念紅芬 韓文壩黃雙華(攀枝花學(xué)院，四川攀枝花 67000）

彎應(yīng)矩和扭應(yīng)矩作用下的疲勞強(qiáng)度研究

念紅芬 韓文壩1黃雙華1
(攀枝花學(xué)院，四川攀枝花 617000）

現(xiàn)行彈性理論不能解決軸扭轉(zhuǎn)和梁彎曲的部分不平衡問題。但“非零應(yīng)矩彈性理論”證明了扭轉(zhuǎn)存在扭應(yīng)矩，彎曲存在彎應(yīng)矩，扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力和彎曲正應(yīng)力都不是真應(yīng)力，只是相當(dāng)應(yīng)力，從而找到了上述不平衡問題的根源。本文用“應(yīng)矩理論”修正了“應(yīng)力理論”的疲勞強(qiáng)度公式，從而找到了工程疲勞斷裂事故產(chǎn)生的原因。

疲勞；循環(huán)；應(yīng)力；應(yīng)矩

動載荷作用下的金屬疲勞斷裂事故經(jīng)常突然發(fā)生，防不勝防，給人類的生命財產(chǎn)造成了極大的損失。究其原因，除質(zhì)量原因外，主要是現(xiàn)行彈性理論的關(guān)于正應(yīng)力與剪應(yīng)力結(jié)論有缺陷造成的。這種缺陷可以用新理論《非零應(yīng)矩彈性理論》[1]加以修正。

1 和疲勞有關(guān)的新理論簡介

新理論修正了 “作用在單位面積上的力矩（彎矩和扭矩）的極限（應(yīng)矩）為零[2]”的結(jié)論，證明了外力作用下的彎應(yīng)矩和扭應(yīng)矩為非零。而現(xiàn)行彈性理論認(rèn)為純彎曲正應(yīng)力σ為零，純扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力τ為零，是平衡的，從而無法解決大量的彎曲和扭轉(zhuǎn)不平衡的實例。

（1）新理論推導(dǎo)出受扭矩Mn、直徑為D的圓軸扭轉(zhuǎn)最大扭應(yīng)矩[1]為

式中：Wn——新理論下的圓軸抗扭截面模量。

（2）新理論推導(dǎo)出的圓軸彎曲最大彎應(yīng)矩[1]

式中：WW——新理論下圓軸的抗彎截面模量。

（3）絕對靜矩：[1]

2 交變應(yīng)矩下的疲勞[2]

2.1 引起金屬疲勞的原因

如圖1（a），火車軸上所受到的作用不是應(yīng)力，而是彎應(yīng)矩。

圖1 交變彎應(yīng)矩引起疲勞

如圖1（a）所示，A點到中性軸的距離y為：

式中，r為軸的半徑；ω為角速度；t為時間。

如圖1（b）所示。而應(yīng)矩理論下的彎應(yīng)矩由下式[1]確定：

如圖1（c）?？梢姌?gòu)件所受到的是交變應(yīng)矩，而不是交變應(yīng)力。因此，受彎應(yīng)矩和扭應(yīng)矩作用產(chǎn)生的金屬疲勞不是應(yīng)力引起的，而是應(yīng)矩引起的。只有受拉-壓應(yīng)力作用產(chǎn)生的疲勞，才是應(yīng)力引起的。

2.2 交變應(yīng)力和應(yīng)矩的循環(huán)特征[3]

圖2（a）所示為按正弦變化的應(yīng)力與時間t間的關(guān)系；應(yīng)矩與時間t間關(guān)系如圖2（b）所示。

圖2 交變應(yīng)力和交變應(yīng)矩的循環(huán)特征

式中，σmax、σmin和mmaxw、mminw分別表示最大、最小應(yīng)力和彎應(yīng)矩。

若交變應(yīng)矩（力）的mmax（σmax）和mmin（σmin）大小相等，符號相反時，如圖1（b）所示，稱為對稱循環(huán)：

應(yīng)改為：

式中：σm、mm為平均應(yīng)力、平均應(yīng)矩；σa、ma為應(yīng)力幅、應(yīng)矩幅。

3 影響持久極限的因素[4]

3.1 構(gòu)件外形的影響

構(gòu)件上有槽、孔、缺口、軸肩，將引起應(yīng)力集中、局部區(qū)域形成疲勞裂紋，使持久極限顯著降低。在對稱循環(huán)下，若以(mw－1)d或 (mn－1)d表示無應(yīng)力集中的受彎或受扭光滑小試件的持久極限；(mw－1)k或(mn－1)k表示有應(yīng)力集中試樣，且尺寸與無應(yīng)力集中試件相同，則比值為

Kw、 Kn稱為彎曲、扭轉(zhuǎn)有效應(yīng)矩集中系數(shù)。兩種理論下的有效集中系數(shù)完全相等，即

這表明應(yīng)力理論給出的有效應(yīng)力集中系數(shù)的曲線和表格與應(yīng)矩理論完全相同，只是把圖中的材料的拉應(yīng)力強(qiáng)度極限σb轉(zhuǎn)換成材料的彎曲強(qiáng)度極限mb。其中

3.2 構(gòu)件尺寸的影響[4]

對稱循環(huán)下，光滑小試件與大試件的持久極限m－1、(m-)d之比

εw、εn分別稱為彎曲、扭轉(zhuǎn)尺寸系數(shù)。兩種理論的尺寸系數(shù)相同，

3.3 構(gòu)件表面質(zhì)量的影響[5]

兩種理論下的表面質(zhì)量系數(shù)β相等，

綜合上述，對應(yīng)循環(huán)下構(gòu)件的持久極限為

而應(yīng)力理論下的構(gòu)件在對稱循環(huán)下持久極限為

式（8）將被式（7）所取代。

4 對稱循環(huán)下構(gòu)件疲勞強(qiáng)度的計算

構(gòu)件的強(qiáng)度條件為

式（9）將代替以下應(yīng)力理論公式

把強(qiáng)度條件用安全系數(shù)形式表達(dá)為

式中，n為規(guī)定的安全系數(shù)，nm為工作安全系數(shù)。

把式（7）代入式（11），可得彎曲、扭轉(zhuǎn)交變應(yīng)矩的強(qiáng)度條件為

公式（12）將取代以下應(yīng)力理論的強(qiáng)度條件公式

圖3 對稱循環(huán)的疲勞計算實例

（1）用應(yīng)力理論解。

① 計算軸在A-A截面上的最大工作應(yīng)力。

若不計鍵槽對抗彎截面系數(shù)的影響，則其抗彎截面系數(shù)為

軸在不變彎矩M作用下旋轉(zhuǎn)，故為彎曲變形下的對稱循環(huán)，則

確定A-A軸面上的系數(shù)kσ、εσ、β。端銑加工鍵槽，當(dāng)σb=520MPa 時，kσ=1.65，εσ=0.84，β=0.936 。將以上數(shù)據(jù)代入式（13），求得截面A-A的工作安全系數(shù)為

軸的截面A-A處滿足強(qiáng)度條件。

（2）用應(yīng)矩理論解。

抗彎截面系數(shù)

最大彎應(yīng)矩

最小彎應(yīng)矩m

為等幅對稱循環(huán)。

由公式（b），碳素鋼彎應(yīng)矩為

截面A-A處不滿足強(qiáng)度要求。

解（1）用應(yīng)力理論解。

為等幅對稱循環(huán)。

查表（對應(yīng)的曲線圖及表格見《材料力學(xué)》“交變應(yīng)力”一章）可得，當(dāng)

即應(yīng)力理論下，該循環(huán)滿足強(qiáng)度要求。

（2）用應(yīng)矩理論解。

為等幅對稱循環(huán)。

則應(yīng)矩持久極限可見在應(yīng)矩理論下，該循環(huán)不滿足強(qiáng)度要求。

對比[例1]和[例2]可知，軸徑越大，應(yīng)矩理論下的疲勞安全系數(shù)越小。本文用非零應(yīng)矩彈性理論，對等幅非對稱循環(huán)交變應(yīng)力下的構(gòu)件的疲勞強(qiáng)度計算和彎曲與扭轉(zhuǎn)組合等幅交變應(yīng)力下構(gòu)件的強(qiáng)度計算都進(jìn)行了修正。篇幅所限，這里略。

[1]韓文壩.黃雙華.非零應(yīng)矩彈性理論[M].重慶：重慶大學(xué)出版社，2013.

[2] 錢偉長.葉開沅.彈性力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,1956.

[3]范欽珊.殷雅俊.材料力學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005.

[4](美)J.M蓋爾(James M.Gere) Mechanics of Materials[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2002.

[5][美]Pobertl.Mott.Applied Strength of Materials.重慶：重慶大學(xué)出版社，2005.

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1007-6344（2016）04-0347-03

[念紅芬(1974.02)，女，云南陸良人，碩士研究生,講師，攀枝花學(xué)院教師，主要從事土木工程教學(xué)科研設(shè)計工作。