張慶超, 馬瑞卿, 皇甫宜耿, 王姣

(1.西北工業(yè)大學 自動化學院, 陜西 西安　710129; 2.中國兵器第203研究所, 陜西 西安　710065)

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電機轉速環(huán)節(jié)Super-Twisting算法二階滑?？刂坡稍O計與研究

張慶超1, 馬瑞卿1, 皇甫宜耿1, 王姣2

(1.西北工業(yè)大學 自動化學院, 陜西 西安710129; 2.中國兵器第203研究所, 陜西 西安710065)

摘要：針對電機轉速環(huán)節(jié)，研究了以Super-Twisting算法(STA)為基礎的轉速閉環(huán)二階滑?？刂坡稍O計方法，無需對轉速求導或求解轉速極值。利用Lyapunov函數(shù)證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并分析了系統(tǒng)中比例滑模項對系統(tǒng)收斂的穩(wěn)定性和快速性的影響，以及不同類型比例滑模項的共同點與區(qū)別。仿真結果表明，在STA基礎上人為增加比例滑模項可以提高系統(tǒng)的收斂速度，而不受系統(tǒng)工作狀態(tài)影響，并且不改變系統(tǒng)的STA二階滑模特性。由于各種電機都具有統(tǒng)一的轉子運動方程，因此，研究結果對各種電機的轉速環(huán)節(jié)二階滑模閉環(huán)控制具有通用性。

關鍵詞：電機；轉速閉環(huán)；二階滑模；Super-Twisting算法；穩(wěn)定性；收斂性

滑模控制由于對系統(tǒng)匹配的有界不確定擾動具有強魯棒性，在各種電機控制系統(tǒng)中得到了廣泛關注與研究[1-6]。在高性能轉速、電流/轉矩雙閉環(huán)電機調速系統(tǒng)結構，轉速外環(huán)控制律輸出就是內環(huán)的給定，要求是連續(xù)控制指令。但傳統(tǒng)滑?？刂剖且环N非連續(xù)控制方法，輸出控制信號存在離散化的高頻抖振，導致傳統(tǒng)滑模不適合用于多環(huán)級聯(lián)系統(tǒng)的外環(huán)控制。

針對傳統(tǒng)滑?？刂浦械亩墩駟栴}，眾多學者提出了多種抖振抑制方法，例如趨近律法、邊界層法、高階滑模等，并將其用于各種電機控制系統(tǒng)中[1-2,5-6]。在這些方法中，高階滑模控制是一種既能夠保留傳統(tǒng)滑模強魯棒性，又能夠有效抑制抖振的新型滑模控制方法，而考慮到電機系統(tǒng)階數(shù)以及控制律復雜性，電機調速系統(tǒng)通常采用二階滑模。

常見的二階滑?？刂扑惴ㄓ蠺wisting算法、Super-Twisting算法、Sub-Optimal算法、Drift算法和Prescribed Convergence Law算法等[7-9]。其中，Super-Twisting算法(Super-Twisting Algorithm,STA)由于無需求取滑模變量的導數(shù)或極值，且輸出控制信號連續(xù)無抖振，因此，被廣泛應用于各種電機調速控制中[3-4,10-12]。

文獻[3]將STA用于開關磁阻電機調速控制；文獻[4]將STA用于風力發(fā)電系統(tǒng)中繞線轉子感應發(fā)電機的轉矩控制；文獻[10]將STA用于有刷直流電機調速控制；文獻[11]將STA用于BLDCM的高性能轉速控制；文獻[12]將STA用于永磁同步直線電機的速度控制。但上述方法都屬于電機的單轉速閉環(huán)二階滑?？刂疲瑹o法控制電流，并且需要對轉速求導，增加了系統(tǒng)引入干擾、噪聲等風險。

對于電機的雙閉環(huán)滑?？刂?，文獻[13]對采用指數(shù)趨近律法的BLDCM轉速、電流雙閉環(huán)滑?？刂七M行了仿真研究；文獻[14]提出一種基于高階非奇異終端滑模的控制方法，用于永磁同步電機的轉速、電流雙閉環(huán)控制；文獻[15]將二階滑模Sub-Optimal算法用于永磁直流電機的轉速、電流雙閉環(huán)控制；文獻[16]將二階積分滑模用于永磁同步電機的轉速外環(huán)控制。上述雙閉環(huán)滑?？刂品椒?，也都需要對轉速求導或求導數(shù)為零處的滑模變量極值。

本文針對電機雙閉環(huán)系統(tǒng)中轉速外環(huán)的二階滑?？刂疲赟TA設計了二階滑?？刂坡?，無需對轉速求導或求極值；利用Lyapunov 函數(shù)證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并分析了比例滑模項對系統(tǒng)收斂的穩(wěn)定性和快速性的影響，在此基礎上，設計了帶有比例滑模項的電機轉速外環(huán)STA 二階滑?？刂坡桑蛔詈?，根據(jù)系統(tǒng)特點，結合仿真分析了不同類型的比例滑模項的共同點與區(qū)別。

1電機轉速環(huán)節(jié)誤差狀態(tài)方程

對于各種旋轉電機，例如無刷直流電機、永磁同步電機、開關磁阻電機、異步電機、直流電機等，其轉子運動方程都可以統(tǒng)一表示為

(1)

式中,Te為電磁轉矩;Tl為負載轉矩;J為電機等效轉動慣量;ω為轉子角速度;β為黏滯摩擦系數(shù)。

(2)

2控制律設計與穩(wěn)定性分析

2.1控制律設計

二階滑模STA的具體表達式可寫為[7]

(3)

式中,s為滑模變量,而控制參數(shù)α>0,λ>0。

STA是一種針對相關度為1的系統(tǒng)提出的二階滑?？刂扑惴?而顯然(2)式所示的電機轉速誤差狀態(tài)方程的相關度為1,因此,設計滑模面為

(4)

針對(2)式,可設計基于STA的直接控制律為

(5)

將(5)式帶入(2)式,并對(4)式沿(2)式所示系統(tǒng)軌跡求導可得

(6)

在(6)式所示的閉環(huán)系統(tǒng)中,λ′=bλ,α′=bα,γ=β/J=-a。顯然,γ為電機參數(shù),并且γ>0。在控制律的參數(shù)調節(jié)過程中,可將系統(tǒng)參數(shù)b融入控制參數(shù)λ′和α′整體調節(jié),而無需關注b的實際準確值。這樣,即使在不知道電機轉速環(huán)節(jié)確切的模型參數(shù)的條件下,對于(6)式所示系統(tǒng),仍然只有2個控制參數(shù)需要調節(jié)λ和α。

2.2穩(wěn)定性分析

對于STA的穩(wěn)定性分析,文獻[18-19]提出了一種相對簡單的利用類二次型Lyapunov函數(shù)的證明方法,并分析了常值擾動與時變擾動2種情況下的STA收斂性;而實際上,常值擾動可以作為時變擾動的一個特例,因此,這里僅從時變擾動角度,借鑒文獻[18-19]構造的Lyapunov函數(shù),對(6)式所示系統(tǒng)進行穩(wěn)定性證明。

令φ=f(t),并采用變量代換

(7)

則,(6)式可以改寫為

(8)

至此,(5)式所示控制律設計的穩(wěn)定性分析問題就轉化為(8)式所示系統(tǒng)的平衡點鎮(zhèn)定問題。

針對(8)式所示系統(tǒng),選取Lyapunov函數(shù)

(9)

(9)式所示V(z)是連續(xù)正定函數(shù),除集合外{z1=s=0},V處處可微,對V沿系統(tǒng)軌跡求導有

(10)

式中

(11)

令m=CTΠξ=ξTΠC,則m2=ξTΠCCTΠξ,根據(jù)不等式(m-ρ)2=m2-2mρ+ρ2≥0,?m,ρ∈R,可以推出

(12)

(13)

結合(10)式可得

(14)

式中

(15)

而根據(jù)Schur補定理,可推出Q1為正定矩陣的一個充分條件為

(16)

(17)

此時

(18)

(19)

式中

(20)

從而可知,當參數(shù)滿足(21)式時

(21)

根據(jù)(19)式可推出

(22)

綜合(15)式～(22)式可知,系統(tǒng)控制參數(shù)應滿足(23)式所示條件

(23)

在此條件下,對(9)式所示的連續(xù)正定候選Lyapunov函數(shù)V=ξTΠξ的沿系統(tǒng)軌跡求導有

(24)

那么,(6)式所示系統(tǒng)滿足Lyapunov穩(wěn)定性條件。

2.3比例滑模項對系統(tǒng)穩(wěn)定性及收斂速度影響

1) 穩(wěn)定性影響分析

當對(2)式所示的電機轉速誤差方程直接采用STA時,如(6)式所示,相比文獻[17-20]中分析的純STA系統(tǒng)多出一個關于滑模面的比例項-γs。而根據(jù)(7)式～(24)式的穩(wěn)定性分析過程可知,只要保證γ>0,-γs就不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而對于γ=β/J,其中β和J都是電機的實際物理參數(shù),并且β>0,J>0,所以γ>0是客觀參數(shù)條件。

2) 控制律改進與收斂速度影響分析

既然比例滑模項不影響電機轉速環(huán)節(jié)二階滑模STA閉環(huán)控制的穩(wěn)定性,那么可通過人為地增加比例滑模項ks(k>0)把控制律(5)式改為

(25)

將(25)式帶入(2)式,并對(4)式沿(2)式所示系統(tǒng)軌跡求導可得

(26)

式中,k′=bk。

對于(26)式所示的系統(tǒng),當把k′+γ視為一個整體參數(shù)時,參照(7)式～(24)式的穩(wěn)定性分析過程,結合上述分析,可知在原STA控制律中加入比例項ks,亦不影響原系統(tǒng)的穩(wěn)定性對于控制律(25)式,相比(5)式所示的純STA控制律中的開方滑模比例項——λ|s|1/2sign(s),只要合理設置k、ks的引入可以增加系統(tǒng)在遠離平衡點處的滑模變量增益,增大控制指令輸出,保證魯棒性,并提高收斂速度;在到達平衡點附近時,STA起到主導作用,保證系統(tǒng)在平衡點鄰域內的穩(wěn)定性和魯棒性。

3仿真與分析

本文以BLDCM雙閉環(huán)調速系統(tǒng)為例,進行相關仿真與分析,系統(tǒng)原理框圖如圖1所示,其中直流母線電壓Ud=UN=270V。為了快速響應轉速外環(huán)控制律輸出的連續(xù)控制指令,轉矩內環(huán)設置為基于三相六狀態(tài)換相邏輯的一階滑模轉矩控制[21]。

3.1仿真參數(shù)設置

1) 電機參數(shù)

系統(tǒng)仿真模型中的BLDCM參數(shù)如表1所示。

圖1　帶比例滑模項STA的BLDCM雙閉環(huán)控制原理框圖

參數(shù)數(shù)值額定電壓UN/V270額定轉速nN/(r·min-1)11000額定轉矩TN/(N·m-1)1.75轉矩系數(shù)kt/(N·m·A-1)0.18線反電勢系數(shù)k'e/(N·(rad·s-1)-1)0.18相電阻12R'/Ω0.2相等效電感12L'/mH1.73轉動慣量J/(kg·m2)4.69×10-4黏滯摩擦系數(shù)β(N·m·(rad·s-1)-10.0001

2) 控制參數(shù)

(23)式所示的控制參數(shù)λ′(λ′=bλ)和α′(α′=bα)的取值條件,只是一個能夠在理論上保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件,并非實用條件和最優(yōu)控制參數(shù),而最終的控制律參數(shù)調節(jié)應該歸結為對λ和α的設置。為了更加合理地進行系統(tǒng)仿真分析,以及分析不同控制參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性和收斂速度的影響,在系統(tǒng)仿真模型中,按照(25)式設計帶比例滑模項的STA二階滑模控制律,并設置如表2和表3所示的控制參數(shù)。

表2　空載運行仿真參數(shù)設置

表3　帶擾動負載運行仿真參數(shù)設置

3.2空載運行分析

令BLDCM在空載條件時(此時,δ=0),設置控制參數(shù)如表2所示。在此條件下,系統(tǒng)在給定轉速n*=8 000 r/min(對應ω*=837.7 rad/s)時的空載轉速、轉矩響應波形如圖2和圖3所示。

圖2　空載時,不同參數(shù)條件下的轉速誤差收斂曲線　圖3　空載時,不同參數(shù)條件下的電磁轉矩曲線

圖2和圖3中的曲線1～4分別對應于在表2中參數(shù)條件1～4所示參數(shù)設置下的轉速誤差和電磁轉矩仿真結果,其中,參數(shù)條件2為添加比例滑模項后的參數(shù)設置,參數(shù)條件3為減小J后的參數(shù)設置,參數(shù)條件4為增大β后的參數(shù)設置。

1)k與γ的區(qū)別以及對系統(tǒng)收斂性的影響

由(26)式可知,k和γ在電機轉速環(huán)節(jié)二階滑?？刂葡到y(tǒng)中,同樣屬于比例滑模項的增益,但不同的是,k是在STA二階滑?？刂坡芍腥藶樵黾拥谋壤ｍ椩鲆?而γ=β/J顯然是電機及其傳動系統(tǒng)的固有參數(shù)。結合表2和圖2可知,人為添加比例滑模項ks和增大γ都可以提高滑模比例項增益,從而提高系統(tǒng)的整體收斂速度。

由于γ=β/J,因此,增大β和減小J都可以增大γ。但是,增大β意味著要增加系統(tǒng)的摩擦系數(shù),而為了要達到圖2中曲線4所示的響應效果,需要將β放大很多倍(仿真中為20倍),這對于實際系統(tǒng)來說,會急劇增大摩擦系數(shù),影響機械結構壽命;并且,如圖3中曲線4所示,增大β會令系統(tǒng)摩擦轉矩增大,這樣即使在空載條件下也需要很大的電磁轉矩,例如,對照表1所示的電機額定參數(shù),在空載條件下在8 000 r/min的轉速下,由于β的影響,電機轉矩已經為1.7 N·m,接近電機的額定負載,這樣的系統(tǒng)在實際中顯然無法使用。

另外,結合(1)式分析圖2中曲線4可知:在電機增速收斂的過程中,βω項為阻力矩,不但沒有加速收斂過程,還明顯減慢收斂過程;但是,當電機轉速在高速區(qū)出現(xiàn)超調時,轉速誤差為負,根據(jù)(26)式,增大β等效于令-γs項加速了退飽和。而在實際的物理系統(tǒng)中,在高速區(qū),由于較大的β產生的阻力矩βω很大,同時由于s減小,并且控制算法開始退飽和,導致在此階段電機的加速度減小,限制了轉速超調,同時,增大β后,在減速過程中βω項提高了減速度,從而起到了加快收斂的作用;由此可以看出,β對系統(tǒng)收斂速度的影響會隨電機的工作狀態(tài)變化而變化。

對于通過減小J(仿真中設置為J/2)來提高收斂速度的方法(圖2中曲線3),雖然不會出現(xiàn)增大β帶來的問題,但是,由于受到電機外形、體積、材料等限制,減小J在實際中的可操作性有限。而在控制律中人為添加比例滑模項ks的方法(圖2中曲線2)既不會出現(xiàn)增大β帶來的各種問題,也不會受限于電機優(yōu)化設計中的各種客觀條件限制,能夠在不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下,提高系統(tǒng)收斂速度,并且不影響系統(tǒng)的機械結構,不受電機優(yōu)化設計局限性限制,相對來說是更簡單、有效、可行的方案。

2) 系統(tǒng)收斂軌跡

圖4和圖5分別為系統(tǒng)相平面收斂軌跡和三維收斂軌跡。圖4和圖5中的曲線1、曲線2分別為在表2中參數(shù)條件1、參數(shù)條件2下的仿真結果。

圖4　空載下系統(tǒng)相平面軌跡

圖5　空載下系統(tǒng)三維收斂軌跡

由圖5可以看出,設置合適增益系數(shù)的比例滑模項,可以提高系統(tǒng)在遠離平衡點的收斂速度,并且能在收斂到平衡點的過程中,“收緊”收斂范圍,減小系統(tǒng)超調,提高收斂速度。

3.3帶擾動負載運行分析

為了發(fā)揮系統(tǒng)的最優(yōu)動、靜態(tài)性能和魯棒性,本文通過參數(shù)試湊法,在系統(tǒng)仿真模型中確定了一組最優(yōu)的λ和α取值,列于表3中。圖6a)、圖7和圖8分別為系統(tǒng)在圖6b)所示擾動負載條件下轉速誤差收斂曲線、系統(tǒng)相平面軌跡、系統(tǒng)三維收斂軌跡,圖中的曲線1和曲線2分別對應為在表3所示的控制參數(shù)條件1和參數(shù)條件2下的仿真結果。

由圖6a)可以看出,設置合適的控制參數(shù)后,系統(tǒng)采用二階滑?？刂茣r對于可微的有界時變負載擾動的強魯棒性,而曲線2說明,在控制律的基礎上人為加入比例滑模項可以進一步減小系統(tǒng)轉速超調,并提高對階躍突變負載擾動的魯棒性。

由圖8所示的三維收斂軌跡展示了系統(tǒng)在擾動負載條件下的收斂全過程。與空載條件不一樣的是,為了滿足系統(tǒng)在擾動負載條件下的魯棒性要求,在(25)式所示的控制律中設置了足夠大的參數(shù)增益,由于系統(tǒng)中必要的電流限幅,添加比例滑模項后,并沒有明顯增加系統(tǒng)在遠離平衡點的收斂速度。但是,在接近平衡點的收斂過程中,同空載條件一樣,比例滑模項的加入能夠加速退飽和,“收緊”收斂范圍,減小系統(tǒng)超調。

圖6　擾動負載條件下,的轉速誤差收斂曲線

圖7　擾動負載條件下的系統(tǒng)相平面軌跡

圖8　擾動負載條件下的系統(tǒng)三維收斂軌跡

4結論

針對電機轉速外環(huán)控制,直接采用二階滑模STA設計閉環(huán)控制律時,無需任何變量的導數(shù),可避免求導對系統(tǒng)帶來的不利影響,并且控制律能夠輸出連續(xù)控制指令,符合外環(huán)控制律設計需求。

采用類二次型Lyapunov函數(shù)方法證明了所設計的二階滑模轉速環(huán)節(jié)閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并且證明了比例滑模項不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性,可以通過人為引入比例滑模項提高系統(tǒng)的收斂速度。

分析了系統(tǒng)中比例滑模項增益系數(shù)k與γ的區(qū)別:γ體現(xiàn)的是系統(tǒng)的結構參數(shù)對于系統(tǒng)收斂性的影響,γ對于系統(tǒng)收斂速度的影響隨系統(tǒng)加速或減速的工作狀態(tài)變化;而k體現(xiàn)的是系統(tǒng)的控制參數(shù)對于系統(tǒng)收斂性的影響,k能夠提高系統(tǒng)遠離平衡點時的收斂速度,并且加速收斂的作用不受系統(tǒng)加速或減速的工作狀態(tài)變化。

各種電機(包括永磁同步電機、無刷直流電機、永磁直流電機、開關磁阻電機、異步電機等)的轉子運動方程都具有統(tǒng)一的形式,因此,本文研究結果在各種電機的應用中均具有通用性。

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Second-Order Sliding Mode Control Based onSuper-Twisting Algorithm for the Speed Outer Loop of Motors

Zhang Qingchao1, Ma Ruiqing1, Huangfu Yigeng1, Wang Jiao2

1.School of Automation, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710129, China2.No.203 Research Institute of China Ordnance Industries, Xi′an 710065, China

Abstract:Aiming at the speed outer close-loop control for the motors, the design method of the second-order sliding mode control law based on the Super-Twisting algorithm(STA) is researched, which doesn′t need the derivative or the extreme value of the speed. The stability is proved by using Lyapunov function. And the influence for the system stability and the rapidity of convergence by the proportional of the sliding mode variable is analyzed, also the commonality and the differences of the various types proportional of the sliding mode variable. Simulation results show that the introduced proportional of the sliding mode variable in STA can improve the convergence speed of the system regardless of the running state of the motor, and the STA second-order sliding mode features of the motor system is not changed. Due to the unified rotor motion equation, the analyzed result of this paper is general to the speed loop second-order sliding mode control for all kinds of motors

Keywords:close-loop control, motor, speed close-loop, second order sliding mode, Super-Twisting algorithm, stability, convergence, Lyapunov function

收稿日期：2015-10-27

基金項目：航空科學基金(2014ZC53037)資助

作者簡介：張慶超(1985—)，西北工業(yè)大學博士研究生，主要從事稀土永磁電機驅動與伺服控制及滑?？刂频难芯?。

中圖分類號：TM351/TP273

文獻標志碼：A

文章編號:1000-2758(2016)04-0669-08