白 頡，張慧玲

（太原學(xué)院數(shù)學(xué)系，太原030001）

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關(guān)于At（t≤3）群的LA猜想

白 頡，張慧玲

（太原學(xué)院數(shù)學(xué)系，太原030001）

摘 要：LA猜想是有限p群中一個(gè)著名的猜想.主要依據(jù)At（t≤3）群的分類，結(jié)合各類群的特點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算其自同構(gòu)群的子群或其自同構(gòu)群的階，證明了A1、A2、A3群滿足LA猜想。

關(guān)鍵詞：LA猜想；At群；自同構(gòu)群；階

有限群的自同構(gòu)群是有限群中一類非常重要的群.近年來(lái)，關(guān)于有限p群的自同構(gòu)群的階備受關(guān)注，文獻(xiàn)［1-5］給出了一些小階群的自同構(gòu)群的階，而對(duì)于一般的有限p群，文獻(xiàn)［6］給出了其自同構(gòu)群階的最佳上限，但對(duì)其下限至今仍未徹底解決，即著名的LA猜想：設(shè)G是有限非循環(huán)p群，= pn，n＞2，則.文獻(xiàn)［7-9］證明了一些小階群關(guān)于LA猜想的結(jié)論；文獻(xiàn)［10］證明了某些特殊p群滿足LA猜想；文獻(xiàn)［11-12］證明了亞循環(huán)p群滿足LA猜想。At群是一類重要的有限p群，在同構(gòu)意義下，任何一個(gè)非交換的pn階群G都可以看作是某一個(gè)At群，其中1≤t≤n - 2.因此，證明At群滿足LA猜想意義非凡。下面借助于文獻(xiàn)［13-15］對(duì)At（t≤3）群的分類，結(jié)合各類群的特點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算其自同構(gòu)群子群的階或其自同構(gòu)群的階，證明了A1、A2、A3群滿足LA猜想。

1 預(yù)備知識(shí)

定義 設(shè)G為有限p群，t為任意一個(gè)正整數(shù)，稱G為At群，若G的每個(gè)指數(shù)為pt的子群都交換，并且G至少有一個(gè)指數(shù)為pt-1的非交換群。顯然，內(nèi)交換p群即是A1群。

引理1［16］設(shè)G為有限p群，則以下敘述等價(jià)：

（1）G是內(nèi)交換p群；

（3）d（G）= 2，c（G）= 2且G有一個(gè)交換極大子群。

綜合文獻(xiàn)［7-9，11，19］中關(guān)于LA猜想的結(jié)論，得如下引理：

引理2 設(shè)G是有限p群，若群G滿足下列條件

（2）c（G）= 2；

（5）G為亞循環(huán)p群.

引理3［16］設(shè)p≠2，n是正整數(shù)。假定U = U（pn）是由zpn的可逆元組成的乘法群，即U =｛x∈｝.設(shè)S（U）∈Sylp（U），則S（U）∈，并且S（U）是pn-1階循環(huán)群。S（U）的唯一pt階子群是Si（U）=｛x∈Ux≡1（mod pn-1）｝，0≤i＜n.

2 關(guān)于At（t≤3）群的LA猜想

本節(jié)將依次證明A1、A2、A3群滿足LA猜想。

定理2.1 設(shè)群G是A1群，則.

證明 由At群的定義知，A1群是內(nèi)交換p群，由引理1知，c（G）= 2，從而據(jù)引理2知，.

定理2.2 設(shè)群G是A2群，則.

證明 據(jù)文獻(xiàn)［13］的A2群表知，G有以下三種情形：

（1）G為亞循環(huán)p群；

（3）G有交換極大子群.

定理2.3 設(shè)群G是A3群，則.

若G無(wú)交換極大子群，參考文獻(xiàn)［14-15］的群表，可知G有以下幾種情形：

（2）c（G）= 2；

（3）亞循環(huán)p群；

（6）G是初等交換p群N被內(nèi)交換p群的中心擴(kuò)張；

由引理2知，前五種情形均有.

下證情形（6）、（7）也滿足LA猜想。

（i）G/ N≌Mp（n，m，1），且G′≌.若G =＜a＞＜b＞＜c＞，設(shè)：

其中i = 1（p），j≡1（p），h≡0（pm）

1≤i≤pn+1，1≤j，h≤pm+1，1≤k，l≤p；若G = ＜a＞＜b＞＜c＞＜d＞，設(shè)：

其中i≡1（p），j2≡1（p），j1≡0（pm-1），1≤i≤pn，1≤j1，j2≤pm，1≤k1，k2≤p，1≤l1，l2≤p；若G =＜a＞＜b＞＜c＞＜d＞＜e＞，設(shè)：

其中i≡1（p），j≡1（p），1≤i≤pn，1≤j≤pm，1≤k1，k2≤p，1≤l1，l2≤p，1≤h1，h2≤p.

（ii）G/ N≌Mp（n，m，1），且G′≌Cp2Cp.若G = ＜a＞＜b＞＜c＞，設(shè)：

其中i≡1（p），j≡1（p），h≡0（pm-1），1≤i≤pn，1≤j，h≤pm，1≤k，1≤p2；若G =＜a＞＜b＞＜c＞＜d＞，設(shè)：

其中i≡1（p），j≡1（p），1≤i≤pn，1≤j≤pm，1≤k1，k2≤p2，1≤l1，l2≤p.

由于φ（a），φ（b）滿足與a，b相同的定義關(guān)系，故φ∈Aut（G），又由引理3知，φ∈Sylp（Aut（G）），故，從而.又或，故.

若G =＜a＞＜b＞＜c＞，設(shè)：

其中i≡1（p），j≡1（p），1≤i≤pn+1，1≤j，h≤pm+1，1≤k，l≤p2；若G =＜a＞＜b＞＜c＞＜d＞，設(shè)：

其中i≡1（p），j≡1（p），1≤i≤pn，1≤j≤pm，1≤k1，k2≤p2，1≤l1，l2≤p；若=＜a＞＜b＞＜c＞＜d＞＜e＞，設(shè)：

其中i≡1（p），j≡1（p），1≤i≤pn，1≤j≤pm，1≤k1，k2≤p2，1≤l1，l2≤p，1≤h1，h2≤p.

由于φ（a），φ（b）滿足與a，b相同的定義關(guān)系，故φ∈Aut（G）.又由引理3知，φ∈Sylp（Aut（G）），故，從而.又，故.

對(duì)于情形（7），共有四類，下面分別計(jì)算它們的自同構(gòu)群的階：

設(shè)：φ∶a→ai1bj1ck1，b→ai2bj2ck2是一映射，若φ∈Aut（G），則：＜a→ai1bj1ck1，b→ai2bj2ck2＞= G，1≤i1，i2≤pn，1≤j1，j2≤p2，1≤k1，k2≤p2，且ai1bj1ck1，ai2bj2ck2滿足與a，b相同的定義關(guān)系。令：

則［ai1bj1ck1，ai2bj2ck2］= bvpαcspα+vpβ+i1j2-i2j1，記作c′.由o（c）= p2知，i1j2- i2j1?0（p）.又：［c′，ai1bj1ck1］= bvpi1（i1j2-i2j1）ci1vpα+spi1（i1j2-i2j1）+vp（i1j2-i2j1），（ai2bj2ck2）vp（c′）sp= ai2vpbj2vpck2vp+sp（i1j2-i2j1），由［c，a］= bvpcsp知，i2≡0（pn-1），i1≡1（p）.由i1j2- i2j1?0（p）知，（j2，p）= 1.

反之，若i1，i2，j1，j2，k1，k2滿足上述關(guān)系式，易證＜ai1bj1ck1，ai2bj2ck2＞= G，且ai1bj1ck1，ai2bj2ck2滿足與a、b相同的定義關(guān)系，從而φ可以擴(kuò)充為G的自同構(gòu).

對(duì)于群（ii）（iii）（iv）統(tǒng)一設(shè)映射：

φ∶a→ai1bj1ck1dl1，b→ai2bj2ck2dl2

若φ∈AutG，則：

＜ai1bj1ck1dl1，ai2bj2ck2dl2＞= G，1≤i1，i2≤4，1≤j1，j2≤2m，1≤k1，k2≤4，1≤l1，l2≤2，且ai1bj1ck1dl1，ai2bj2ck2dl2滿足與a，b相同的定義關(guān)系。令：

則［ai1bj1ck1dl1，ai2bj2ck2dl2］= dαci1j2-i2j1，記作c′.由o（c）= 4知，i1j2- i2j1?0（2）.

對(duì)于群（ii），［c′，ai2bj2ck2dl2］= dj2（i1j2-i2j1），（ai2bj2ck2di2）2m= bj22m，由［c，b］= d及b2m= d知，i1j2≡1（2），由（ai1bj1ck1dl1）4= 1知，j1≡0（2m-1）.又由i1j2- i2j1?0（p）知，（i1，2）=（j2，2）= 1.

對(duì)于群（iii），［c′，ai2bj2ck2dl2］= dj2（i1j2-i2j1），（ai1bj1ck1dl1）4= a4i1b4j1，由［c，b］= d及a4= d知，j1≡0（2m-1），又由i1j2- i2j1?0（p）知，（i1，2）= （j2，2）= 1.

對(duì)于群（iv），［c′，ai2bj2ck2dl2］= dj2（i1j2-i2j1），（ai2bj2ck2di2）2m= bj22m，由［c，b］= d及b2m= d知，i1j2≡1（2），由（ai1bj1ck1dl1）4= c2（i1j2-i2j1）知，j1≡0（2m-1），又由i1j2- i2j1?0（p）知，（i1，2）=（j2，2）= 1.

反之，若i1，i2，j1，j2，k1，k2滿足上述關(guān)系式，易證＜ai1bj1ck1，ai2bj2ck2＞= G，且ai1bj1ck1，ai2bj2ck2滿足與a、b相同的定義關(guān)系，從而φ可以擴(kuò)充為G的自同構(gòu).

綜上知，A3群滿足LA猜想.

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The LA-conjecture of At（t≤3）-groups

BAI Jie，ZHANG Hui-ling
（Department of Mathematics，Education Institute of Taiyuan University，Taiyuan 030001，China）

Abstract：LA-conjecture is famous in finite p-groups.According to the classification of At（t≤3）-groups，the orders of automorphism groups and its subsets are calculated.At the same time，combined with the characteristics of each group，LA-conjecture is proved to be true for At（t≤3）-groups.

Key words：LA-conjecture，At-groups，automorphism group，order

中圖分類號(hào)：O152

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/ j.issn.1673 -2057.2016.03.017

文章編號(hào)：1673 -2057（2016）03 -0247 -06

收稿日期：2016-01-19

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（71561008）

作者簡(jiǎn)介：白頡（1978 -），女，碩士，主要研究方向?yàn)槿赫摗?/p>