劉 磊，劉洪英，馬愛軍，馮雪梅，石 蒙，董 睿，趙亞雄（中國航天員科研訓(xùn)練中心，北京 100094）

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基于Kriging模型的載人航天某裝置結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究

劉 磊，劉洪英，馬愛軍，馮雪梅，石 蒙，董 睿，趙亞雄
（中國航天員科研訓(xùn)練中心，北京 100094）

摘要：對于處在振動環(huán)境中的載人航天某裝置復(fù)雜結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)過程中存在最小化質(zhì)量、同時(shí)最大化一階整體振動頻率的多目標(biāo)優(yōu)化問題，可以利用多目標(biāo)遺傳算法（NSGA-II）求解得到Pareto最優(yōu)解集，但利用NSGA-II 進(jìn)行求解計(jì)算量大，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)更甚。為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間，提出基于Kriging代理模型的復(fù)雜結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，首先通過拉丁超立方采樣獲得樣本點(diǎn)，然后通過樣本點(diǎn)創(chuàng)建Kriging模型，最后利用多目標(biāo)遺傳算法求解代理模型得到Pareto最優(yōu)解集，方便設(shè)計(jì)師從中選擇最優(yōu)解，優(yōu)化結(jié)果表明本文所述方法合理有效。

關(guān)鍵詞：載人航天裝置；結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)；Kriging模型；拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)；多目標(biāo)遺傳算法；Pareto解集

前言

航天器發(fā)射過程中要經(jīng)歷復(fù)雜的力學(xué)環(huán)境，比如振動、沖擊、失重、輻射等[1]，而振動是需要考慮的重要因素之一[2]。結(jié)構(gòu)的固有頻率及固有振型是結(jié)構(gòu)的固有特性，直接體現(xiàn)著結(jié)構(gòu)在振動環(huán)境中的振動形式，在航天產(chǎn)品設(shè)計(jì)中設(shè)計(jì)師一般希望結(jié)構(gòu)振動頻率（特別是低階頻率）能夠足夠大以遠(yuǎn)離火箭發(fā)射過程中振動頻率來避免發(fā)生共振造成結(jié)構(gòu)損壞。另一方面，航天產(chǎn)品研制過程中對質(zhì)量等特性也有著嚴(yán)格的要求，航天器質(zhì)量每降低1 kg，造價(jià)可降低10 000美元[3]，因而航天產(chǎn)品的輕量化設(shè)計(jì)越來越得到重視[4]。在載人航天某裝置研制階段，設(shè)計(jì)師希望該裝置在滿足振動試驗(yàn)條件下重量盡可能的輕，同時(shí)希望裝置一階整體振動頻率盡可能的大，而結(jié)構(gòu)重量與結(jié)構(gòu)一階整體振動頻率往往存在相互影響制約的關(guān)系，因而是個(gè)多目標(biāo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。

針對多目標(biāo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，可以采用加權(quán)變量法求解[5]。為每個(gè)目標(biāo)分配一個(gè)權(quán)重系數(shù)，然而權(quán)重系數(shù)是人為給定，不同的系數(shù)會得到不同的優(yōu)化結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)依賴性強(qiáng)。為了得到結(jié)構(gòu)重量與一階整體振動頻率的Pareto最優(yōu)解集以方便設(shè)計(jì)師進(jìn)行選擇，可以通過多目標(biāo)遺傳算法NSGA-II（Non-dominated Sorting Genetic Algorithms-II）[6，7]求解得到。然而，多目標(biāo)遺傳算法求解問題時(shí)計(jì)算量明顯偏大，對復(fù)雜結(jié)構(gòu)更甚。為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間成本，本文選擇采用代理模型的方法，利用NSGA-II求解代理模型以得到該多目標(biāo)優(yōu)化問題的Pareto最優(yōu)解集。所謂代理模型即為計(jì)算量小，但計(jì)算結(jié)果與真實(shí)計(jì)算程序結(jié)果相近的分析模型。代理模型建立有以下步驟[8]：首先通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)獲取樣本點(diǎn)，然后選擇一種代理模型代替上述樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)，使兩者匹配即可創(chuàng)建代理模型?；诖砟Ｐ偷慕Y(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化流程如圖1所示。

目前常用的代理模型包括徑向基函數(shù)模型，響應(yīng)面模型，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，Kriging模型等。其中Kriging模型是一種進(jìn)行曲線插值的方法，是一種估計(jì)方差最小的無偏估計(jì)模型[9]，可以利用較少樣本點(diǎn)擬合非常復(fù)雜的形狀，適合設(shè)計(jì)變量較多的優(yōu)化問題，因而本文采用Kriging模型代替復(fù)雜有限元分析模型來進(jìn)行復(fù)雜結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。

圖1　基于代理模型的結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化流程圖

1 Kriging 模型原理

Kriging 作為線性回歸分析的一種改進(jìn)的技術(shù)，包含了線性回歸部分和非參數(shù)部分，其中非參數(shù)部分被視作隨機(jī)過程的實(shí)現(xiàn)。假設(shè)隨機(jī)過程服從高斯分布, 其中協(xié)方差矩陣的系數(shù)可以通過極大似然估計(jì)確定[10]。Kriging模型包含回歸部分和非參數(shù)部分。

則任意試驗(yàn)點(diǎn)xi的響應(yīng)估計(jì)為

式中：rT( x )為長度ns的試驗(yàn)點(diǎn)x與采樣點(diǎn){x1, x2, ..., xns}間的相關(guān)向量，可以由下式（5）確定

而全局模型方差的估計(jì)值為

通過極大似然估計(jì)確定相關(guān)函數(shù)矩陣的參數(shù)，可以得到下式（8）最優(yōu)化問題，來確定參數(shù)θk。

當(dāng)θk求出，代入式（3）求得R(xi,xj)，然后代入式（5）可得到未知點(diǎn)x與已知數(shù)據(jù)樣本的相關(guān)向量rT(x)，然后代入式（4）得到其響應(yīng)值，進(jìn)行Kriging模型的創(chuàng)建。

2 某載人航天裝置結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 問題描述

正在研制的某載人航天裝置結(jié)構(gòu)復(fù)雜，為外部框架與內(nèi)部多個(gè)功能單機(jī)產(chǎn)品組成。外部框架由梁、板構(gòu)成，因此有限元建模時(shí)選擇二維面網(wǎng)格進(jìn)行劃分，而內(nèi)部單機(jī)產(chǎn)品根據(jù)其結(jié)構(gòu)不同特點(diǎn)合理選擇面網(wǎng)格、體網(wǎng)格進(jìn)行劃分。為了保證優(yōu)化結(jié)果的可信性，根據(jù)文獻(xiàn)[11]中提供的有限元建模修正方法，利用試驗(yàn)件的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對裝置初始有限元模型進(jìn)行修正，圖2為修正過的裝置有限元模型。

對該產(chǎn)品進(jìn)行模態(tài)分析得到結(jié)構(gòu)前兩階振型為頂板的局部振動，第三階為結(jié)構(gòu)的一階整體振動，大小為58.20 Hz。裝置一階整體振動振型如圖3所示。

由于該裝置內(nèi)部單機(jī)為功能產(chǎn)品，內(nèi)部構(gòu)造及安裝位置都不能進(jìn)行改變，而外部框架由于裝船位置相對固定，也不宜進(jìn)行拓?fù)浞绞降恼{(diào)整，因而設(shè)計(jì)變量選定為部分可調(diào)整框架梁的厚度尺寸，設(shè)計(jì)變量的確定基于以下原則。

1）根據(jù)設(shè)計(jì)方要求選擇厚度可調(diào)整梁，并將厚度相同、功能相似的梁歸并為一類，以保證優(yōu)化后這些梁厚度尺寸仍相同，以便于生產(chǎn)加工。

圖2　裝置有限元模型

圖3　裝置一階整體振動振型圖

表1　設(shè)計(jì)變量初始值、上下限

2）為保證尺寸調(diào)整不影響其他功能的實(shí)現(xiàn)，選擇對框架梁厚度尺寸在初始設(shè)計(jì)尺寸下進(jìn)行微調(diào)，根據(jù)一定原則對每個(gè)尺寸分別設(shè)置上下限。

初步分析得到框架可調(diào)厚度尺寸有10個(gè)，表1為設(shè)計(jì)變量初始值以及上下限。該優(yōu)化問題可表示為式（9）的數(shù)學(xué)模型式，其中優(yōu)化目標(biāo)有兩個(gè)，一是最小化設(shè)計(jì)域結(jié)構(gòu)質(zhì)量（用Mass表示，下同），另一個(gè)是最大化結(jié)構(gòu)一階整體振動頻率（用Frequency表示，下同）。

2.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

DOE ( Design Of Experiment)-試驗(yàn)設(shè)計(jì)，是用來研究輸入變量對一個(gè)或多個(gè)輸出響應(yīng)影響的一種統(tǒng)計(jì)方法[12]。試驗(yàn)設(shè)計(jì)是基于最優(yōu)化思想，通過廣義試驗(yàn)進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)的一種優(yōu)化方法。試驗(yàn)設(shè)計(jì)從不同的優(yōu)良性出發(fā)，通過合理設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案，能夠有效控制試驗(yàn)干擾，達(dá)到科學(xué)處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)，全面進(jìn)行優(yōu)化分析以實(shí)現(xiàn)優(yōu)化的目標(biāo)，已成為現(xiàn)在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)的一個(gè)重要方面。

目前常用試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法包括正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)、拉丁超立方設(shè)計(jì)等。其中。拉丁超立方設(shè)計(jì)是一種修正的蒙特卡羅方法，適用于影響因素較多的情況，被證明用于創(chuàng)建Kriging模型效果較好[13]。本文首先采用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行采樣，然后代入有限元模型計(jì)算求解獲得輸出響應(yīng)值，共得到66個(gè)樣本點(diǎn)，并基于樣本點(diǎn)進(jìn)行以下研究：①確定哪些輸入變量對輸出響應(yīng)影響最大。②用以構(gòu)建Kriging代理模型來代替計(jì)算量非常大的實(shí)際模型進(jìn)行求解。

根據(jù)對拉丁超立方采樣得到的66個(gè)樣本點(diǎn)進(jìn)行分析，可以得出設(shè)計(jì)變量對輸出響應(yīng)的影響程度。圖4是響應(yīng)與設(shè)計(jì)變量插值函數(shù)關(guān)系，可以看出設(shè)計(jì)變量dv1對質(zhì)量和頻率響應(yīng)影響都是最大。

2.3 Kriging代理模型的建立

本文利用拉丁超立方采樣獲得的樣本點(diǎn)，創(chuàng)建Kriging代理模型，然后對該代理模型的可信度進(jìn)行評估。代理模型的可信度是由額外的試驗(yàn)點(diǎn)來驗(yàn)證，這些驗(yàn)證點(diǎn)是由某種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法生成的新設(shè)計(jì)樣本點(diǎn)，而不是上述生成代理模型的樣本點(diǎn)，這樣能夠較好的檢驗(yàn)代理模型的精度。

Kriging代理模型的精度可以利用以下公式（10）來驗(yàn)證：

其中拉丁超立方設(shè)計(jì)共產(chǎn)生66個(gè)樣本點(diǎn)用于創(chuàng)建Kriging模型，而利用部分因子設(shè)計(jì)產(chǎn)生另外16個(gè)樣本點(diǎn)用于對Kriging的可信度進(jìn)行評估。計(jì)算結(jié)果顯示，對于質(zhì)量響應(yīng)，R2=1，是由于質(zhì)量響應(yīng)與設(shè)計(jì)變量之間為簡單的線性關(guān)系，而對于頻率響應(yīng)，R2=0.997，同樣接近于1，表明利用Kriging模型代替原有有限元計(jì)算模型可信度很高。

2.4 多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化

在代理模型基礎(chǔ)上，利用多目標(biāo)遺傳算法完成此優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。遺傳算法是模擬自然選擇與遺傳的隨機(jī)搜索算法，是用于求解全局優(yōu)化最流行的一種算法，而改進(jìn)的非支配排序遺傳算法NSGA-II可以用于解決多目標(biāo)優(yōu)化問題，其可以提供一系列的帕累托解，而非單一解。該優(yōu)化設(shè)計(jì)過程基于多學(xué)科優(yōu)化平臺HyperStudy[14]進(jìn)行，設(shè)置最大迭代次數(shù)100，其余參數(shù)取默認(rèn)值，可以得到優(yōu)化后Pareto曲線如圖5所示。

圖4　響應(yīng)與設(shè)計(jì)變量的線性插值關(guān)系

圖5　多目標(biāo)優(yōu)化Pareto最優(yōu)解集

設(shè)計(jì)師可以根據(jù)Pareto最優(yōu)解集并按照實(shí)際需求選擇最合適方案，如若保持一階整體振動頻率58.20 Hz不變，設(shè)計(jì)域最小質(zhì)量為12.94 kg，可比原設(shè)計(jì)降低0.79 kg（原設(shè)計(jì)為13.73 kg），優(yōu)化減重5.8 %，表明原設(shè)計(jì)存在優(yōu)化空間。表2為優(yōu)化后經(jīng)過圓整的結(jié)構(gòu)尺寸。

為了進(jìn)一步研究Kriging模型代替原有結(jié)構(gòu)有限元模型的有效性，將優(yōu)化后結(jié)構(gòu)尺寸帶入有限元模型進(jìn)行計(jì)算，表3為Kriging模型結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果的比較，表中數(shù)據(jù)顯示兩個(gè)結(jié)果基本相同，誤差極小，表明Kriging模型求解該優(yōu)化問題合理有效。最后對優(yōu)化后結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動試驗(yàn)條件下的力學(xué)特性分析以校核應(yīng)力，結(jié)果表明應(yīng)力有很大余量，滿足要求。

表2　設(shè)計(jì)變量優(yōu)化解

表3　Kriging模型結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果比較

3 結(jié)論

本文針對利用多目標(biāo)遺傳算法求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)計(jì)算量過大的問題，提出基于Kriging代理模型的多目標(biāo)優(yōu)化流程，并對載人航天某裝置進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究，得到該結(jié)構(gòu)質(zhì)量與一階整體振動頻率的Pareto最優(yōu)解集，設(shè)計(jì)師從中選擇最適合該產(chǎn)品的最優(yōu)解。結(jié)果表明該方法在大大減少計(jì)算時(shí)間的同時(shí)保留著極高的精度，而優(yōu)化后結(jié)構(gòu)在一階整體振動頻率保持不變的情況下質(zhì)量有一定幅度的下降，取得很好的優(yōu)化效果，表明本文所提方法的合理有效性，可以為同類產(chǎn)品優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。

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中圖分類號：V414.19

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1004-7204（2016）02-0055-05

基金項(xiàng)目：中國載人航天工程基金項(xiàng)目

作者簡介:

劉磊（1991-），男，碩士，研究方向：航天振動、沖擊環(huán)境條件下結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

馬愛軍（1969-），男，博士，研究員，研究方向：航天振動、沖擊環(huán)境模擬試驗(yàn)技術(shù)。

Study on Structural Optimization of a Manned Aerospace Assembly Based on Kriging Model

LIU Lei, LIU Hong-ying, MA Ai-jun, FENG Xue-mei, SHI Meng, DONG Rui, ZHAO Ya-xiong
（China Astronaut Research and Training Center, Beijing 100094）

Abstract：For a manned aerospace assembly under vibration environment, there are two objectives in design phase: min mass and max first integral vibration frequency. Usually it can be solved by using multi-objective genetic algorithm (NSGA-II), but the computing amount is too large, especially for complex structure. To drop the computing time of using of NSGA-II in multi-objective structural optimization, a method based on Kriging model was proposed. The method achieved the samples from Latin hypercube design firstly and created the Kriging model based on the samples. Then multi-objective optimization problem could be solved using NSGA-II on the Kriging model and got the Pareto set finally. The results verify the effectiveness and practicability of the method.

Key words：manned aerospace assembly; structural optimization design; Kriging model; Latin hypercube design; multi-objective genetic algorithm; Pareto set