一般可取α=0.6～1.0,εβ=0.05～0.5,ε1=10-4～10-6和ε2=10-2～10-4。

4工 程 實 例

以黃河拉西瓦水電站的混凝土拱壩為例進行計算分析。該拱壩為高250 m、底寬49 m的對數(shù)螺旋式雙曲拱壩。計算采用的有限元模型如圖1所示,其中模擬了Hf4、Hf6、Hf7、Hf8、Hf10、F166、F164、F29、F172、F211、F201、F421、L145等主要斷層和軟弱帶。

圖1　拉西瓦拱壩三維有限元模型Fig. 1　　　　Three-dimensional finite element model for 　　　Laxiwa Arch Dam

計算采用的荷載組合為地應力+壩體自重+水壓力(上游正常蓄水位2 542m)+泥沙壓力(2 296 m)+滲流+溫升。壩體混凝土密度為2.4 t/m3、彈性模量為20 000 MPa、泊松比為0.2、熱脹系數(shù)為0.000 01 ℃-1。 其他諸如水庫運行參數(shù)、溫度變化情況、巖體結構分布和材料參數(shù)等參見文獻[22]。

計算時針對不同的材料分別采用不同形式的強度準則。對壩體混凝土采用H-T-C四參數(shù)準則[23],巖石采用Drucker-Prager準則,建基面和斷層采用修正的Mohr-Coulomb準則。相關強度參數(shù)見文獻[22]。

根據(jù)拱壩的承載特點,以上游水壓力作為可按比例增長(超載)的可變荷載,相應的有限元等效結點力為βRq,這里將水壓力超載系數(shù)作為荷載因子β;地應力、自重、溫度、滲流、泥沙等荷載均作為固定荷載,相應的有限元等效結點力為Rp。

采用增量彈性有限元分析時,取α=1.0,即Δβ=1.0、εβ=0.5、ε1=10-5、ε2=10-3。計算過程中當β=7.0時迭代不能收斂,于是開始自動縮減增量步長Δβ,直至Δβ=0.25,即β=6.25時迭代收斂,由于此時Δβ=0.25小于εβ=0.5,加載結束,可獲得水壓力極限超載系數(shù)βmax≈6.25。此計算結果與文獻[24]由數(shù)值分析和模型試驗得出的結果相當吻合,即水荷載超載系數(shù)為6.0～8.0。

為了檢驗臨近極限狀態(tài)時壩體的破壞情況,圖2給出了β=6.0和β=6.25時拱壩上下游面的破壞情況。

圖2　不同β時上下游面破壞區(qū)Fig. 2　Damaged areas on upstream and downstream faces of dam for different values of β

5結語

a. 有限元下限極限分析法可以歸結為一個約束最優(yōu)化問題,荷載因子β既是自變量又是目標函數(shù),可以利用問題的特殊性,尋求有效的求解方法,以克服大規(guī)模問題“維數(shù)障礙”。

b. 提出的增量彈性有限元迭代法(IEFEIM),結合了增量彈塑性有限元和塑性極限分析兩類方法的優(yōu)點,只需材料的強度準則,不需要材料屈服、破壞后的本構關系;只需增量定向搜索逼近荷載因子最大值,無需開展大范圍搜索的規(guī)劃算法。

c. 與彈性補償法(ECM)相比,IEFEIM只需形成一次整體剛度矩陣,無需每一步重新形成整體剛度矩陣,可以有效地減少每次迭代的計算量。

d. IEFEIM的本質是常剛度迭代應力轉移法,類似于增量彈塑性分析中的常剛度迭代法。轉移應力的累加構成一個自平衡應力場。該方法具有簡單、高效、易于程序實現(xiàn)等優(yōu)點。

e. 工程實例的計算表明,該方法可以有效地求得高拱壩的極限荷載,可以給出臨近極限狀態(tài)時的結構性狀。

參考文獻：

[1] 陳鋼,劉應華.結構塑性極限與安定分析理論及工程方法[M].北京:科學出版社,2006.

[2] MACKENZIE D, BOYLE J T. A method of estimating limit loads by iterative elastic analysis I: simple examples [J]. International Journal of Pressure Vessels & Piping, 1992, 53(1):77-95.

[3] MACKENZIE D,SHI J,BOYLE J T.Finite element modeling for limit analysis by elastic compensation method [J].Computer & Structure,1994,51(4):403-410.

[4] 楊璞,劉應華,袁鴻雁,等.計算結構極限載荷的修正彈性補償法[J].工程力學,2006,23 (3): 21-26.(YANG Pu, LIU Yinghua, YUAN Hongyan, et al. A modified elastic compensation method for the computation of limit loads[J]. Engineering Mechanics,2006,23 (3): 21-26.(in Chinese))

[5] PONTER A R S,CARTER K F.Limit state solutions based on linear elastic solutions with spatially varying elastic modulus[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1997,140(3/4):237-258.

[6] YANG P,LIU Y,OHTAKE Y,et al.Limit analysis based on a modified elastic compensation method for nozzle-to-cylinder junctions[J].International Journal of Pressure Vessels and Piping,2005,82(10):770-776.

[7] SIMHA C H M, ADIBI-ASL R. Lower bound limit load estimation using a linear elastic analysis[J].Journal of Pressure Vessel Technology,2012, 134(2):1207-1216.

[8] 洪曉林.拱壩壩體非線性分析與極限承載力的估算[D].南京:華東水利學院,1982.

[9] 錢向東.有限單元法在拱壩設計計算中的應用[D].南京:河海大學,1990.

[10] 傅作新,錢向東,鄭雄.拱壩極限承載能力的分析方法研究[J].河海大學學報(自然科學版),1991,19(5):25-31.(FU Zuoxin, QIAN Xiangdong, ZHENG Xong. Analysis method of ultimate bearing capacity for arch dam[J]. Journal of Hohai University(Natural Sciences), 1991,19(5):25-31.(in Chinese))

[11] 楊強,程勇剛,趙亞楠, 等.混凝土拱壩的極限分析[J].水利學報,2003，34(10):38-43.(YANG Qiang, CHENG Yonggang, ZHAO Yanan, et al. Limit analysis of concrete arch dam[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2003,34(10):38-43.(in Chinese))

[12] 李新民,王開治.拱壩極限承載力的一個計算方法[J].水利學報,1985，16(7):66-72. (LI Xinmin, WANG Kaizhi. A method for evaluating ultimate bearing capacity of arch dam[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 1985，16(7):66-72. (in Chinese))

[13] 楊強,陳新,周維垣,等.推求拱壩極限承載力的一種有效算法[J].水利學報,2002,33(11):60-65.(YANG Qiang, CHEN Xin, ZHOU Weiyuan, et al. An effective method for evaluati, ultimate bearing capacity of arch dam[J]. Journal of Hydraulic Engineering,2002,33(11):60-65.(in Chinese))

[14] 楊強, 程勇剛, 趙亞楠,等.基于非線性規(guī)劃的極限分析方法及其應用[J].工程力學,2004,21(2):15-19.(YANG Qiang, CHENG Yonggang, ZHAO Yanan, et al. Limit analysis method based on nonlinear programming and its application [J].Engineering Mechanics, 2004,21(2):15-19. (in Chinese))

[15] 王均星,張優(yōu)秀,王漢輝.高拱壩承載能力研究[J].武漢大學學報(工學版),2004,37(1):27-32.(WANG Junxing, ZHANG Youxiu, WANG Hanhui. Research on load bearing capacity of high arch dam[J]. Engineering Journal of Wuhan University, 2004,37(1):27-32.(in Chinese))

[16] 宋鵬,鄭東健,許焱鑫,等.基于彈性補償法的拱壩極限承載力分析方法[J].水利水電科技進展,2015,35(6):78-81.(SONG Peng,ZHENG Dongjian,XU Yanxin, et al. Analysis approach for ultimate bearing capacity of arch dams based on elastic compensation method[J]. Advances in Science and Technology of Water Resources, 2015,35(6):78-81.(in Chinese))

[17] 徐秉業(yè),劉信聲.結構塑性極限分析[M].北京:中國建筑工業(yè)出版社,1985.

[18] SLOAN S W. Lower bound limit analysis using finite elements and linear programming[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1988, 12(1):61-77.

[19] LYAMIN A V, SLOAN S W. Lower bound limit analysis using non-linear programming[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2002, 55:573-611.

[20] KRABBENHOFT K, DAMKIDLE L. A general non-linear optimization algorithm for lower bound limit analysis[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2003, 56:165-184.

[21] 錢向東,吳有奇,林荔珊.下限極限分析的子迭代路徑跟蹤內(nèi)點算法[J].河海大學學報(自然科學版),2015,43(3):244-248. (QIAN Xiangdong,WU Youqi,LIN Lishan. Subiterative interior point path-following algorithm for lower bound limit analysis[J].Journal of Hohai University(Natural Scineces), 2015,43(3):244-248.(in Chinese))

[22] 錢向東.黃河拉西瓦拱壩三維有限元分析與安全度評價[R].南京:河海大學,2003.

[23] HSIEH S S, TING E C, CHEN W F. A plastic-fracture model for concrete [J]. International Journal of Solids and Structures, 1982, 18(3):181-197.

[24] 黃巖松,周維垣,楊若瓊,等.拉西瓦拱壩穩(wěn)定性分析和評價[J].巖石力學與工程學報, 2006,25(5): 901-905. (HUANG Yansong, ZHOU Weiyuan, YANG Ruoqiong, et al. Stability analysis and evaluation of Laxiwa Arch Dam[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2006,25(5): 901-905. (in Chinese))

Incremental elastic finite element iterative method for solution of ultimate load of arch dams

QIAN Xiangdong, NIU Rusong

(CollegeofMechanicsandMaterials,HohaiUniversity,Nanjing210098,China)

Abstract:In order to avoid large amounts of computation with the elastic compensation method, the incremental elastic finite element iterative method (IEFEIM) is proposed for solution of the ultimate load of complex structures, based on the advantages of elastic-plastic analysis and plastic limit analysis. With the load factor β as a variable, and by using the self-adaptive increment adjustment technique, the maximum load factor βmaxsatisfying the equilibrium and yield conditions is obtained by iteration and approximation. In contrast to the elastic-plastic analysis method, the IEFEIM only requires the strength criterion of materials and does not require the constitutive relationship of materials after yielding and failure; in contrast to the plastic limit analysis method, the IEFEIM obtains the maximum load factor by directional search and approximation, without using the programming algorithm for large-scale search; and in contrast to the elastic compensation method, the IEFEIM generates the global stiffness matrix for only one time, without any need of generating the global stiffness matrix for each step, effectively decreasing the amount of computation in iterations. Practical application in engineering projects shows that the IEFEIM can obtain the ultimate load of high dams effectively and provide the structural characteristics close to the ultimate state.

Key words:arch dam; ultimate load; incremental elastic finite element iterative method; Laxiwa Arch Dam

DOI：10.3876/j.issn.1000-1980.2016.03.003

收稿日期：2015-08-16

基金項目：國家自然科學基金重點項目(11132003)

作者簡介：錢向東(1963—),男,江蘇吳江人，教授,博士,主要從事工程力學、水工結構工程研究。E-mail:xdqing@hhu.edu.cn

中圖分類號：TV642.4

文獻標志碼：A

文章編號：1000-1980(2016)03-0203-06