爆炸荷載下夾層玻璃曲板的動態(tài)響應(yīng)分析*

張紅　鄧漢國　姚小虎　龍謙

(華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院， 廣東 廣州 510640)

爆炸荷載下夾層玻璃曲板的動態(tài)響應(yīng)分析*

張紅鄧漢國姚小虎龍謙

(華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院， 廣東 廣州 510640)

摘要:采用理論與有限元仿真相結(jié)合的方法，研究爆炸荷載下夾層玻璃曲板動態(tài)響應(yīng)的計(jì)算方法.推導(dǎo)了固支邊界夾層玻璃平板的動態(tài)響應(yīng)理論計(jì)算方法，發(fā)現(xiàn)PVB彈性模量對理論計(jì)算精度有重要影響.繼而對爆炸荷載下夾層玻璃曲板的動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)夾層玻璃曲板存在兩個穩(wěn)定的曲板系數(shù)(CCP)，為曲板動態(tài)響應(yīng)計(jì)算提供了一種簡化的方法，即根據(jù)同樣尺寸的夾層玻璃平板動態(tài)理論計(jì)算最大撓度和最大主應(yīng)力，相應(yīng)乘以曲板系數(shù)即可預(yù)估夾層玻璃曲板的最大撓度和最大主應(yīng)力.文中還定性分析了夾層玻璃曲板幾何參數(shù)對曲板系數(shù)的影響，擬合得到了經(jīng)驗(yàn)公式，為夾層玻璃曲板動態(tài)響應(yīng)的預(yù)估提供了一種簡便、實(shí)用的計(jì)算方法.

關(guān)鍵詞：夾層玻璃曲板；抗爆；曲板系數(shù)；動態(tài)響應(yīng)

爆炸事故中，爆炸沖擊波作用到建筑玻璃上，產(chǎn)生飛濺的玻璃碎片，是造成人員傷亡的主要原因[1].夾層玻璃被證明是可降低造成人員傷亡風(fēng)險(xiǎn)的一種安全玻璃結(jié)構(gòu)，因而廣泛應(yīng)用于玻璃幕墻.

很多研究者對玻璃幕墻的動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了研究并取得了一定成果.高軒能等[2]應(yīng)用彈性薄板振動理論研究框支承玻璃在爆炸沖擊荷載下的動力響應(yīng)，得到玻璃最大撓度與最大應(yīng)力的計(jì)算公式以及安全距離的經(jīng)驗(yàn)公式，然而玻璃高寬比限制為某常數(shù)值，且忽略了爆炸負(fù)壓段的影響.Chandrasekharappa和Teng等[3- 4]采用馮·卡門非線性板理論以及攝動法求解了彈性板在爆炸荷載下的大撓度動態(tài)響應(yīng).在大撓度理論的基礎(chǔ)上，Birman和Turkmen等[5- 6]采用伽遼金法建立動態(tài)方程并采用龍格庫塔法求解方程，研究了爆炸沖擊下夾層板的動態(tài)響應(yīng).Wei等[7]采用薄板小撓度理論、大撓度理論以及有限元模擬對爆炸荷載下夾層玻璃板的動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了分析，研究指出，爆炸負(fù)壓段影響一般不可忽略.

玻璃幕墻在實(shí)際應(yīng)用中因結(jié)構(gòu)需要，采取曲板形式并不少見，然而關(guān)于夾層玻璃曲板在爆炸荷載下的動態(tài)響應(yīng)研究相對很少.借鑒Wei等[7]的研究成果，文中提出了夾層玻璃曲板的動態(tài)響應(yīng)簡化計(jì)算方法，具有一定工程實(shí)用價值.

1理論分析與驗(yàn)證

1.1爆炸荷載計(jì)算

空氣中爆炸荷載可以描述成一個指數(shù)形式的函數(shù)表達(dá)式[8]：

(1)

式中，cr為正壓放大系數(shù)，ΔPf為沖擊波超壓峰值，t+為正壓作用時間，α為衰減系數(shù)，當(dāng)時間t大于t+意味著爆炸荷載進(jìn)入負(fù)壓段影響階段.

爆炸超壓峰值ΔPf(MPa)為[9]

(2)

式中，Z為

(3)

式中，R為爆炸距離，W為炸藥當(dāng)量.

正壓作用時間t+(ms)為[8]

(4)

衰減系數(shù)α表示為

α=1.5Z-0.38，0.1≤Z≤30

(5)

正壓放大系數(shù)為

(6)

式中，p1=ΔPf+p0，環(huán)境氣壓p0約為101.3kPa.

1.2夾層玻璃平板動態(tài)計(jì)算

矩形夾層玻璃平板結(jié)構(gòu)如圖1所示，對固支夾層玻璃動態(tài)撓度與應(yīng)力的有關(guān)計(jì)算推導(dǎo)如下.

圖1　爆炸荷載下矩形夾層玻璃板示意圖

Fig.1Schematic diagram rectangular laminated glass panels under blast load

爆炸荷載下夾層玻璃的協(xié)調(diào)方程和運(yùn)動方程為[7]

(7)

(8)

式中,F為Airy應(yīng)力函數(shù)，E為等效彈性模量，w為夾層玻璃板的撓度函數(shù)，“,xx”是對x求導(dǎo)兩次，其他類似.D為等效彎曲剛度，M為單位面積總質(zhì)量，h為夾層玻璃總厚度,h=ho+hp+hi(hi、ho和hp分別為夾層玻璃內(nèi)外層玻璃和PVB層的厚度).把3層疊層板等效為單層板，采用等效彈性模量、等效泊松比和橫截面應(yīng)力連續(xù)的基本假設(shè)，保持總剛度和總質(zhì)量不變，即

D=Do+Di+Dp

(9)

(10)

(11)

M=ρgho+ρphp+ρghi

(12)

(13)

(14)

式中，Di、Do和Dp分別為夾層玻璃內(nèi)外層玻璃和PVB層的彎曲剛度，Eg、vg、 ρg和hn分別為玻璃的彈性模量、泊松比、密度和厚度，下標(biāo)o對應(yīng)外層玻璃厚度，下標(biāo)i對應(yīng)內(nèi)層玻璃厚度，Ep、vp、 ρp和hp分別為PVB的彈性模量、泊松比、密度和厚度，E和v是等效的彈性模量和泊松比.

(15)

式中，φ(t)為與時間相關(guān)的函數(shù).

依據(jù)式(15)和(7)可得Airy應(yīng)力函數(shù)F滿足：

(16)

經(jīng)求解可得

(17)

將運(yùn)動方程(8)改寫成

(18)

采用伽遼金法，則

(19)

借助Maple里的4-5階變步長龍格庫塔(Runge-Kutta-Fehlberg)法求解方程.夾層玻璃的應(yīng)力包括彎曲應(yīng)力和薄膜應(yīng)力，即

(20)

(21)

1.3有限元驗(yàn)證

夾層玻璃平板PVB厚度固定為1.52 mm，內(nèi)外層玻璃等厚度(h)，后續(xù)不再說明，幾何尺寸為：a=1 400 mm,b=1 200 mm,h=4.76 mm.爆炸荷載工況為：W=15 kg，R=50 m.玻璃和PVB均采取線彈性模型[10- 11]，材料參數(shù)如表1所示.

表1　玻璃、PVB材料參數(shù)

PVB彈性模量受應(yīng)變率、使用條件以及溫度等影響，在不同文獻(xiàn)中的取值有一定波動[12- 14].按理論計(jì)算，PVB彈性模量(80～985 MPa)對夾層玻璃動態(tài)撓度和應(yīng)力計(jì)算影響非常小(如表2所示，低于1%)，PVB彈性模量對理論計(jì)算值不敏感.但是PVB彈性模量對ABAQUS模擬值較為敏感.這是由于PVB彈性模量與玻璃彈性模量差了480倍，PVB貢獻(xiàn)的剛度極小，理論的基本假設(shè)之一是保持剛度不變；而仿真不僅保持剛度不變，同時考慮了橫截面應(yīng)力不連續(xù)的事實(shí)，橫截面應(yīng)力分布其實(shí)與PVB在內(nèi)外層玻璃間能傳遞的剪力有關(guān)，即與剪切模量(或彈性模量)密切相關(guān)，只有PVB彈性模量足夠大，理論上與玻璃彈性模量相等時候，橫截面應(yīng)力才是連續(xù)的.

表2理論上PVB彈性模量對平板底部中心撓度和應(yīng)力的影響

Table 2Theoretical effect of PVB’s elastic modulus on midpoint deflection and stress of laminated glass flat panels

E/MPa撓度/mmσy/MPa804.924332.6451504.924232.6495304.924232.6769854.924032.708

文中推導(dǎo)的固支計(jì)算結(jié)果與ABAQUS的模擬值的對比如圖2和3所示.在夾層玻璃整個動態(tài)響應(yīng)過程中，撓度計(jì)算值與ABAQUS模擬值吻合很好，且PVB彈性模量越大，理論計(jì)算值與有限元模擬值越吻合，偏差低至1%；PVB彈性模量為150 MPa時，

圖2　夾層玻璃平板中心撓度時程曲線

Fig.2Midpoint deflection-time curves of laminated glass flat panels

圖3　夾層玻璃平板底部中心應(yīng)力σy時程曲線

Fig.3Bottom midpoint stress(σy)-time curves of laminated glass flat panels

理論計(jì)算值與有限元模擬值偏差約11.1%.這說明PVB彈性模量越大，該理論計(jì)算的基本假設(shè)(把夾層玻璃等效為單層玻璃板)才越合理，PVB彈性模量是影響理論計(jì)算精度的主要因素.同時，夾層玻璃平板的中心處底部應(yīng)力計(jì)算值與模擬值有一定偏差，最大約為37.6%.這主要有兩個原因：一是由于固支邊界理論推導(dǎo)時，假設(shè)的撓度函數(shù)w(x,y,t)只取一項(xiàng)，對于夾層玻璃的撓度計(jì)算已經(jīng)趨于收斂，具有很好的精度，對于應(yīng)力計(jì)算，需要對撓度函數(shù)w(x,y,t)求導(dǎo)，故需要更高階的項(xiàng)，因此造成應(yīng)力的計(jì)算有所偏差；二是PVB彈性模量取值150 MPa(浮法玻璃彈性模量72 000 MPa)，夾層玻璃是復(fù)合結(jié)構(gòu)，不是整體結(jié)構(gòu)，橫截面應(yīng)力不連續(xù)，按理論的應(yīng)力(假設(shè)等效成單層板)計(jì)算存在偏差.但總體來說，應(yīng)力的計(jì)算精度是可以接受的.

2夾層玻璃曲板分析

2.1曲板系數(shù)A和B

曲板形狀各異，文中假設(shè)曲板截面是半橢圓，如圖4所示，彎曲方向沿長邊，短邊方向曲率為0，彎曲的程度采用Δd/a的比值表示，Δd為曲板外凸高度，a為長邊跨長，b為短邊長度.Δd/a值越大，曲板形狀越彎曲.

圖4　夾層玻璃曲板示意圖(1/4模型)

從圖5所示夾層玻璃曲板在爆炸荷載下動態(tài)響應(yīng)時程曲線發(fā)現(xiàn)：由于整體剛度增大，曲板中心處撓度峰值會降低，表現(xiàn)為振動周期減小.板邊(曲邊)中心處最大主應(yīng)力(取絕對值最大的主應(yīng)力)峰值亦具有同樣現(xiàn)象.

圖5　最大撓度時程曲線

從表3可以發(fā)現(xiàn)：曲板夾層玻璃在爆炸荷載下的動態(tài)響應(yīng)具有一個重要規(guī)律——曲板系數(shù)A和B波動不大(約9%增幅)；隨著爆炸荷載的增加，即炸藥當(dāng)量W的增加，最大撓度和最大主應(yīng)力均增加，曲板系數(shù)A和B會增加.但考慮到玻璃是彈脆性材料，屈服應(yīng)力大約為60～150 MPa，過大的爆炸荷載下玻璃早就破壞.因而，在夾層玻璃未發(fā)生破壞的階段，曲板系數(shù)A和B具有相當(dāng)穩(wěn)定的值，分別為0.69和0.70左右(取表中3個值的平均值)，波動分別為6.7%和1.7%.

表3不同爆炸荷載下夾層玻璃的曲板系數(shù)1)(R=100 m，

Δd/a=15/400)

Table 3CCP of laminated glass curved panels under different blast loads(R=100 m，Δd/a=15/400)

W/kg最大撓度/mm最大主應(yīng)力/MPaCCP平板曲板平板曲板AB18310.9340.61664.044.00.6590.68857911.7401.200124.186.50.6900.697100002.3931.726177.5125.70.7210.708

1)夾層玻璃平板尺寸：a=400 mm，b=300 mm,h=3 mm.最大撓度為正值，表示爆炸負(fù)壓段影響不顯著，最大撓度取撓度時程曲線第1個峰值.

曲板系數(shù)A和B具有相當(dāng)穩(wěn)定的值，這具有一般性，在不同的尺寸、不同的爆炸距離以及炸藥當(dāng)量和不同的彎曲程度(Δd/a)下，曲板系數(shù)如表4所示.但是，當(dāng)R=1.5 m時，爆炸負(fù)壓段影響顯著，導(dǎo)致最大撓度發(fā)生在夾層玻璃板振動反彈階段，曲板系數(shù)A和B分別偏離穩(wěn)定值0.30和0.37.有關(guān)爆炸負(fù)壓段影響的研究可參閱文獻(xiàn)[16].

表4不同爆炸荷載下夾層玻璃的曲板系數(shù)1)(Δd/a=100/1 000)

Table 4CCP of laminated glass curved panels under different blast loads(Δd/a=100/1 000)

R/mW/kg最大撓度/mm最大主應(yīng)力/MPaCCP平板曲板平板曲板AB1.50.128-5.913-2.522143.8101.80.4260.70855.02502.8240.84381.230.50.2980.376100.020003.4211.00798.837.00.2940.374

1)夾層玻璃平板尺寸：a=1 000 mm，b=700 mm,h=6 mm.最大撓度為負(fù)值，表示爆炸負(fù)壓段影響顯著，最大撓度發(fā)生在夾層玻璃板震動反彈階段.

因此，當(dāng)爆炸荷載不足以使玻璃破壞，且爆炸負(fù)壓可忽略不計(jì)時，可推斷：曲板系數(shù)(CCP)A和B與爆炸荷載相關(guān)性較小，主要由夾層玻璃尺寸以及彎曲程度決定.將爆炸荷載簡化成三角形荷載，對曲板系數(shù)A和B影響很小，再次驗(yàn)證了這兩個系數(shù)與爆炸荷載相關(guān)性較小的事實(shí)，如表5所示.

表5簡化三角形爆炸荷載下夾層玻璃的曲板系數(shù)

Table 5CCP of laminated glass curved panels under simplified triangle blast loads

P/kPat+/ms尺寸/mmΔd/aAB8017a=400,b=300,h=315/4000.7060.7036016a=1000,b=700,h=6100/10000.3130.376

2.2參數(shù)研究

定性分析夾層玻璃尺寸和彎曲程度對曲板系數(shù)的影響，可以發(fā)現(xiàn)參數(shù)之間是耦合的，影響趨勢以及部分耦合分析如下：

(1) 同樣夾層玻璃尺寸下，曲板彎曲程度越大，曲板系數(shù)越小，曲線不可偏移得到，彎曲程度對曲板系數(shù)的影響受玻璃厚度影響，如圖6所示.

圖6　曲板系數(shù)A隨彎曲程度的變化曲線

(2) 同樣曲板彎曲程度和法向投影面積下，玻璃厚度越大，曲板系數(shù)越大且受彎曲程度耦合影響，如圖7所示.

圖7　曲板系數(shù)A隨玻璃厚度的變化曲線

(3)同樣玻璃厚度下，法向投影面積越大，曲板系數(shù)越小，如圖8所示.

圖8　曲板系數(shù)B隨法向投影面積的變化曲線(h=3 mm)

Fig.8Curves ofBchanging with normal projection area(h=3 mm)

(4)同樣玻璃厚度、長度和彎曲程度下，寬長比值越大，曲板系數(shù)一直降低或者先降后增，如圖9所示.寬長比值對曲板系數(shù)的影響是非常復(fù)雜的，受彎曲程度耦合影響.

圖9　曲板系數(shù)B隨寬長比值變化曲線

2.3經(jīng)驗(yàn)公式

玻璃厚度分別為3、6和9 mm，長分別為400、1 000和2 000 mm，對于任意長度，寬度也含有4種情況以考慮不等邊矩形夾層玻璃，曲板彎曲程度(k=Δd/a)為0、0.037 5、0.1和0.2，共計(jì)3×3×4×4=144種情形.在定性分析的基礎(chǔ)上，依據(jù)曲板系數(shù)A和B與夾層玻璃尺寸的關(guān)系,采用1stOpt里的麥夸特法(LM)和通用全局優(yōu)化法擬合系數(shù)，經(jīng)擬合得出曲板系數(shù)A和B經(jīng)驗(yàn)公式為

(22)

(23)

式中，A和B隨玻璃厚度h增加而增加，隨投影面積a×b增加而減小，這與定性分析參數(shù)的影響是一致的，可見擬合是合理的，且擬合的效果很好.曲板系數(shù)A的決定系數(shù)為0.978，相關(guān)系數(shù)為0.990；曲板系數(shù)B的決定系數(shù)為0.975，相關(guān)系數(shù)為0.988.如表6所示，對于絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)吻合較好(低于10%)，有少數(shù)數(shù)據(jù)存在較大偏差(10%～20%)，假設(shè)的擬合函數(shù)基本合理.僅有少數(shù)幾個數(shù)據(jù)擬合失真，這可能是假設(shè)的擬合函數(shù)未能完全描述系數(shù)隨尺寸變化規(guī)律導(dǎo)致的，且參數(shù)之間存在耦合影響，不容易分析出假設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式的形式，假設(shè)不夠合理.

表6　經(jīng)驗(yàn)公式擬合校核1)

1)A1、B1表示原始數(shù)據(jù)，A2、B2表示擬合數(shù)據(jù)，偏差1和2分別為A1與A2、B1與B2的偏差.

下面取3個夾層玻璃尺寸(不用于擬合曲板系數(shù)A和B經(jīng)驗(yàn)公式)的撓度以及最大主應(yīng)力峰值與曲板系數(shù)擬合公式預(yù)估的進(jìn)行對比，如表7所示.可以發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)選取的幾個尺寸在爆炸荷載下(W=120 kg，R=55 m)，預(yù)測的最大主應(yīng)力值(夾層玻璃平板仿真模擬值乘以曲板系數(shù)B)與夾層玻璃曲板仿真模擬得到的結(jié)果吻合較好，預(yù)測的最大撓度(夾層玻璃平板仿真模擬值乘以曲板系數(shù)A)與曲板仿真模擬得到的結(jié)果可能存在一定偏差，而預(yù)測的最大撓度(夾層玻璃平板動態(tài)理論計(jì)算值乘以曲板系數(shù)A)與曲板仿真模擬得到的結(jié)果可能存在較大偏差.綜合分析理論計(jì)算值與有限元仿真的誤差，可以發(fā)現(xiàn)：主要是由于理論計(jì)算的誤差(約10%～20%)和曲板系數(shù)擬合公式的誤差共同引起的，可導(dǎo)致誤差變大或者變小.由于誤差總體不大，可以看出，曲板系數(shù)擬合公式具備一定可靠性和實(shí)用性.

表7　經(jīng)驗(yàn)公式可靠性校核1)

1)w為曲板仿真模擬的最大撓度，w1是采用夾層玻璃平板動態(tài)理論計(jì)算值乘以曲板系數(shù)A得到，w2是采用夾層玻璃平板有限元仿真值乘以曲板系數(shù)A得到；σc是曲板仿真模擬的最大主應(yīng)力，σf采用平板有限元仿真結(jié)果(理論計(jì)算應(yīng)力誤差太大)乘以曲板系數(shù)B得到，偏差1是w1和w2與w的偏差，偏差2是σf與σc的偏差.

因此，當(dāng)爆炸荷載不足以使玻璃破壞，且爆炸負(fù)壓可忽略不計(jì)時，爆炸荷載下夾層玻璃曲板的動態(tài)計(jì)算可以采取簡化計(jì)算方法，即根據(jù)同樣尺寸的夾層玻璃平板動態(tài)理論計(jì)算最大撓度和最大主應(yīng)力，乘以曲板系數(shù)A和B即可預(yù)估夾層玻璃曲板的最大撓度和最大主應(yīng)力.同時，提高夾層玻璃平板動態(tài)理論計(jì)算的精度，對提高夾層玻璃曲板動態(tài)響應(yīng)預(yù)估的精度是十分必要的.

3結(jié)論

文中推導(dǎo)了固支邊界夾層玻璃平板的動態(tài)理論計(jì)算方法，發(fā)現(xiàn)PVB彈性模量對理論計(jì)算精度有重要影響，即PVB彈性模量越大，把夾層玻璃等效為單層玻璃板的假設(shè)越加合理，理論計(jì)算精度越高.

當(dāng)爆炸荷載不足以使玻璃破壞，且爆炸負(fù)壓影響可忽略不計(jì)時，結(jié)論如下：①夾層玻璃曲板存在兩個穩(wěn)定的曲板系數(shù)(CCP)A和B，系數(shù)與玻璃尺寸以及彎曲程度k有關(guān)，與荷載相關(guān)性很?。虎谇鍎討B(tài)響應(yīng)計(jì)算可采取文中的簡化計(jì)算方法，預(yù)估夾層玻璃曲板的最大撓度和最大主應(yīng)力.

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Analysis of Dynamic Responses of Curved Laminated Glass Panels Under Blast Loads

ZHANGHongDENGHan-guoYAOXiao-huLONGQian

(School of Civil Engineering and Transportation, South China University of Technology,Guangzhou 510640, Guangdong, China)

Abstract:This paper deals with the calculation of dynamic response of curved laminated glass panels under blast loads by means of theoretical analyses and finite element simulation. In the investigation, first, the theoretical calculation methods of dynamic responses of flat laminated glass panels with clamped boundary are deduced, finding that the PVB elastic modulus greatly influences the accuracy of theoretical calculation. Then, the dynamic responses of curved laminated glass panels under blast loads are discussed, finding that there are two stable coefficients of curved panels(CCP), which may provide a simplified method for the dynamic response calculation of curved laminated glass panels, that is, to obtain the maximum deflection and principal stress of curved laminated glass panels by multiplying the corresponding values of flat laminated glass panels in the same size with some coefficients. Meanwhile, the influences of geometric parameters of the curved laminated glass panels on the CCP are quantitatively ana-lyzed, and reliable empirical formulas are fitted. This research provides a simple and practical calculation method for estimating the dynamic responses of curved laminated glass panels.

Key words:curved laminated glass panel; blast resistance; coefficient of curved panel; dynamic response

收稿日期:2015- 08- 24

*基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372113)

Foundation item:Supported by the National Natural Science Foundation of China(11372113)

作者簡介:張紅(1967-),女,博士,副教授,主要從事復(fù)合材料及其結(jié)構(gòu)力學(xué)和沖擊動力學(xué)研究.E-mail:emhzhang@scut.edu.cn

文章編號:1000- 565X(2016)04- 0135- 08

中圖分類號：TU 382

doi：10.3969/j.issn.1000-565X.2016.04.020