云南省易門縣第一中學(xué)　　呂順寧　　(郵編：651100)

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由一道高三質(zhì)檢題看兩類數(shù)學(xué)題的探究

云南省易門縣第一中學(xué)呂順寧(郵編：651100)

2016年云南省玉溪市高中畢業(yè)生第一次教學(xué)質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)第21題為：

題目已知函數(shù)f(x)=2lnx-ax+a,(a∈R).

(I) 討論f(x)的單調(diào)性；

(II) 若?x∈(0,+),f(x)≤0, 證明: 當(dāng)0

這是一道構(gòu)思精巧的函數(shù)與不等式的綜合題，著重考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的性質(zhì)以及證明函數(shù)不等式中的綜合運用，試題呈現(xiàn)起點低、落點高，知識綜合性強，對考生能力要求高的特點. 考后分析知試題的第(II)問得分率非常低，可見該題實屬不易.由此引發(fā)筆者對該問題解法分析和背景溯源以及由此引出的兩類高考題解法探究的一些思考,贅述如下.

1試題原解答

(II) 證明由(I)知，若a≤0,f′(x)>0,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增，又f(1)=0,故f(x)≤0不恒成立. 若a>2, 當(dāng)時, f(x)單調(diào)遞增, f(x)>f(1)=0,不合題意；若0f(1)=0,不合題意；若a=2,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增, 在(1,+)單調(diào)遞減, 符合題意，故a=2. f(x)=2lnx-2x+2且lnx≤x-1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”). 當(dāng)0

上述解法由命題組提供. 不難看出, 證明的關(guān)鍵是通過過渡不等式：lnx≤x-1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”)的搭橋，將超越不等式放縮轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，從而使不等式獲證.問題在于證明中不等式：“l(fā)nx≤x-1”的出現(xiàn)“像是從魔術(shù)師的帽子里跑出一只兔子”，顯得突兀不自然, “解題應(yīng)力求簡單自然. 要抓住問題的實質(zhì)，直接剖取核心，不要拖泥帶水、兜圈子、使出很多‘費招’”[1]. 因此我們不禁要問:不等式“l(fā)nx≤x-1”是怎么想到的？而且能作為證題的關(guān)鍵依據(jù)？盡管我們老師知道課后習(xí)題：“ex>x+1,x≠0”這一結(jié)論(見人教A版選修2—2第32頁B組第1題第(3)小題)，對它兩邊取自然對數(shù),再用x-1替換x即可得到.但不至于又要求學(xué)生將其作為重要結(jié)論加以記憶，日后用之吧？再者，在高考復(fù)習(xí)備考中面對學(xué)生，面對該題，就用上述證法講解嗎？“以學(xué)生的思維為起點，追求自然合理的解法”當(dāng)是解題教學(xué)的重點,而且,“在解題過程中，通過分析、思考引領(lǐng)學(xué)生去體味論證邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)與合情推理的豁達(dá), 這是數(shù)學(xué)教學(xué)不可缺失的培養(yǎng)學(xué)生直觀感性認(rèn)識與理性思維邏輯的重要途徑”. 所以，有必要對該題的證法進(jìn)行探索.

2試題的另證

點評很多時候，我們的確糾結(jié)于“問題何解？”而忽視了對“如何解題的思考”？回顧上述另解的過程，不難看出：證明的思維切入點是利用式子的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，將證明不等式的問題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)的單調(diào)性而已. 式子的結(jié)構(gòu)特征如何發(fā)現(xiàn)？著名數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育家波利亞早就指出：“如果不變化問題，我們幾乎不能有什么進(jìn)展”；而單墫教授也說：“不斷地變更問題, 直到它變得易于解決(最好化成一個你所熟悉的問題), 這是解題的常用方法. 從理解題意時，我們就開始這樣做”[1].

3試題的背景揭示及在該背景下的相關(guān)高考題的另解

根據(jù)拉格朗日中值定理，再回到原題. 顯然函數(shù)f(x)=2lnx-2x+2(x>0)滿足:

事實上, 好多高考題或模擬題的壓軸題都有高等數(shù)學(xué)的背景,不僅研究怎樣解同時還注意研究試題的背景來源, 弄清了這些問題，則更有利于認(rèn)識問題的本質(zhì).

例1已知函數(shù)f(x)=lnx-mx+m,m∈R.

(1)已知函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1))處與x軸相切，求實數(shù)m的值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

現(xiàn)摘錄原解答如下：

因為01), 則

結(jié)論 已知函數(shù)f(x)=λ(lnx-x-1), (λ>0), 對于任意的0

例2 (2014年高考遼寧卷理12題)已知定義在[0,1]上的函數(shù)f(x)滿足：

①f(0)=f(1)=0;

解現(xiàn)摘錄原解答如下：

點評本題主要考察絕對值不等式、分類討論思想，意在考查考生對數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用能力. 但是, 上述解法中對x-y的分類討論，其標(biāo)準(zhǔn)的確定是思考的難點. 事實上，容易看出題設(shè)中定義在[0,1]上的抽象函數(shù)f(x)滿足洛爾定理的三個條件, 若要回避分類討論，結(jié)合選擇題的解題特點，可構(gòu)造定義在[0,1]上的函數(shù)f(x)=x2-x,再利用熟知的重要結(jié)論:

4不等式: “l(fā)nx≤x-1”的再認(rèn)識及其變式應(yīng)用

先證明該不等式成立.

如果用x+1替換不等式lnx≤x-1中的x得:ln(x+1)≤x;用x+2替換不等式lnx≤x-1中的x得:ln(x+2)≤x+1.

下面用這兩個不等式巧解幾道高考題.

(I) 求a,b的值；

例4(2013 年高考新課標(biāo)全國II卷理21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(I) 設(shè)x=0是f(x)的極值點, 求m, 并討論f(x)的單調(diào)性；

(II) 當(dāng)m≤2時, 證明:f(x)>0.

根據(jù)不等式ln(x+2)≤x+1, 則只需證明：ex-ln(x+2)≥ex-x-1,即ex-x-1≥0成立即可.

令g(x)=ex-x-1, 則g′(x)=ex-1, 當(dāng)x∈(0,+)時，g′(x)>0, 當(dāng)x∈(-2,0)時，g′(x)<0, 所以函數(shù)g(x)在(-2,0)上單調(diào)遞減，在(0,+)上單調(diào)遞增，在x=0處取得最小值：g(x)min=g(0)=0, 故原不等式獲證.

通過以上對質(zhì)檢題的解法的分析、背景的解讀和結(jié)論的引申, 不僅挖掘了試題的源與流,而且發(fā)現(xiàn)了與質(zhì)檢題分別有相同高數(shù)背景,并探討了它們不同于標(biāo)準(zhǔn)解答的解法.同時可將上述探究過程設(shè)計成研究性學(xué)習(xí)的教學(xué)案例.

參考文獻(xiàn)

1單墫. 解題研究. 南京：南京師范大學(xué)出版社

2劉玉鏈, 傅沛仁. 數(shù)學(xué)分析講義.北京：高等教育出版社

3鄭廷楷. 名師解題(四川卷).(金考卷)2015年全國各省市高考試題匯編(第一期，數(shù)(理科)). 烏魯木齊：新疆青少年出版社

4袁義東, 汪仁林. 2015年高考數(shù)學(xué)模擬試題(2) . 數(shù)理天地(高中版). 2015(2)

5王金澤. 名師解題(遼寧卷).(金考卷)2014年全國各省市高考試題匯編(第一期, 數(shù)學(xué)(理科)). 烏魯木齊：新疆青少年出版社

(收稿日期：2016-02-24)