岳毅蒙,王　欣,趙　銳

(1.商洛學院 數(shù)學與計算機應用學院,陜西 商洛　726000;

(2.商洛學院 經(jīng)濟與管理學院,陜西 商洛　726000)

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帶注資和交易費用的擴散模型的最優(yōu)分紅

岳毅蒙1,王欣2,趙銳1

(1.商洛學院 數(shù)學與計算機應用學院,陜西 商洛726000;

(2.商洛學院 經(jīng)濟與管理學院,陜西 商洛726000)

摘要在帶注資和交易費用的擴散模型基礎上,以股東的折現(xiàn)分紅減去懲罰折現(xiàn)注資的差的期望值最大化為目標,討論了模型的最優(yōu)分紅策略問題。由隨機控制理論建立相應的HJB方程,得到了相應的解及最優(yōu)分紅策略。

關鍵詞擴散模型；注資；HJB方程；分紅

分紅問題最早是由De Finetti在1957年精算大會上首次提出,隨后便成為許多學者研究討論的熱點問題。文獻[1]中討論了最小盈余下經(jīng)典風險模型的最優(yōu)分紅和注資策略。文獻[2]中討論了帶注資和管理費用的風險模型的最優(yōu)分紅和注資策略。我們在前人研究[3-11]的基礎上,討論帶注資和交易費用擴散風險模型的最優(yōu)分紅問題,為保險公司的分紅和注資提供一定的理論指導作用。

1模型構(gòu)建

動態(tài)方程可描述為

(1) {Dt}是右連左極的,增的適應的過程,且滿足D0-=0;

(2) {Zt}是左連右極的,增的適應的過程,且滿足Z0=0。

假設保險公司有最低盈余要求m>0,如果赤字太大,注資不合理,破產(chǎn)時刻定義為

對每個可行策略(D,Z,π,b),定義性能指標:

其中:β<1是分紅交易費用的比例因子;δ>0是折扣因子;φ>1是罰金因子。我們的目標就是最大化V(D,Z,π,b)(x),定義值函數(shù):

則盈余過程轉(zhuǎn)化為

只考慮有約束的分紅策略,即假設分紅率為Ut,且

0≤Ut≤u0<∞。

2HJB方程和最優(yōu)策略

引理1值函數(shù)V(x)在[a,∞)上是凹函數(shù)。

類似于文獻[3],我們可以得到HJB方程:

(θ-η)μ-u]V′(x)+βu-δV(x)+

(1)

其中:u是線性的,所以最優(yōu)分紅策略應滿足:

(2)

其中:x0∶=inf{x∶V′(x)≤β}。

證明由f是增的、有界的,假設f收斂到f(∞)<∞。這里存在xn→∞滿足f′(xn)→0。令un=u(xn),由最優(yōu)分紅策略的定義,假設un=u0,令n→∞,得到

0=[mπ+λ[θE(r(Y,b))-(θ-η)μ]+βu0-

βu0-δf(∞),

現(xiàn)令U=U*表示由式(2)給出的分紅策略,相應的Z*=ZU*。由引理和HJB方程可得

是一個期望為0的鞅。所以

令t→∞,則f(x)≥VU(x)。

所以f(x)=V(x)。

3結(jié)語

在擴散模型的基礎上考慮注資和交易費用因素,利用隨機控制理論求出相應的解及最優(yōu)分紅策略。這一研究推廣了前人的理論,使風險模型更加符合實際,更具現(xiàn)實意義,這些結(jié)論能為保險公司的穩(wěn)健性經(jīng)營提供理論支持。

參考文獻:

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[11]岳毅蒙.最小盈余約束下風險模型的最優(yōu)分紅策略[J].甘肅科學學報,2015,27(2):19-24.

Optimal Dividends of Diffusion Model with Capital Injection and Transaction Cost

Yue Yimeng1,Wang Xin2,Zhao Rui1

(1.Faculty of Mathematics and Computer Application,Shangluo University,Shangluo 726000,China;2.Faculty of Economics and Management,Shangluo University,Shangluo 726000,China)

Key wordsDiffusion model;Capital injection;HJB equation;Dividends

AbstractIssues about optimal dividends strategies of the model are discussed based on diffusion model with capital injection and transaction cost and by realizing the difference of maximization of value of expectation which equals to discounted dividends of shareholders minus punishment discounting capital injection as a target.The corresponding solutions and optimal dividend strategies are deduced through related HJB equation built by stochastic control theory.

doi:10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.03.003.

收稿日期:2015-08-17;修回日期:2015-10-09.

基金項目:陜西省教育科學“十二五”規(guī)劃課題(SGH13406)；商洛學院科研項目(15SKY011).

作者簡介:岳毅蒙(1984-),男,陜西富平人,碩士,講師,研究方向為金融數(shù)學.E-mail:18740586401@126.com.

中圖分類號:O211.6

文獻標志碼:A

文章編號:1004-0366(2016)03-0013-03

引用格式:Yue Yimeng,Wang Xin,Zhao Rui.Optimal Dividends of Diffusion Model with Capital Injection and Transaction Cost[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(3):13-15.[岳毅蒙,王欣,趙銳.帶注資和交易費用的擴散模型的最優(yōu)分紅[J].甘肅科學學報,2016,28(3):13-15.]