田　靜, 劉　婷, 惠小強

(1.西安郵電大學 理學院， 陜西 西安 710121;　2.西安郵電大學 通信與信息工程學院， 陜西 西安 710121；3.西安郵電大學 物聯(lián)網(wǎng)與兩化融合研究院， 陜西 西安 710061)

多耦合相位振子的部分測度同步及相同步

田靜1, 劉婷2, 惠小強3

(1.西安郵電大學 理學院， 陜西 西安 710121;2.西安郵電大學 通信與信息工程學院， 陜西 西安 710121；3.西安郵電大學 物聯(lián)網(wǎng)與兩化融合研究院， 陜西 西安 710061)

摘要:對耦合哈密頓系統(tǒng)中兩耦合相位振子的HZ模型進行改進，給出多耦合相位振子改進模型,并分析改進模型的集體動力學行為。利用標準四階龍格-庫塔法求解正則方程，將其數(shù)值結(jié)果投影到子系統(tǒng)運動的相平面，以獲取系統(tǒng)各運動軌道在相平面上的演化。利用數(shù)值模擬方法,分別計算出系統(tǒng)振子的能量、平均能量、序參量和最大李雅普諾夫指數(shù)。利用改進后的模型可以驗證：耦合哈密頓系統(tǒng)存在部分測度同步現(xiàn)象，并在同步轉(zhuǎn)變點附近存在分界線混沌現(xiàn)象；在非同步態(tài)向測度同步態(tài)轉(zhuǎn)變時，系統(tǒng)可達完全相同步，但無法達到完全測度同步。

關鍵詞:耦合哈密頓系統(tǒng)；部分測度同步；相同步

耦合哈密頓系統(tǒng)中的同步現(xiàn)象[1]作為一種協(xié)同運動是指，兩個或者兩個以上隨時間演化的量在演化過程中保持一定的相對關系。同步現(xiàn)象已在自然科學、工程技術和社會科學等諸多領域中得到了應用，例如全局耦合Logistic映射[2]、混沌振子[1]、神經(jīng)網(wǎng)絡[3]以及昆蟲、動物和人類不同形式的合作行為。

Hampton和Zanette在研究耦合哈密頓系統(tǒng)的動力學特性時，首次發(fā)現(xiàn)了一種弱同步形式[4]，即在相互耦合的哈密頓系統(tǒng)(系統(tǒng)動力學結(jié)構(gòu)相同，而初值不同)中，存在一個和系統(tǒng)初始條件有關的臨界耦合強度，當耦合強度大于臨界耦合強度時，子系統(tǒng)在相平面上分享相同的相空間并擁有相同的測度。將這種集體行為定義為測度同步，該現(xiàn)象表現(xiàn)出耦合哈密頓系統(tǒng)所具有的一種全新集體運動形式，該現(xiàn)象的模型被稱為HZ模型[3]。耦合φ4哈密頓系統(tǒng)[5]、耦合Duffing哈密頓系統(tǒng)[6]、Frenkel-Kontorova模型[7]以及雙組分玻色-約瑟夫森結(jié)[8-11]，耦合單擺系統(tǒng)[12-13]已揭示了測度同步現(xiàn)象。隨著認識的逐步深入，又發(fā)現(xiàn)了多個哈密頓振子的部分測度同步[14]、混沌測度同步[15]和非局域模式的測度同步[11]。從微觀角度看，任何系統(tǒng)都屬于保守系統(tǒng)[16]，因此搞清楚保守系統(tǒng)混沌運動的性質(zhì)對耗散系統(tǒng)以及量子混沌的研究具有重要的參考價值。

本文將HZ模型改進為多耦合相位振子模型。利用標準四階龍格-庫塔法[4]數(shù)值模擬，分別給出系統(tǒng)在相空間的運動軌道、系統(tǒng)振子的能量、平均能量、序參量及最大李雅普諾夫指數(shù)，并研究反映測度同步的一些主要性質(zhì)。

1模型

HZ模型是兩耦合相位振子的模型[4]。現(xiàn)將兩耦合相位振子推廣到多耦合相位振子，本文以三耦合相位振子的哈密頓系統(tǒng)為例，該模型對應的哈密頓量為

(1)

其中θi表示單個單擺的擺角振幅，ωi表示單個單擺的角速度，c為可調(diào)的耦合強度。H事實上由Hi和Hij兩部分組成，其中

分別表示單個振子的哈密頓量和兩兩振子相互耦合的能量。該模型對應的動力學正則方程為

(2)

當c=0時，θi將以恒定的速度ωi增長。

2系統(tǒng)的部分測度同步

利用標準四階龍格-庫塔法求得正則方程的解來描述系統(tǒng)的動力學過程。系統(tǒng)的運動狀態(tài)由耦合強度和初始條件決定，初始條件的值設定為

θ1(0)=0 rad,

ω1(0)=0.1 rad/s,

θ2(0)=0 rad,

ω2(0)=0.2 rad/s,

θ3(0)=0 rad,

ω3(0)=0.9 rad/s。

(3)

根據(jù)耦合強度對系統(tǒng)中各個振子的動力學行為的影響，將正則方程的數(shù)值結(jié)果“投影”到子系統(tǒng)運動的相平面(ωi-θi)上，以觀察系統(tǒng)中的各個運動軌道在相平面上的演化。

不同耦合強度下系統(tǒng)各個振子的運動軌跡如圖1所示。圖1(a)中當c=0時，各振子的運動軌跡為相互分離的閉合曲線，即做準周期運動。隨著耦合強度的增加，初始能量相近的兩個振子的軌跡相互靠近。當c=0.002 6時，這兩個振子的運動軌跡發(fā)生躍變，由原來的相互接近變?yōu)樵谙嗫臻g分享共同的區(qū)域，如圖1(b)所示，它們擁有相同的測度。此時系統(tǒng)達到了部分測度同步即系統(tǒng)中一部分子系統(tǒng)先達到測度同步。發(fā)生躍變的那個耦合強度被稱為臨界耦合強度c0。隨著系統(tǒng)的耦合強度增大，已達到部分測度同步的系統(tǒng)的運動軌跡出現(xiàn)了分界線混沌現(xiàn)象，系統(tǒng)由準周期測度同步變?yōu)榛煦缤剑鐖D1(c)所示。隨后，系統(tǒng)又恢復到準周期的部分測度同步狀態(tài)，過程分別如圖1(d)至圖1(f)所示。

為進一步分析系統(tǒng)部分測度同步相變的動力學機制以及物理特性，需要利用數(shù)值模擬方法分析部分測度同步與系統(tǒng)振子的能量、平均能量、序參量和最大李雅普諾夫指數(shù)等物理參量的關系。

圖1不同耦合強度下HZ系統(tǒng)中各振子相圖

2.1部分測度同步與振子能量的關系

要定量分析系統(tǒng)的動力學機制，尤其是部分測度同步的性質(zhì)，必須借助系統(tǒng)的能量特性。單個振子的能量為[4]

不同耦合強度下，各振子能量隨時間的變化關系，如圖2所示。在圖2(a)中，當c=0時，系統(tǒng)沒有耦合，各個振子的能量穩(wěn)定沒有波動。在圖2(b)中，當各個振子間的耦合強度增加時，能量開始隨時間變化，初始能量相近的振子能量之間的差距逐步縮小。在圖2(b)和圖2(c)中，插圖為第3個振子的能量隨時演化放大圖。如圖2(c)所示,當耦合強度超過臨界值時，兩個振子的能量達到交換平衡，系統(tǒng)達到部分測度同步，繼續(xù)增大振子的耦合強度，能量會隨著時間波動變大，但依然是交換平衡狀態(tài)。圖2反映的過程對應著系統(tǒng)從分離到混合的過程，這也說明系統(tǒng)達到測度同步的本質(zhì)是能量達到交換平衡。

圖2　系統(tǒng)各振子能量隨時間變化

2.2部分測度同步與平均能量的關系

當模型達到部分測度同步時，系統(tǒng)的運動是規(guī)則的。系統(tǒng)達到部分測度同步后從動力學的角度來描述，就是在一個振子所能達到相空間中的任意小鄰域內(nèi)總能找到另一個振子的運動軌道，兩個子系統(tǒng)的相空間擁有相同的區(qū)域與測度，因此兩者的長時間演化所有平均量是相等的。雖然,這些平均量相等只是測度同步的一個必要條件，但這些量能反映出系統(tǒng)的某些特征[16]。為描述系統(tǒng)達到測度同步的轉(zhuǎn)變，要計算系統(tǒng)中單個振子的平均能量[4]

其中T為周期。

系統(tǒng)中振子的平均能量隨耦合強度的變化關系如圖3所示?？梢姡跏寄芰肯嘟膬蓚€振子的平均能量在臨界耦合強度c0=0.002 6時發(fā)生躍變達到了能量平衡。當c0.08時單個振子的平均能量回歸能量平衡同時，由圖可見，非同步到同步是一個突變的過程，同步過程能在一個較長的范圍內(nèi)保持。這一過程說明平均能量可以定量刻畫測度同步的轉(zhuǎn)變。

圖3　系統(tǒng)中各振子平均能量隨耦合強度變化

2.3部分測度同步與序參量的關系

為了表現(xiàn)部分測度同步相變過程得復雜性，通過引入序參量的概念來描述系統(tǒng)從非同步態(tài)向測度同步態(tài)的轉(zhuǎn)變,每個子系統(tǒng)的軌道相平面(ωi-θi)上兩個振子的相差[4]

選取關于時間t的周期函數(shù)m(t),并令

φi(t+1)=φi(t+1)+2πm(t+1)。

若φi(t+1)<φi(t)，則m(t+1)=m(t)+1，否則m(t+1)=m(t)，且m(t)滿足m(0)=0。因此,它可保證系統(tǒng)相差的單調(diào)性。單一振子在相平面的位相可表示為

φi=φi+2πm(t)，

系統(tǒng)在相平面的相差為

Δφ(t)=φ1(t)-φ2(t)。

測度同步達到之前，相差隨時間近似成線性關系

φ(t)≈ηt+φ0。

這一關系表明不同振子軌道的主頻不同。達到測度同步后，系統(tǒng)的相位差發(fā)生鎖定，僅以一定的頻率圍繞某一常數(shù)振動。因此，可定義一個序參量來描述系統(tǒng)的動力學相變[4]，即

ηi,j表示振子i和振子j軌道在相平面的相差。如果ηi,j=0,則表示系統(tǒng)各個軌道具有相同的平均頻率，代表系統(tǒng)已經(jīng)達到相鎖定。

序參量η隨耦合強度變化情況如圖4所示。可見，序參量在耦合強度小于臨界耦合強度c0時為非零值，且隨著耦合強度的增大而減小。

圖4　序參量η隨耦合強度變化

當耦合強度大于c0時，序參量降為0，表示系統(tǒng)有兩個軌道具有相同的平均頻率，相變已經(jīng)發(fā)生,系統(tǒng)達到部分測度同步，隨著耦合強度的繼續(xù)增大，相差隨時間的增大而增大(或減小)，最終全部變?yōu)?，此時系統(tǒng)所有軌道具有相同的平均頻率，達到完全相同步。比較圖1與圖4，可見系統(tǒng)以規(guī)則運動的方式達到了測度同步，并且保持在一段很長的時間內(nèi)，但是并沒有達到完全測度同步。然而，從圖4可見，在臨界轉(zhuǎn)變點以后，經(jīng)過一段時間的演化相位差發(fā)生完全鎖相，系統(tǒng)達到完全相同步。

在HZ系統(tǒng)中對四振子和五振子平均能量、序參量隨耦合強度變化的計算后發(fā)現(xiàn)，部分測度同步現(xiàn)象仍然存在，說明部分測度同步現(xiàn)象是HZ模型的一個集團化的過程，是耦合哈密頓系統(tǒng)的一種普遍行為。

2.4部分測度同步與最大李雅普諾夫指數(shù)的關系

系統(tǒng)在轉(zhuǎn)變過程中出現(xiàn)過混沌同步現(xiàn)象，為了更清晰反映這段混沌同步過程，來計算最大李雅普諾夫指數(shù)。最大李雅普諾夫指數(shù)λm與耦合強度c的關系如圖5所示。

圖5　最大李雅普諾夫指數(shù)與耦合強度的關系

由圖5可見，系統(tǒng)在達到部分測度同步的過程后出現(xiàn)了混沌窗口，此時最大李雅普諾夫指數(shù)λm大于0，表明系統(tǒng)處于混沌同步狀態(tài)，此現(xiàn)象在圖1～圖4中均會發(fā)現(xiàn)。當最大李雅普諾夫指數(shù)λm降為0時，系統(tǒng)恢復到準周期部分測度同步。

3結(jié)語

將兩耦合的HZ模型推廣到多耦合振子的哈密頓系統(tǒng)，對其動力學行為進行分析，發(fā)現(xiàn)其存在部分測度同步及相同步現(xiàn)象，數(shù)值計算結(jié)果表明，同步的轉(zhuǎn)變點會發(fā)生分界線混沌現(xiàn)象，序參量和最大李雅普諾夫指數(shù)分析表明，系統(tǒng)從非同步態(tài)到部分測度同步態(tài)的相變過程中沒有達到完全的測度同步，但達到了完全的相同步。

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[責任編輯:祝劍]

Partialmeasuresynchronizationandphasesynchronizationinmulti-couplingphaseoscillators

TIANJing1,LIUTing2,XIXiaoqiang3

(1.SchoolofScience,Xi’anUniversityofPostsandTelecommunications,Xi’an710121;2.SchoolofCommunicationandInformationEngineering,Xi’anUniversityofPostsandTelecommunications,Xi’an710121;3.InstituteofInternetofThingsandIT-basedIndustrialization,Xi’anUniversityofPostsandTelecommunications,Xi’an710061)

Abstract:A multi-coupling phase oscillators model is given to supersede the two-coupling phase oscillators HZ model in coupled Hamiltonian system, and its collective dynamics behavior is analyzed. The standard fourth-order Runge-Kutta method is applied to solve the canonical equation, and the numerical results are projected to the system motion phase plane to find out the evolvement of every moving track in the system on the phase plane. By using numerical simulation method, the oscillator's energy, the average energy, the order parameter and the maximum Lyapunov exponent can be figured out. By the given model, it can be elicited that, there are partial measure synchronization existing in the coupled Hamiltonian system, and separatrix chaos emerges around the synchronous transition point. The system will be completely phase synchronization when the system phase transform from non-synchronization to synchronization, but it will not reach completely measure synchronization.

Keywords:coupled Hamiltonian systems, partial measure synchronization, phase synchronization

doi:10.13682/j.issn.2095-6533.2016.02.013

收稿日期：2015-09-02

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11104217,11402199);陜西省自然科學基金資助項目(2014JQ1022);陜西省教育廳科學研究計劃資助項目(2014JK1676)

作者簡介：田靜(1981-)，女，博士，副教授，從事非線性動力學及其應用研究。E-mail：tianj2005@gmail.com 劉婷(1989-)，女，碩士研究生，研究方向為信號與信息處理。E-mail：742995926@qq.com

中圖分類號：O321

文獻標識碼：A

文章編號：2095-6533(2016)02-0068-05