廣義中立型Emden-Fowler時(shí)滯阻尼微分方程的振動(dòng)性

曾云輝, 李元旦, 羅李平, 羅振國(guó)

(衡陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖南 衡陽(yáng) 421008)

?

廣義中立型Emden-Fowler時(shí)滯阻尼微分方程的振動(dòng)性

曾云輝, 李元旦*, 羅李平, 羅振國(guó)

(衡陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖南 衡陽(yáng) 421008)

研究了一類具有阻尼項(xiàng)的廣義中立型Emden-Fowler時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性.利用Riccati變換、積分平均技巧等方法，獲得了該方程解振動(dòng)的充分條件，所得結(jié)果推廣和改進(jìn)了最近研究中的一些結(jié)果.

中立型；Emden-Fowler方程；阻尼項(xiàng)；振動(dòng)性

0 引 言

考慮廣義中立型Emden-Fowler時(shí)滯阻尼微分方程

(1)

文中假設(shè)：

的解x(t).如果方程(1)的解有任意大的零點(diǎn)，稱為振動(dòng)， 否則稱為非振動(dòng)； 如果方程(1)的每一解均為振動(dòng)，稱方程(1)為振動(dòng)[1].

Emden-Fowler型方程在理論和實(shí)際應(yīng)用上均有重要意義. 例如Emden-Fowler方程

這里n≠0,n≠1,a,b,m是參數(shù),在數(shù)學(xué)物理、理論物理及化學(xué)物理等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[2].中立型Emden-Fowler方程在高速計(jì)算機(jī)無(wú)損線路的網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)中亦有廣泛應(yīng)用[3]. 因此方程(1)的振動(dòng)性問題引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注. 特別是如下特例：

(r(t)x′(t))′+q(t)x(t)=0，

(2)

(3)

(r(t)[x(t)-p(t)x(t-c)]′)′+

(4)

(5)

(6)

對(duì)于線性方程(2)的振動(dòng)性,LEIGHTON[4]證明如下：

定理A設(shè)

(7)

(8)

則方程(2)振動(dòng).

對(duì)于中立型方程(3),GRAMMATIKOPOULOS等[5]給出定理B.

定理B設(shè)0≤p(t)≤1,q(t)≥0,且

(9)

則方程(4)振動(dòng).

SUN等[6]對(duì)半線性方程(5)建立了如下振動(dòng)準(zhǔn)則：

定理C 設(shè)

(10)

(11)

則方程(5)振動(dòng).

文獻(xiàn)[7]對(duì)中立型Emden-Fowler方程(6)建立了如下振動(dòng)準(zhǔn)則：

定理D設(shè)

(12)

則方程(6)振動(dòng).

最近文獻(xiàn)[7]利用Riccati方法和積分平均技巧，得到了方程(6)當(dāng)α≥β>0時(shí)的若干振動(dòng)準(zhǔn)則,推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)中的一系列結(jié)果,受文獻(xiàn)[7]研究的啟發(fā), 本文研究了方程(1)的振動(dòng)性問題. 在α≥β條件下給出了方程(1)的振動(dòng)條件,同時(shí)證明了當(dāng)β≥α?xí)r方程(1)的新的振動(dòng)定理,所得結(jié)果推廣并改進(jìn)了若干文獻(xiàn)中的結(jié)果.

1 α≥β時(shí)的振動(dòng)準(zhǔn)則

定理1 設(shè)

(13)

(14)

證明 設(shè)方程(1)有非振動(dòng)解x(t),不失一般性，設(shè)x(t)>0,x(τ(t))>0,x(σ(t))>0,t≥t1≥t0(x(t)<0的情況可以類似證明),有

z(t)≥x(t)>0

(15)

可斷言：

z′(t)≥0,t≥t1,且最終不恒為0.

(16)

不然, 則存在T≥t1≥t0, 當(dāng)t=T時(shí),z′(T)<0, 那么根據(jù)式(1),當(dāng)t>T時(shí),有

也就是

從而有

(17)

(18)

令t→∞，并結(jié)合式(14)有

,

與z(t)>0矛盾. 故z′(t)≥0,且最終不恒為0. 因此有z″(t)≤0.

于是上式可寫為

μ1(t)zβ(σ(t))≤0.

(19)

定義函數(shù)

(20)

則w(t)>0.

(21)

(22)

式(22)乘以ρ(t)并積分, 利用分部積分得到

(23)

式(23)右端積分中利用不等式

(24)

有

即

ρ(t1)w(t1).

(25)

得到式(25)與式(14)矛盾，定理1證畢.

推論1 如果定理1中ρ(t)=1,a(t)=0，且式(13)和(14)分別替換為

(26)

和

(27)

則方程(1)振動(dòng).

推論2 設(shè)ρ(t)=1,a(t)=0,r(t)=1且式(27)

成立, 則方程(1)振動(dòng).

注1 推論1推廣了定理A,推論2推廣了定理B. 因此 , 定理1推廣、改進(jìn)并統(tǒng)一了著名的Leighton定理和Grammatikopounlms定理, 值得注意的是，推論1、2對(duì)任意α>0,β>0都成立.

例1 考慮中立型微分方程

因此，

現(xiàn)令

定理2 設(shè)式(13)成立,式(27)不成立，若

α>β>0，且

(28)

(29)

則方程(1)振動(dòng).

證明 設(shè)方程(1)存在非振動(dòng)解x(t)，不失一般性,設(shè)x(t)最終為正,則z(t)≥x(t)>0,t≥t1,如同定理1的證明，有式(17)和(7)成立. 即

也就是

對(duì)上式積分，有

(30)

對(duì)式(30)積分，有

即

(31)

定義函數(shù)

(32)

注意到式(28)成立,故式(32)與式(29)矛盾.定理2證畢.

注2 文獻(xiàn)[8]的定理3.1是本文定理2當(dāng)p(t)=0,a(t)=0時(shí)的特例.將結(jié)果推廣到了中立型阻尼方程.

下面的定理對(duì)任意α>0,β>0均成立，如果滿足：

(33)

方程(1)稱為是非正則的，現(xiàn)在考慮在非正則條件下，方程(1)的振動(dòng)性.

定理3 設(shè)式(33)和(27)成立，若p′(t)≥0,τ′(t)>0,x′(t)x′(τ(t))>0,且

(34)

證明 設(shè)方程(1)有最終正解x(t)(對(duì)于有最終負(fù)解x(t)的情況可以類似證明),如同定理1的證明，知z′(t)最終定號(hào). 故z′(t)有2種情況：

情況(i)：若z′(t)>0,t≥t1≥t0.即式(16)成立，類似定理1的證明，結(jié)果與式(17)矛盾.

(35)

對(duì)式(35)積分,有

即

(36)

(37)

2 β≥α?xí)r的振動(dòng)準(zhǔn)則

注意到對(duì)方程(1)振動(dòng)性的研究，大多考慮α≥β的情況，而本文給出了當(dāng)β≥α?xí)r方程(1)的2個(gè)振動(dòng)準(zhǔn)則.

引理1 設(shè)式(13)成立，且

(38)

證明 設(shè)x(t)>0,t≥t1≥t0，由定理1的證明知式(16)和(19)成立. 即z′(t)>0且有

(19′)

若z(t)有界，則存在c1,c2>0，使得

(39)

對(duì)式(19′)積分，有

即

對(duì)上式在[t1,t]上積分，有

利用式(39)得到

(40)

(41)

則方程(1)振動(dòng).

證明 設(shè)方程(1)有非振動(dòng)解x(t). 不失一般性, 設(shè)x(t)是式(1)的最終正解. 如同定理1的證明，有式(16)和(19)成立. 定義函數(shù)同式(20), 即

則

(42)

上式中利用了不等式

和式(19).下面在式(42)中利用引理1及β≥α， 得

t≥T≥t1.

(43)

式(43)乘以ρ(t)，積分有

(44)

在式(44)右端積分中利用不等式:

(45)

得

(46)

顯然式(46)與式(41)矛盾. 定理3證畢.

注4 定理4推廣并改進(jìn)了文獻(xiàn)[6]和[8]的主要結(jié)果. 只須取α=β,p(t)=0,a(t)=0,ρ(t)=Rα(σ(t))即可. 同時(shí)定理4也統(tǒng)一了定理A～D.

推論3 設(shè)r(t)=1,α>1, 式(38)成立，若

(47)

則方程(1)振動(dòng).

下面給出當(dāng)式(27)不成立時(shí)，方程(1)的另一個(gè)振動(dòng)準(zhǔn)則.為簡(jiǎn)化計(jì)算，設(shè)

(48)

(49)

則方程(1)振動(dòng).

證明 設(shè)方程(1)有非振動(dòng)解x(t)，定義函數(shù)ω(t),同定理4的證明，知式(43)成立，即

t≥T≥t1.

(50)

對(duì)式(50)積分，有

從而

(51)

(52)

(53)

(54)

利用不等式(45),其中，

得到

(55)

顯然式(55)與式(54)矛盾. 故方程(1)無(wú)非振動(dòng)解，定理5證畢.

[1]LIUL,BAIY.Newoscillationcriteriaforsecondordernonlineardelayneutraldifferentialequations[J].JComputApplMath,2009,231:657-663.

[2] 李同興, 韓振來(lái), 張承慧, 等. 時(shí)間尺度上三階Emden-Fowler時(shí)滯動(dòng)力方程振動(dòng)準(zhǔn)則[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2012,32(1):222-232.

LITongxing,HANZhenlai,ZHANGChenghui,etal.Oscillationcriteriaforthird-orderemden-fowlerdelaydynamicequationsontimescales[J].ActaMathematicaScientia,2012,32(1):222-232.

[3]LIT,HANZ,ZHANGC,etal.OntheoscillationofsecondorderEmden-Fowlerneutraldifferentialequations[J].JApplMathComput,2011,37:601-610.

[4]LEIGHTONW.Thedetectionoftheoscillationsofsolutionsofasecondorderlineardifferentialequation[J].DukeMathJ,1950,17:57-62.

[5]GRAMMATIKOPOULOSMK，LADASG，MEIMARIDOUA.Oscillationsofsecondorderneutraldelaydifferentialequations[J].RadMath,1985(1):267-274.

[6]SUNYG，MENGFW.NoteonthepaperofDzurinaandStavroulakis[J].ApplMathComput,2006,174:1634-1641.

[7]LIUHD,MENGFW,LIUPH.OscillationandasymptoticanalysisonanewgeneralizedEmden-Fowlerequation[J].ApplMathComput,2012,219:2739-2748.

[8]BACULIKOVAB,LIT,DZURINAJ.Oscillationtheoremsforsecondordersuperlinearneutraldifferentialequations[J].MathematicsSlovaca,2013,63:123-134.

Oscillation of generalized neutral delay differential equations of Emden-Fowler type with damping.

ZENG Yunhui, LI Yuandan, LUO Liping, LUO Zhenguo

(CollegeofMathematicsandStatistics,HengyangNormalUniversity,Hengyang421008,HunanProvince,China)

Oscillation of generalized neutral delay differential equations of Emden-Fowler type with damping was studied. By using of Riccati transformation and integral inequality technique, we obtained some new sufficient conditions for oscillation of all solutions of the equation, which generalized and improved some known results.

neutral type; Emden-Fowler differential equation; damping term; oscillation

2015-06-10.

湖南省“十二五”重點(diǎn)建設(shè)學(xué)科“運(yùn)算學(xué)與控制論”項(xiàng)目資助(湘教發(fā)[2011]76號(hào))；湖南省科技廳軟科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目資助(2014ZK3009);衡陽(yáng)市科技計(jì)劃項(xiàng)目資助(2014KJ22);衡陽(yáng)市社科基金項(xiàng)目資助(2014DD60);湖南省教育廳科研項(xiàng)目資助(14C0170).

曾云輝(1978-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0003-2620-2738,男，碩士，副教授，主要從事微分方程定性理論研究,E-mail:chj8121912@sina.com.

*通信作者，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-6729-1688,E-mail:18973416616@189.cn.

10.3785/j.issn.1008-9497.2016.04.003

O 175.26

A

1008-9497(2016)04-394-07

Journal of Zhejiang University (Science Edition),2016,43(4):394-400