關(guān)于丟番圖方程1+2x11y+5z11u=2v5w，xvw>0，y+u>0

陳小燕

(瓊臺師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理系，海南 ?？凇?71100)

關(guān)于丟番圖方程1+2x11y+5z11u=2v5w，xvw>0，y+u>0

陳小燕

(瓊臺師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理系，海南 海口571100)

摘要：討論了丟番圖方程1+X+Y=Z 的一個(gè)特殊情形。借助計(jì)算機(jī)，用初等方法給出了指數(shù)丟番圖方程1+2x11y+5z11u=2v5w，xvw>0，y+u>0的全部非負(fù)整數(shù)解。

關(guān)鍵詞：指數(shù)丟番圖方程；非負(fù)整數(shù)解；同余解；計(jì)算機(jī)輔助解法

0引言

設(shè)x，y，z，u，v，w為非負(fù)整數(shù)，考慮指數(shù)丟番圖方程

1+2x11y+5z11u=2v5w，xvw>0，y+u>0。

(1)

顯然，方程(1)是丟番圖方程

(2)

表1　方程(1)的同余解

(b)方程(1)的同余解但不滿足

(c) 方程(1)的同余解但不是方程(1)的解

的一種特殊情況，這里p1，p2，…，pt是素?cái)?shù)，S是給定的有限集。方程(2)的解可用于有限群的分類[1]。例如：曹珍富[2]定出了階為2α13α25α37α4pα5的單群。雖然形如(2)的某些具體方程不借助計(jì)算機(jī)也可以求解[3]，但是借助計(jì)算機(jī)則計(jì)算時(shí)間將大大減少。如：Alex L J和Foster L L[4]借助計(jì)算機(jī)用初等方法給出方程1+x+y=z，xyz=2r3s7t的所有非負(fù)整數(shù)解。文[5-10]用計(jì)算機(jī)輔助解法分別給出了指數(shù)丟番圖方程2x+2y+3z11u=3v11w與px-qy=2等的全部非負(fù)整數(shù)解。在本文中，借助計(jì)算機(jī)，用初等方法給出了(1)的所有非負(fù)整數(shù)解。

1引理

引理1設(shè)(x，y，z，u，v，w)是方程(1)的任一解，(x，y，z，u，v，w)≡(a，b，c，d，e，f)(mod60，120，60，120，60，60)。則滿足1≤a，e，f≤60， 0≤c≤59， 0≤b，d≤119的所有(a，b，c，d，e，f)(稱為(1)的同余解)由表1給出。

證明設(shè)(x，y，z，u，v，w)是方程的解，由于

260≡1(mod52·7·9·11·13·31·41·61)

5060≡1(mod24·7·9·11·13·31·41·61)

11120≡1(mod25·52·7·9·13·31·41·61)，

設(shè)(x，y，z，u，v，w)≡(a，b，c，d，e，f)(mod60，120，60，120，60，60)，1≤a，e，f≤60，0≤c≤59，0≤b，d≤119，則應(yīng)有1+2x11y+5z11u≡2v·5w(mod7·9·13·31·41·61)。

令s=min(a，e，4)，t=min(c，f，2)，則有

1+2x11y+5z11u≡2v·5w(mod2s·5t·7·9·13·31·41·61)

(3)

本文編寫了簡單的UBASIC程序，在1≤a，e，f≤60， 0≤c≤59， 0≤b，d≤119的范圍內(nèi)對(3)進(jìn)行檢驗(yàn)，得到(a，b，c，d，e，f)由表1(a)和表1(b)給出。

說明：UBASIC可以表示-65536542～65536542的整數(shù)，因而(3)及后面相關(guān)的同余式可以方便地在計(jì)算機(jī)上檢驗(yàn)。

2定理

定理1丟番圖方程

1+2x11y+5z11u=2v5w，xvw>0，y+u>0　(4)

表3　式(10)檢驗(yàn)結(jié)果

的全部非負(fù)整數(shù)解(a，b，c，d，e，f)由引理中的表1(a)給出。

證明設(shè)(x，y，z，u，v，w)是方程(1)式的任一組解時(shí)，由引理1，可設(shè)

(x，y，z，u，v，w)=(a+60i，b+120j，c+60k，d+120n，e+60l，f+60m)，

其中(a，b，c，d，e，f)是表1中的任一組數(shù)。當(dāng)(a，b，c，d，e，f)由引理表1(a)或表1(b)給出時(shí)，注意到表1(a)和表1(b)的任一組數(shù)是方程(1)的解，我們有

2a11b(260i11120j-1)+5c11d(560k11120n-1)

=2e5f(260l560m-1)。

(5)

(ⅰ)當(dāng)(a，b，c，d，e，f)=(3，0，0，1，2，1)時(shí)，有

23(260i11120j-1)+11(560k11120n-1)

=22·5(260l560m-1)。

(6)

依次對(6)取模11，5，8，得j=k=l=0，再取模25，得m=0，從而i=n=0。故有(x，y，z，u，v，w)=(3，0，0，1，2，1)，它是方程(1)的滿足題設(shè)條件的一組解。

同理，當(dāng)(a，b，c，d，e，f)=(3，0，0，0，1，1)和(a，b，c，d，e，f)=(2，0，1，0，1，1)時(shí)，必能推出(x，y，z，u，v，w)=(3，0，0，0，1，1)和(2，0，1，0，1，1)，因?yàn)樗鼈儾粷M足方程(1)的限制條件，所以不是方程(1)的解。

(ⅱ)當(dāng)(a，b，c，d，e，f)=(2，1，1，1，2，2)時(shí)，有

22·11(260i11120j-1)+5·11(560k11120n-1)

=22·52(260l560m-1)。

(7)

對(7)取模25，得k=0。若i≠0，模8，得l≠0，再取模16，有-8≡0(mod16)的矛盾，故i=l=0。由于δ151(560)=δ151(11120)=5，在0≤j，m，n≤5范圍內(nèi)，在計(jì)算機(jī)上對同余式

22·11(260i11120j-1)+5·11(560k11120n-1)

≡22·52(260l560m-1)(mod101·151)。

(8)

進(jìn)行檢驗(yàn)，可得j≡n≡0(mod5)，如表2所示。對(7)取模53，可得m=0，從而j=n=0。故有(x，y，z，u，v，w)=(2，1，1，1，2，2)，它是方程(1)的滿足題設(shè)條件的一組解。

同理，當(dāng)(a，b，c，d，e，f)=(2，1，1，0，1，2)和(a，b，c，d，e，f)=(3，1，0，1，2，2)時(shí)，必能推出(x，y，z，u，v，m)=(2，1，1，0，1，2)和(3，1，0，1，2，2)，它們都是方程(1)的滿足題設(shè)條件的一組解。

(ⅲ)當(dāng)(a，b，c，d，e，f)=(2，1，2，1，6，1)時(shí)，有

22·11(260i11120j-1)+52·11(560k11120n-1)=26·5(260l560m-1)。

(9)

依次對(9)取模23，25，得i=m=0。由于δ151(260)=1，δ151(560)=δ151(11120)=5，在0≤j，k，n≤5，0≤l≤1范圍內(nèi)，在計(jì)算機(jī)上對同余式

22·11(260i11120j-1)+52·11(560k11120n-1)≡26·5(260l560m-1)(mod101·151)

(10)

進(jìn)行檢驗(yàn)，可得j≡0(mod5)，如表3所示，對(9)取模53，可得k=0。由于δ193(260)=δ193(11120)=8，在0≤j，n，l≤8范圍內(nèi)，對同余式

22·11(260i11120j-1)+5·11(560k11120n-1)≡22·52(260l560m-1)(mod97·193)

(11)

進(jìn)行檢驗(yàn)，可得j≡n≡0(mod8)，如表4所示，對(9)取模27，可得l=0，從而j=n=0。故有(x，y，z，u，v，w)=(2，1，2，1，6，1)，它是方程(1)的滿足題設(shè)條件的一組解。

表4　式(11)檢驗(yàn)結(jié)果

表5　式(13)的檢驗(yàn)結(jié)果

表6　式(14) 的檢驗(yàn)結(jié)果

(ⅳ)當(dāng)(a，b，c，d，e，f)=(7，0，0，2，1，3)時(shí)，有

27(260i11120j-1)+112(560k11120n-1)

=2·53(260l560m-1)。

(12)

依次對(12)取模11，5，4，得j=k=l=0。由于δ193(260)=δ193(11120)=8，δ193(560)=16，在0≤i，n≤8，0≤m≤6范圍內(nèi)，在計(jì)算機(jī)上對同余式

27(260i11120j-1)+112(560k11120n-1)

=2·53(260l560m-1)(mod97·193)。

(13)

進(jìn)行檢驗(yàn)，得n≡0(mod8)，m≡0(mod16)，如表5所示，對(12)取模28，可得i=0。由于δ2251(11120)=25，δ2251(560)=25×27，在0≤m≤25×27，0≤n≤25范圍內(nèi)對同余式

27(260i11120j-1)+112(560k11120n-1)

≡2·53(260l560m-1)(mod101·151·2251)。

(14)

進(jìn)行檢驗(yàn)，得n≡0(mod25)，如表6所示。對(12)取模54，可得m=0，從而n=0。故有(x，y，z，u，v，w)=(7，0，0，2，1，3)，它是方程(1)的滿足題設(shè)條件的一組解。

(ⅴ)最后證明(a，b，c，d，e，f)=(14，61，29，19，58，38)和(54，31，13，19，38，18)時(shí)，方程(1)沒有滿足題設(shè)條件的解。

假設(shè)上述2組數(shù)都是方程(1)的解，則它們滿足方程(5)，且必有k>0，使

2a11b(260i11120j-1)+5c11d(560k11120n-1)

≡2e·5f(260l560m-1)(mod101·151·401)。

(15)

由于δ401(260)=10，δ401(560)=δ401(11120)=5，所以只需對(a，b，c，d，e，f)的上述2組取值的每一組在0≤i，l≤10， 0≤m，k，n，j≤5范圍內(nèi)檢驗(yàn)(15)式是否成立。用UBASIC編寫了檢驗(yàn)程序，經(jīng)計(jì)算機(jī)檢驗(yàn)得知，無0≤i，l≤10， 0≤m，k，n，j≤5使(15)式成立，故方程(1)沒有解。

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OntheDiophantineEquation1+2x11y+5z11u=2v5w，xvw>0，y+u>0

CHENXiaoyan

(DepartmentofmathematicsandPhysics,QiongtaiTeachersCollege,HaikouHainan571100,China)

Abstract:This paper discusses a special case of the Diophantine equation 1+X+Y=Z.With computer assistance,all the nonnegative integer solutions to the exponential Diophantine equation 1+2x11y+5z11u=2v5w，xvw>0，y+u>0 are determined by elementary method.

Keywords：exponential diophantine equation;congruence solution;solutions in non-negative integers;computer-aided solution

文章編號：1673-5072(2016)02-0200-03

收稿日期：2015-06-26

作者簡介：陳小燕(1982—)，女，海南臨高人，講師，主要從事數(shù)論研究。 通訊作者：陳小燕，E-mail:837448518@qq.com

中圖分類號：O156.7

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

DOI：10.16246/j.issn.1673-5072.2016.02.014