劉博，年廷凱，劉敏，鄭德鳳，宋雷，印萍

(1.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024；2. 中國建筑東北設(shè)計研究院有限公司，遼寧 沈陽 110023; 3. 中國礦業(yè)大學(xué) 深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點實驗室，江蘇 徐州 221008；4. 國土資源部海洋油氣資源與環(huán)境地質(zhì)重點實驗室，山東 青島 266071；5. 遼寧師范大學(xué) 城市與環(huán)境學(xué)院，遼寧 大連 116029)

?

基于極限分析上限方法的海底斜坡穩(wěn)定性評價

劉博1，2，年廷凱1，3，4*，劉敏1，鄭德鳳5，宋雷3，印萍4

(1.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024；2. 中國建筑東北設(shè)計研究院有限公司，遼寧 沈陽 110023; 3. 中國礦業(yè)大學(xué) 深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點實驗室，江蘇 徐州 221008；4. 國土資源部海洋油氣資源與環(huán)境地質(zhì)重點實驗室，山東 青島 266071；5. 遼寧師范大學(xué) 城市與環(huán)境學(xué)院，遼寧 大連 116029)

摘要：極限平衡法仍是當(dāng)前海底斜坡穩(wěn)定性的主要工程評價方法，但該法只能給出穩(wěn)定性分析的近似解答?；跇O限分析運動學(xué)定理，假定海底斜坡發(fā)生對數(shù)螺線型滑移破壞模式，將滑體有效自重和簡化波浪力等以外荷載形式疊加引入到虛功率方程中，與潛在滑動面上由黏聚力產(chǎn)生的內(nèi)能耗散率相平衡，建立考慮一階簡化波浪效應(yīng)的海底斜坡上限解法；利用多變量無導(dǎo)數(shù)求極值的逐級迭代方法與最優(yōu)化技術(shù)，結(jié)合抗剪強度折減思想，求解波浪加載下不同時刻的海底斜坡穩(wěn)定性與相應(yīng)的臨界破壞機構(gòu)，并針對典型算例開展有限元數(shù)值解的驗證。進(jìn)而聯(lián)合采用數(shù)值法與上限解，探討波高、波長、水深等波浪參數(shù)對海底斜坡穩(wěn)定性與滑動機制的影響。結(jié)果表明，本文提出的上限解與數(shù)值解吻合較好，獲得的安全系數(shù)與破壞模式等符合一般規(guī)律，為波浪作用下海底斜坡的穩(wěn)定性評價提供了新的途徑。

關(guān)鍵詞：斜坡穩(wěn)定性；海底滑坡；極限分析；波浪力

1引言

波浪產(chǎn)生的波壓力直接作用于海底斜坡表面，在其循環(huán)作用下，極易誘發(fā)海底斜坡失穩(wěn)，特別是在惡劣海況或極端海浪環(huán)境下更易誘發(fā)大規(guī)模海底滑動，給海洋工程建設(shè)帶來不利影響甚至引發(fā)重大地質(zhì)災(zāi)害[1—7]。因此，開展波浪作用下海底斜坡的穩(wěn)定性評價與滑坡預(yù)測研究具有重要的現(xiàn)實意義。

當(dāng)前海底斜坡的穩(wěn)定性評價多采用極限平衡法[4—5，8—9]和靜動力有限元法[1，10—13]。總體上，極限平衡法簡單易行、計算參數(shù)容易滿足，但所得結(jié)果為近似解答，無法確定其與嚴(yán)密解的大小關(guān)系，是工程上的簡化近似方法，且多采用無限坡理論求解，對于局部坡度較大、規(guī)模較小的海底斜坡的計算結(jié)果并不理想，因為這類海底斜坡的破壞模式仍然以整體滑動為主而非淺表層滑動；而擬靜力有限元或動力有限元法，雖然能夠處理復(fù)雜工況，但要求輸入的靜、動力參數(shù)多，取值往往較困難，且易受到邊界條件、網(wǎng)格剖分、本構(gòu)模型等影響，要獲得高精度的計算結(jié)果往往計算成本高、耗時長。相比之下，基于運動學(xué)定理的極限分析上限方法可以很好的彌補這一劣勢，其采用的對數(shù)螺旋面轉(zhuǎn)動破壞模式是所有可能破壞機構(gòu)中最臨界的一種[14]，能夠考慮淺層或深部滑動，所需參數(shù)取值容易，既能滿足計算精度要求，又能給出問題的真實解答，因此在水下邊坡穩(wěn)定性分析中受到青睞[15]。然而，該方法目前尚未實現(xiàn)波浪作用下的海底斜坡穩(wěn)定性評價。

本文引入一階線性波理論，假定波浪在傳播過程中服從正弦分布，以等效波幅平均值對海底表面施加波壓力，將波浪力、上覆水壓與浮力作為外荷載做功，直接加入能量方程虛功率項中，建立考慮擬靜力波壓力的海底斜坡極限狀態(tài)方程；利用強度折減技術(shù)與最優(yōu)化方法，求解波浪作用下不同時刻的海底斜坡穩(wěn)定性安全系數(shù)及相應(yīng)的潛在滑動面；進(jìn)一步結(jié)合典型算例，利用有限元強度折減法驗證其正確性，并通過變動參數(shù)討論，揭示波浪誘發(fā)海底滑坡的破壞機制。

2極限分析上限方法基本理論

極限分析理論是基于塑性力學(xué)中的靜力學(xué)和運動學(xué)定理，分別建立極限應(yīng)力狀態(tài)方程與功能平衡方程，從而找出實際問題的真實解范圍，這個真實解應(yīng)處于最大下限解和最小上限解之間[14]。在各類巖土工程問題中，極限狀態(tài)方程中的未知量可以是邊坡臨界高度與穩(wěn)定性安全系數(shù)、擋墻主被動土壓力和地基承載力等問題。

極限分析上限方法是指滿足土體內(nèi)部破壞準(zhǔn)則和流動法則及給定破壞模式(如對數(shù)螺旋線)條件下，外力(包括體力與面力)所做功的總功率應(yīng)不大于速度間斷面上的內(nèi)能耗散率；當(dāng)處于極限狀態(tài)時，外力功率等于內(nèi)能耗散功率，此時的極限荷載即為真實極限荷載的上界，對于邊坡問題即為臨界高度或穩(wěn)定安全系數(shù)。具體通過式(1)表達(dá)如下[14]：

(1)

圖1　波浪荷載下海底斜坡對數(shù)螺線破壞機構(gòu)Fig.1　The failure mechanism of submarine slope subjected to wave-induced pressure

假定海底斜坡ABC′C為理想剛塑性體，滿足Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則和相關(guān)聯(lián)流動法則；臨界滑裂面通過坡趾下方一點C′(也可通過坡趾C點，為一特殊情況)，它繞著轉(zhuǎn)動中心O點(尚未確定)相對于對數(shù)螺旋面BC′以下的靜止斜坡體做平面內(nèi)剛體旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動的角速度為Ω；斜坡由黏性土構(gòu)成，高度為H，坡角為β，內(nèi)摩擦角和黏聚力分別為φ和c，坡頂A點與滑出點C′連線與水平面夾角為β′(β′≤β)，OB為對數(shù)螺旋滑動面的基線，它的長度為r0，與水平面的夾角為θ0；基線OC′的長度為rh，與初始水平面的夾角為θh；圖中AB和C′C的長度分別用L和D表示。在圖1所示的坐標(biāo)系下，對數(shù)螺旋線方程可用式(2)表示：

(2)

基于相關(guān)聯(lián)流動法則和速度場相容性條件，潛在滑動面BC′上每一點的速度矢量與該點處潛在滑動面切線間的夾角均為內(nèi)摩擦角φ，且與其所在的基線r(θ)方向垂直。因此，速度間斷面上任意一點的V(θ)可以寫成式(3)的形式。

(3)

(4)

3海底斜坡穩(wěn)定性的上限方法

3.1海底滑體重力做功的功率

(5)

(6)

3.2海底滑體孔壓所做外功的功率

完全浸沒的水下邊坡由孔隙水壓力所引起的外功率可由浮力對滑體所做外功率與滑體上界面水壓力所做外功率的矢量和表示[15]，即

(7)

式中，h為不連續(xù)速度間斷面(滑動面)上任意點與滑體上表面AB水平面間的垂直距離(圖1)，S表示上界面BACC′，ni是垂直于上界面BACC′向外的單位向量，vi是上邊界轉(zhuǎn)動的速度，p為沿著上界面BACC′上作用的水壓力，如圖2所示；由于整個海底滑體浸沒在水下，故只需考慮斜坡高度H范圍內(nèi)產(chǎn)生的水壓力做功即可。

圖2　破壞機構(gòu)中沿滑體上界面水壓力分布示意圖Fig.2　The schematic diagram of water pressure distribution in the failure mechanism

(8)

式中，fb是關(guān)于θ0、θh和β′的函數(shù)，表示如下：

(9)

式(7)中，滑體上界面水壓力所做外功的功率可表達(dá)為:

(10)

(11)

3.3波浪荷載在滑體上所做外功的功率

采用一階線性波描述波浪，且假設(shè)波浪在傳播過程中服從正弦波的形式，波浪引起的海底壓力變化可用式(12)表示:

(12)

式中，p0是波浪引起的海底壓力變化幅值，表達(dá)為p0=0.5γwHw/cosh(λd)；λ為波數(shù)，可表示為λ=2π/Lw，Lw是波長，按線性波理論可近似表達(dá)為Lw=1.56T2，其中T是波浪周期；Hw和d分別表示波高和計算點水深，γw是海水的重度；x是從A點起算的水平位置坐標(biāo)(如xA=0，xB>0，xC<0)，t是計算時刻，ω是波浪的圓頻率，可表達(dá)為ω=2π/T。波浪力做功的功率可表達(dá)如下：

(13)

式中，vi表示滑體上界面S上的運動速度，其他參數(shù)的意義同式(12)。

由于波浪周期一般較長(可達(dá)3～5 s)，孔壓累積效應(yīng)相對較弱，且在周期內(nèi)波浪力沒有十分劇烈的變化，故將上述波浪正弦循環(huán)加載方式等效為擬靜力常載，波浪壓力p可等效為波幅平均值2p0/π，近似取0.65p0作為海底土層的上覆壓力，方向垂直指向海底面[10]。取坡頂與坡趾處上覆壓力的平均值作為斜坡上的上覆壓力值，方向與波形相同并且垂直指向海底斜坡表面，如圖3所示。對于波浪傳播時間或不同時刻的波浪壓力問題，可在波浪一個傳播周期內(nèi)平均取8個計算時間節(jié)點，分別記為t0～t7時刻(其時間間隔為T/8，T是波浪傳播的周期)，若t0～t3時刻代

表前半個周期，則t4～t7時刻代表后半個周期，波浪力方向與前者相反；若規(guī)定在t0時刻點上，坡頂A點上方的波浪恰好是一個波形的起始點，此時A點處波浪力為0。上述波浪力簡化模式，其優(yōu)點是對于滑體上方的完整波形，每個波長Lw上的波浪力功率均可以寫成合力偶矩功率的形式，而對于不完整的波形(如滑體上方不足波長Lw的部分)，可方便地計算出這部分波浪力的合力和合力作用點，再求得其所做外功的功率。在這一計算過程中，可以省去復(fù)雜繁瑣的積分運算，從而在一定程度上提高計算與搜索效率、達(dá)到簡化計算目的[17]。

圖3　海底波浪力簡化模式Fig.3　Simplified mode of wave pressure on the seafloor

(14)

n=0～3。

圖4　AB、AC和C′C段波浪力分布模式示意圖Fig.4　The schematic diagram of water pressure distribution in the failure mechanism

(15)

當(dāng)Lw/2-L2≥D時，

(16)

當(dāng)Lw/2-L2

(17)

在t4～t7時刻的波浪力與t0～t3時刻的波形相同、方向相反，故其波浪力做功的功率可以用上述式(14)～(17)的相反數(shù)形式表達(dá)?；诜侄伪磉_(dá)的海底斜坡波浪力功率公式(14)～(17)，則波浪力做功的總功率可表達(dá)為：

(18)

(19)

綜上所述，波浪作用下海底斜坡總的外功率為：

(20)

3.4海底斜坡內(nèi)能耗散率

(21)

3.5波浪作用下海底斜坡功能平衡方程的建立

(22)

式中，H是關(guān)于θ0、θh和β′的函數(shù)；通過搜索程序，在允許的范圍內(nèi)變化3個控制變量的值可以得到H的最小值，以此作為水下斜坡的臨界高度；當(dāng)β=β′時，此時f4的值為0，此時對數(shù)螺旋型滑動面恰好通過坡趾處。

3.6基于強度折減技術(shù)的海底斜坡穩(wěn)定性

強度折減技術(shù)由Zienkiewicz等[18]首次提出并應(yīng)用于巖土工程穩(wěn)定性的數(shù)值分析中，Viratjandr和Michalowski[15]、Nian等[16]將強度折減技術(shù)引入到邊坡穩(wěn)定的極限分析上限方法中，通過假定臨界滑動面并不斷折減土的抗剪強度參數(shù)，使邊坡達(dá)到極限狀態(tài)而獲得安全系數(shù)。應(yīng)用Mohr-Coulomb模型模擬土體材料，折減后的抗剪強度參數(shù)可分別表達(dá)為：

(23)

(24)

式中，c和φ分別為土的黏聚力和內(nèi)摩擦角，F(xiàn)S為強度折減系數(shù)，計算中當(dāng)坡體進(jìn)入極限狀態(tài)時即為安全系數(shù)；cm和φm為折減后的抗剪強度指標(biāo)，是邊坡土體實際發(fā)揮的抗剪強度，即維持坡體平衡需要發(fā)揮的最小抗剪強度。

對于一個幾何條件(坡高H和坡角β)和土性參數(shù)(c和φ)確定且遵循對數(shù)螺旋面滑動的海底斜坡，結(jié)合強度折減技術(shù)，可建立如式(25)所示的斜坡穩(wěn)定性極限狀態(tài)方程：

(25)

式中，F(xiàn)S是關(guān)于θ0、θh和β′的非線性隱式函數(shù)，fA=f1-f2-f3-f4，fB=fb+fw+fq，詳見式(6)、(9)、(11)和(18)，其他參數(shù)的定義同前。采用多變量無導(dǎo)數(shù)求極值的逐級迭代方法，當(dāng)H賦值為邊坡的實際高度時，先假定一個初始折減系數(shù)FS，再逐步改變FS(增大或減小)，使土體的抗剪強度參數(shù)c與tanφ同步變化，直至獲得的土坡臨界高度無限接近于實際斜坡高度，此時得到的折減系數(shù)FS即為邊坡的安全系數(shù)。

采用MATLAB軟件，基于C++語言開發(fā)了海底斜坡穩(wěn)定性的極限分析上限方法搜索程序，采用上述優(yōu)化方法對搜索過程進(jìn)行優(yōu)化，以此確定邊坡的穩(wěn)定性安全系數(shù)、潛在滑動面以及相應(yīng)的水下斜坡臨界破壞機構(gòu)。需要指出，這里定義的波浪作用下海底斜坡安全系數(shù)，是通過計算波浪在一個周期內(nèi)8個不同時刻的安全系數(shù)，取最小值作為波浪作用下海底斜坡整體穩(wěn)定性的安全系數(shù)。

4方法驗證與討論

為了檢驗提出的極限分析上限方法的合理性，結(jié)合海底斜坡典型算例，開展基于有限元強度折減法的數(shù)值驗證工作，并探討不同波浪參數(shù)(如波高、波長、水深等)對解析與數(shù)值計算結(jié)果的影響以及波浪作用下海底斜坡的潛在破壞模式和臨界滑動面變化范圍。

算例：某黏土質(zhì)海底斜坡，坡角為β=5°，坡高為H=15 m；土體的重度為γ=20 kN/m3，抗剪強度參數(shù)分別為φ=2°和c=20 kPa，變形模量和泊松比分別為E=30 MPa和ν=0.3。

考慮這一海底斜坡所處海水深度為d=10 m，選取波浪波長和波高分別為Lw=30 m和Hw=5 m、Lw=60 m和Hw=2.5 m兩組工況，開展波浪加載下海底斜坡穩(wěn)定性的上限分析，所得安全系數(shù)FS與計算時刻t間的關(guān)系曲線如圖5黑線所示。計算中以一個波浪周期T為基本單位，將T平均分為8個計算時刻，分別計算不同時刻t海底斜坡穩(wěn)定性的安全系數(shù)，取各安全系數(shù)中的最小值作為該類波浪周期下海底斜坡的整體穩(wěn)定性安全系數(shù)。

進(jìn)一步地，以有限元軟件ABAQUS為基礎(chǔ)，在荷載模塊中添加一階線性波浪力模式，完成周期性波浪加載；在給定的某一計算時刻(如T/8、T/4、3T/8…)，通過不斷折減土體的抗剪強度參數(shù)，在滿足φ-ν(即摩擦角-泊松比)不等式條件下[19]，實現(xiàn)波浪加載下海底斜坡穩(wěn)定性與破壞模式的連續(xù)彈塑性有限元數(shù)值計算，直至某一折減系數(shù)下滿足斜坡失穩(wěn)判據(jù)，此時的邊坡處于臨界失穩(wěn)狀態(tài)，從而獲得該波浪加載下海底斜坡的穩(wěn)定性安全系數(shù)，進(jìn)而變化計算時刻，獲得波浪作用下不同時刻的海底斜坡穩(wěn)定性的安全系數(shù)[20](圖5紅線)。對比兩種方法的計算結(jié)果，總體上隨時間變化的趨勢相同，結(jié)果也比較接近(圖5a數(shù)值解與上限解略有差異)，特別是在大波長(Lw=60 m和Hw=2.5 m)工況下，結(jié)果十分接近，這表明本文上限方法是合理有效的。

圖6顯示了一組典型波浪(波長為Lw=45 m、波高為Hw=5 m)在水深分別為d=10 m和20 m工況下海底斜坡在t3時刻的臨界滑動面位置和斜坡破壞模式，其中黃色點劃線來自上限方法的結(jié)果，等效塑性應(yīng)變圖來自彈塑性有限元的解答。

對比分析可見，兩種方法確定的潛在滑動面位置十分接近，破壞模式也基本一致。隨著海水深度d的增加，潛在滑動面的位置并沒有發(fā)生顯著變化，而安全系數(shù)隨著水深的增加而逐漸增大，最后趨于靜水條件下的穩(wěn)定性安全系數(shù)(FS=1.570)。

圖6　t3時刻兩種方法計算得到的潛在滑動面Fig.6　The critical sliding surface (CSS) by the two methods in different depths at time t3

5結(jié)論

(1)基于極限分析運動學(xué)定理，發(fā)展了一階簡化線性波加載條件下海底斜坡穩(wěn)定性的極限分析上限方法，并通過無導(dǎo)數(shù)優(yōu)化技術(shù)搜索潛在滑動面和最小安全系數(shù)。

(2)上限方法與數(shù)值解確定的潛在滑動面位置十分接近，破壞模式也基本一致；同一時刻、隨著水深的增加，潛在滑動面的位置并無顯著變化，而不同時刻潛在滑動面位置變化顯著，線性波加載下海底斜坡失穩(wěn)滑動機制類似于對數(shù)螺旋面型式。

(3)極限分析上限法獲得的安全系數(shù)隨著波長或波高的增加而逐漸減小，隨著水深的增加而逐漸增大，最后趨于靜水條件下的安全系數(shù)；該法可作為現(xiàn)行海底斜坡穩(wěn)定性評價方法的有益補充。

(4)針對簡化線性波加載，提出了海底斜坡穩(wěn)定性的上限解法；而有關(guān)實際波浪荷載、復(fù)雜土性與巖土組構(gòu)的海底斜坡穩(wěn)定性問題，正在深入研究。

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Stability of seafloor slopes based on upper bound approach of limit analysis

Liu Bo1，2，Nian Tingkai1，3，4，Liu Min1，Zheng Defeng5，Song Lei3，Yin Ping4

(1.StateKeyLaboratoryofCoastalandOffshoreEngineering，DalianUniversityofTechnology，Dalian116024，China; 2.ChinaNortheastArchitecturalDesign&ResearchInstituteCD，LTD，Shenyang110023，China; 3.StateKeyLaboratoryforGeoMechanicsandDeepUndergroundEngineering，ChinaUniversityofMiningandTechnology，Xuzhou221008，China; 4.KeyLaboratoryofMarineHydrocarbonResourcesandEnvironmentalGeology，MinistryofLandandResources，Qingdao266071，China; 5.SchoolofUrbanandEnvironmentalScience，LiaoningNormalUniversity，Dalian116029，China)

Abstract:Currently，the limit equilibrium method (LEM) has been one of the most popular approaches to assess the seafloor stability. But still，the method has some limitations and only the approximate solutions can be obtained. To achieve the true solution，the upper bound approach based on kinematic theorem of limit analysis incorporating a log-spiral rotational failure mechanism，is established to solve the stability of submarine slopes，in which the simplified linear wave loading is considered，and the external work rates produced by the effective self-gravity of sliding body and the wave-induced pressure on the seafloor slope are equal to the internal energy dissipation rates yielded by the cohesion along the critical sliding surface (CSS). The safety factor (FS) and the corresponding CSS at different time under waves are obtained by combining multivariate stepwise iterative method without derivative and the mathematically optimal technique with strength reduction method (SRM). And，typical example is introduced to carry out the verification of the finite element numerical solution. On the basis of these，the effect of wave parameters such as wave length，wave height and water depth on the slope stability and failure mechanism are discussed. Calculation results show that the FSs and the corresponding CSSs obtained by the upper bound approach agreet well with the numerical solutions，and are also consistent with the general rules. The proposed approach provides a new path for the analysis of seafloor stability．

Key words:seafloor stability; landslide; limit analysis approach; wave force

收稿日期：2015-05-13；

修訂日期：2015-09-24。

基金項目：國家自然科學(xué)基金(51179022，51579032)；海洋油氣資源與環(huán)境地質(zhì)重點實驗室基金(MRE201304)；深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點實驗室基金(SKLGDUEK1307)。

作者簡介：劉博(1987—)，男，遼寧省沈陽市，主要從事海洋土力學(xué)與巖土工程研究。E-mail:304122199@qq.com *通信作者：年廷凱(1971—)，男，遼寧省莊河市人，教授，主要從事海洋巖土力學(xué)與防災(zāi)巖土工程方面研究。E-mail:tknian@dlut.edu.cn

中圖分類號:P642

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：0253-4193(2016)07-0135-09

劉博，年廷凱，劉敏，等. 基于極限分析上限方法的海底斜坡穩(wěn)定性評價[J]. 海洋學(xué)報，2016，38(7): 135-143，doi:10.3969/j.issn.0253-4193.2016.07.013

Liu Bo，Nian Tingkai，Liu Min，et al. Stability of seafloor slopes based on upper bound approach of limit analysis[J]. Haiyang Xuebao，2016，38(7): 135-143，doi:10.3969/j.issn.0253-4193.2016.07.013