徐　丹，王東方，陳亞銘，鄧小剛

(1.國防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙　410073； 2.國防科技大學(xué) 理學(xué)院， 湖南 長沙　410073)

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高精度有限體積格式在三維曲線坐標(biāo)系下的應(yīng)用*

徐丹1，王東方1，陳亞銘2，鄧小剛1

(1.國防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙410073； 2.國防科技大學(xué) 理學(xué)院， 湖南 長沙410073)

摘要：為了構(gòu)造在光滑區(qū)具有較高分辨率并且可以無振蕩捕捉激波的高精度有限體積格式，同時降低格式在模板選擇上遇到的困難，基于逐維重構(gòu)方法，發(fā)展了結(jié)構(gòu)網(wǎng)格下的高精度有限體積格式，并將這一格式推廣到三維曲線坐標(biāo)系下，從而可以適應(yīng)相對復(fù)雜外形下的計(jì)算。為充分驗(yàn)證格式的有效性，選取一系列典型算例進(jìn)行計(jì)算：在等熵渦輸運(yùn)和二維噴管流動中驗(yàn)證了格式的精度可以達(dá)到設(shè)計(jì)精度；在雙馬赫反射問題中格式也表現(xiàn)出良好的捕捉激波的能力。數(shù)值計(jì)算表明，上述格式在曲線網(wǎng)格上具有較高的數(shù)值精度和魯棒的激波捕捉能力，適用于流體力學(xué)方程的計(jì)算。

關(guān)鍵詞：有限體積方法；高精度格式；曲線坐標(biāo)系；逐維重構(gòu)方法

憑借良好的數(shù)值特性和穩(wěn)定性，有限體積方法被廣泛應(yīng)用于計(jì)算流體動力學(xué)(Computational Fluid Dynamics,CFD)研究，并被大部分商業(yè)軟件采用。但是基于此方法的大部分應(yīng)用和軟件都僅限于2階精度[1]，而隨著計(jì)算氣動聲學(xué)、大渦模擬、直接數(shù)值模擬應(yīng)用的興起，高精度格式成為發(fā)展趨勢。

對于有限體積方法，高精度格式主要依賴于有效無振蕩(Essentially Non-Oscillatory，ENO)和加權(quán)有效無振蕩(Weighted Essentially Non-Oscillatory，WENO)的重構(gòu)方法。Abgrall[2]，Harten和Chakravarthy[3]，Sonar[4]分別將ENO應(yīng)用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格下的有限體積方法。將ENO選擇最光滑模板的方法發(fā)展為不同模板的非線性加權(quán)是WENO格式的基本構(gòu)造思想。Friedrich[5]最早將WENO應(yīng)用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，但是沒有實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化，這一工作由Shu等[6]完成。Tsoutsanis等[7]則在三維非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的基礎(chǔ)上，研究了任意混合網(wǎng)格的計(jì)算方法。最近Groth等[8]發(fā)展了一種同樣基于光滑度測試的中心有效無振蕩(Central Essentially Non-Oscillatory，CENO)格式，并分別用于結(jié)構(gòu)、非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格。盡管CENO格式中并沒有涉及多模板選擇，但仍因其具有ENO特性而命名。

盡管基于ENO/WENO發(fā)展了眾多的高階有限體積算法，但是直接在物理空間上執(zhí)行，特別是在非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上，仍存在較大的問題，尤其是在高階多維重構(gòu)中存在模板選擇困難，這將嚴(yán)重增加算法和代碼的復(fù)雜性，并消耗大量的CPU和內(nèi)存資源，從而無法應(yīng)用于實(shí)際問題的計(jì)算。為解決這一問題，一個有效的方法就是在曲線網(wǎng)格下執(zhí)行有限體積方法。此時需要使用結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，盡管靈活性會受到一定的影響，但是可以使用標(biāo)準(zhǔn)的多維重構(gòu)方法，從而有效降低對計(jì)算機(jī)內(nèi)存和CPU的要求。Casper等[9]較早討論了將高階ENO格式應(yīng)用于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的方法，并詳細(xì)討論了有限體積下的多維重構(gòu)。Titarev和Toro[10]給出了三維條件下的多維重構(gòu)方法，但僅限于笛卡爾網(wǎng)格。

本文以首個應(yīng)用于臨床的KATP開放劑尼可地爾為研究藥物，構(gòu)建高表達(dá)瑞典突變型淀粉樣前體蛋白的神經(jīng)母細(xì)胞瘤細(xì)胞作為AD的體外細(xì)胞模型，研究尼可地爾對AD細(xì)胞模型氧化應(yīng)激和Aβ生成的影響，并探討PI3K/AKT/GSK-3β通路在尼可地爾參與氧化應(yīng)激、Aβ生成調(diào)節(jié)中的可能分子機(jī)制。

為進(jìn)一步提高高精度有限體積方法的使用范圍，將基于逐維重構(gòu)的高精度有限體積格式推廣到曲線坐標(biāo)系，使格式在保持較高精度和激波捕捉能力的基礎(chǔ)上，適應(yīng)相對復(fù)雜外形下的計(jì)算。通過數(shù)值算例，驗(yàn)證格式的精度和對流場間斷的分辨能力。

1曲線坐標(biāo)系下的有限體積方法

考慮三維條件下的雙曲守恒系統(tǒng)：

將真菌測得ITS rDNA序列以及放線菌16 S rDNA與GenBank數(shù)據(jù)庫中已有的序列進(jìn)行BLAST比對。結(jié)果證明菌株YX-25與Alternaria sp. 的同源性最高為99%。結(jié)合已觀察到的菌落特征，鑒定為Alternariaalternate。菌株YX-32與Streptomyces sp. 的同源性最高為100%。結(jié)合已觀察到的菌落特征，鑒定為Streptomycesexfoliatus，見圖6、7。

(1)

經(jīng)過坐標(biāo)變換(x,y,z)→(ξ,η,ζ)可得：

(2)

網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)在三維條件下存在多種等價(jià)的解析形式，但離散條件下各種表達(dá)式的數(shù)值表現(xiàn)卻有很大差別。使用Deng等[11]在對稱守恒網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法(Symmetrical Conservative Metric Method, SCMM)中導(dǎo)出的對稱守恒形式計(jì)算網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)，如式(9)～(11)所示：

(3)

經(jīng)過坐標(biāo)變換，方程中出現(xiàn)網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)和雅克比。對于靜止網(wǎng)格，在曲線網(wǎng)格控制單元Iijk=[ξi-1/2,ξi+1/2]×[ηi-1/2,ηi+1/2]×[ζi-1/2,ζi+1/2]內(nèi)對控制方程式(2)進(jìn)行積分，可以得到如式(4)所示關(guān)系：

(5)

(6)

1.1逐維重構(gòu)方法

曲線網(wǎng)格的一個重要優(yōu)勢就是可以在計(jì)算空間中通過逐維重構(gòu)計(jì)算Gauss點(diǎn)處的QL和QR，而實(shí)際應(yīng)用證明逐維重構(gòu)是較為簡單和節(jié)約計(jì)算時間的方法，其本質(zhì)就是在計(jì)算Gauss點(diǎn)值時進(jìn)行多次重構(gòu)，但每次重構(gòu)都等價(jià)于一維重構(gòu)。接下來給出這一重構(gòu)方法的簡要說明。

其中：α，β代表η和ζ方向的Gauss點(diǎn)；Kα和Kβ為相應(yīng)的權(quán)系數(shù)。那么有限體積方法構(gòu)造的關(guān)鍵就在于如何得到Gauss點(diǎn)處的QL，QR以及相應(yīng)的網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)和雅克比。

(3) 土地開發(fā)度：車站周邊土地開發(fā)強(qiáng)度越高，各種用地性質(zhì)種類(居住、商業(yè)、辦公和休閑服務(wù)等)越多，線路全日客流的強(qiáng)度就越有保障。本文通過統(tǒng)計(jì)車站周邊600 m范圍內(nèi)的建筑面積，計(jì)算周邊用地混合度得到每個車站的折算系數(shù)，然后將兩者相乘得到車站周邊土地開發(fā)度指標(biāo)。

師：我們看出，有些立體圖形的表面包含著一些平面圖形．反之，我們也可以利用這些平面圖形來描述立體圖形．請觀察手中的四棱錐模型，描述四棱錐的特征．

(7)

由表2可知，反應(yīng)時間短，鐵和硅含量指標(biāo)明顯偏高，隨著反應(yīng)時間的延長，鐵和硅含量的急速下降，到2.5h以后，鐵和硅含量變化趨于穩(wěn)定?？紤]工作時間效率，最佳反應(yīng)時間為2.5h。

加強(qiáng)對蔬菜種植戶的科技培訓(xùn)，按農(nóng)時季節(jié)和生產(chǎn)需要及時分鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）分村劃片開展各類培訓(xùn)，經(jīng)常深入設(shè)施溫室大棚集中區(qū)進(jìn)行現(xiàn)場咨詢和指導(dǎo)，為廣大菜農(nóng)提供更好的信息和技術(shù)服務(wù)，提高菜農(nóng)科學(xué)種菜水平和農(nóng)產(chǎn)品質(zhì)量安全意識，提高設(shè)施蔬菜生產(chǎn)銷售的整體水平。建立蔬菜市場價(jià)格信息網(wǎng)絡(luò)，及時提供市場信息，指導(dǎo)蔬菜生產(chǎn)和市場銷售。

(8)

1.2網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)和雅克比計(jì)算方法

2.2二維噴管流動

式中：

然后，利用面元平均值重構(gòu)得到Gauss點(diǎn)所在沿ζ方向線元上的平均值：

(9)

(10)

(11)

根據(jù)積分變換定理可得：

(12)

當(dāng)假設(shè)Q在空間分布為常數(shù)時，式(12)可以簡化為：

(13)

2算例驗(yàn)證

通過對二維、三維算例的計(jì)算，驗(yàn)證文中發(fā)展的高精度有限體積格式的精度和對激波的捕捉能力。

2.1等熵渦輸運(yùn)

為在曲線網(wǎng)格下驗(yàn)證有限體積格式，本算例中使用波形網(wǎng)格，其可以在均勻網(wǎng)格的基礎(chǔ)上通過式(15)得到：

(15)

其中：n=4，A=0.4；L0為計(jì)算域的總無量綱長度；j,k,l為網(wǎng)格點(diǎn)坐標(biāo)索引；x0,y0,z0為對應(yīng)的坐標(biāo)值；Δx0，Δy0，Δz0表示均勻網(wǎng)格長度，且滿足Δx0=Δy0=Δz0。初始流場為等熵渦：

圖1中給出了三維網(wǎng)格以及渦輸運(yùn)一個周期后的速度u分布。從圖中可以看出，渦結(jié)構(gòu)得到了很好的保持?？紤]三維條件下計(jì)算量的限制，在二維條件下對這一問題進(jìn)行了精度測試，表1給出了不同網(wǎng)格下速度v誤差的L1范數(shù)及計(jì)算得到的格式精度。從表中可以看出，在曲線網(wǎng)格下，本文發(fā)展的有限體積格式達(dá)到了設(shè)計(jì)的5階精度，對于光滑流場具有較高的分辨率。

(a)三維網(wǎng)格(a) Three-dimensional grid

(b)速度u等值線(b) Distribution of velocity u圖1　三維等熵渦輸運(yùn)網(wǎng)格和計(jì)算結(jié)果Fig.1　Grid and numerical result in the three-dimensional isentropic vortex transport problem

網(wǎng)格誤差精度40×401.020E-0480×809.129E-063.48120×1201.389E-064.64160×1603.416E-074.87240×2404.622E-084.93

（2）熱料冷補(bǔ)。熱料冷補(bǔ)技術(shù)施工時先將坑槽病害處舊路挖除并清理潔凈，然后添加新瀝青混合料并整平壓實(shí)。該技術(shù)施工成本較低，適合大面積開展且修補(bǔ)效率較高，但存在弱接縫，受天氣影響大，無法對病害進(jìn)行及時快速修補(bǔ)。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證格式在管道流動中的模擬能力，選取Euler方程控制的等熵二維噴管流動進(jìn)行計(jì)算。Casper等[13]最早對這一問題進(jìn)行了研究。在本文中使用C3外形，中間段的形狀通過式(17)擬合：

(17)

此算例中包含亞聲速入口、出口及滑移邊界條件。圖2為噴管外形和網(wǎng)格示意圖。

圖2　二維噴管外形和網(wǎng)格Fig.2　Configuration and mesh used in the two-dimensional channel flow

圖3給出了計(jì)算得到的流場壓力，從圖中可以看出壓力分布對稱。表2中給出了流場熵誤差的L1范數(shù)和計(jì)算得到的格式精度。從表中可以看出，由于在邊界處格式的精度要適當(dāng)降低，總體精度略小于5.0，但格式仍可以保持較高的數(shù)值精度，這表明本文使用的格式在管道流動中也有較好的效果。

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圖3　二維噴管流動壓力分布Fig.3　Distribution of the pressure in the two-dimensional channel flow

網(wǎng)格誤差精度15×102.141E-0330×205.439E-055.3045×301.010E-054.1560×402.889E-064.3590×604.642E-074.51

2.3雙馬赫反射

為了考核高精度有限體積格式在激波捕捉方面的能力，對雙馬赫反射問題進(jìn)行了計(jì)算。算例的計(jì)算域?yàn)閇0,4]×[0,1]，反射位置從下壁面1/6處開始，初始時刻馬赫數(shù)為10的右行激波位于(1/6,0)，并與壁面成60°角。上邊界條件設(shè)為精確的激波移動條件，整個數(shù)值計(jì)算進(jìn)行到t=0.2。

一般雙馬赫反射問題都在笛卡爾網(wǎng)格下計(jì)算，但為了測試本文中高精度有限體積格式在曲線網(wǎng)格下的應(yīng)用，同時在隨機(jī)網(wǎng)格上進(jìn)行了計(jì)算。隨機(jī)網(wǎng)格的生成方法是在笛卡爾網(wǎng)格的基礎(chǔ)上對網(wǎng)格坐標(biāo)增加一個隨機(jī)量。這一過程由Fortran程序控制，但不會超過當(dāng)?shù)夭介L的20%。文中使用240×60的計(jì)算網(wǎng)格。圖4中分別給出了笛卡爾網(wǎng)格和隨機(jī)網(wǎng)格下的計(jì)算結(jié)果。從圖中可以看出，兩種網(wǎng)格下的計(jì)算結(jié)果基本相同，并且格式都很好地捕捉到了激波結(jié)構(gòu)。這表明本文中使用的高精度有限體積格式同樣具有很好的激波捕捉能力。

展開部長達(dá)120個小節(jié)（第95至214小節(jié)），在g小調(diào)上開始，使用了主部的主題材料。經(jīng)過一系列的離調(diào)（a小調(diào)、d小調(diào)、c小調(diào)、降b小調(diào)）之后，在第150小節(jié)上，以降b小調(diào)出現(xiàn)了“假再現(xiàn)部”。然后在第161小節(jié)持續(xù)強(qiáng)調(diào)低音的降B音，右手則以半音上升，達(dá)到升G音，形成增六和弦，以不斷增強(qiáng)的力度，強(qiáng)力返回到d小調(diào)的屬和弦，為再現(xiàn)部的出現(xiàn)作準(zhǔn)備。尾聲之前再次出現(xiàn)類似手法，第323小節(jié)起，貝多芬不斷地重復(fù)一個短小的音型，先是g小調(diào)，然后a小調(diào)，在第335小節(jié)，低音A持續(xù)了整整十六個小節(jié)，漸弱至pp，突然以ff返回主題，進(jìn)入尾聲，其效果極其富有戲劇性。

“這種事連我都不信，你們還當(dāng)真了?！币幌蜃栽倿閻酆驼x化身的夏霖聽到這個傳聞后就開始懷疑真實(shí)性。在同學(xué)們眼中，夏霖一直是個中二少女，但看過上百本奇幻小說的她卻覺得自己是個魔法少女，天不怕地不怕。于是，她決定去現(xiàn)場一探究竟。

(a)笛卡爾網(wǎng)格下計(jì)算結(jié)果(a) Result on Cartesian grid

(b)隨機(jī)網(wǎng)格下計(jì)算結(jié)果(b) Result on randomized grid圖4　雙馬赫反射計(jì)算結(jié)果Fig.4　Results in the double Mach reflection problem

3結(jié)論

將基于逐維重構(gòu)方法的高精度有限體積方法推廣到三維曲線坐標(biāo)系，討論了曲線坐標(biāo)系下的重構(gòu)方法和網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)、雅克比的計(jì)算方法。通過渦輸運(yùn)算例和噴管流動算例的計(jì)算，證明格式可以實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)的精度，具有較高的空間分辨率。在雙馬赫反射算例中，一方面驗(yàn)證了格式具有良好的激波捕捉能力，另一方面也表明格式具有較強(qiáng)的網(wǎng)格適應(yīng)能力，在隨機(jī)網(wǎng)格上也可以得到較好的數(shù)值結(jié)果。在接下來的工作中，將考慮實(shí)現(xiàn)黏性項(xiàng)處理的高精度，從而將格式推廣到NS方程的計(jì)算。

參考文獻(xiàn)(References)

[1]Calhoun D A, Helzel C, LeVeque R J. Logically rectangular grids and finite volume methods for PDEs in circular and spherical domains [J]. SIAM Review, 2008, 50(4): 723-752.

[2]Abgrall R. On essentially non-oscillatory schemes on unstructured meshes analysis and implementation [J]. Journal of Computational Physics, 1994, 114(1): 45-58.

[3]Harten A, Chakravarthy S R. Multi-dimensional ENO schemes for general geometries [R]. ICASE Report No. 91-76, 1991.

[4]Sonar T. On the construction of essentially non-oscillatory finite volume approximations to hyperbolic conservation laws on general triangulations: polynomial recovery, accuracy and stencil selection [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1997, 140(1/2): 157-181.

[5]Friedrich O. Weighted essentially non-oscillatory schemes for the interpolation of mean values on unstructured grids [J]. Journal of Computational Physics, 1998, 144(1): 194-212.[6]Hu C Q, Shu C W. Weighted essentially non-oscillatory schemes on triangular meshes [J]. Journal of Computational Physics, 1999, 150(1): 97-127.

[7]Tsoutsanis P, Titarev V A, Drikakis D. WENO schemes on arbitrary mixed-element unstructured meshes in three space dimensions [J]. Journal of Computational Physics, 2011, 230(4): 1585-1601.

[8]McDonald S D, Charest M R J, Groth C P T. High-order CENO finite-volume schemes for multi-block unstructured mesh [C]//Proceedings of 20th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, AIAA 2011-3854, 2011.

[9]Casper J, Atkins H L. A finite-volume high-order ENO scheme for two-dimensional hyperbolic system [J]. Journal of Computational Physics, 1993, 106(1): 62-76.

[10]Titarev V A, Toro E F. Finite-volume WENO schemes for three-dimensional conservation laws [J]. Journal of Computational Physics, 2004, 201(1): 238-260.

[11]Deng X G, Min Y B, Mao M L, et al. Further study on geometric conservation law and application to high-order finite difference schemes with stationary grids [J]. Journal of Computational Physics, 2013, 239: 90-111.

[12]Abe Y, Haga T, Nonomura T,et al. On the freestream preservation of high-order conservative flux-reconstruction schemes [J]. Journal of Computational Physics, 2015, 281: 28-54.

[13]Casper J, Shu C W, Atkins H. A comparison of two formulations for high-order accurate essentially non-oscillatory schemes[J]. AIAA Journal, 1994, 32(10): 1970-1977.

doi:10.11887/j.cn.201602010

*收稿日期：2015-09-19

基金項(xiàng)目：國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)科研計(jì)劃資助項(xiàng)目(ZDYYJCYJ20140101)

作者簡介：徐丹(1987—)，男，山東威海人，博士研究生，E-mail：13786146863@163.com；鄧小剛(通信作者)，男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail：xgdeng2000@vip.sina.com

中圖分類號：V211.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-2486(2016)02-056-05

High-order finite volume schemes in three-dimensional curvilinear coordinate system

XU Dan1, WANG Dongfang1, CHEN Yaming2, DENG Xiaogang1

(1. College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China;2. College of Science, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Abstract：In order to develop a high-order finite volume scheme, which can perform with high fidelity in smooth regions, capture the discontinuities without oscillation, and overcome the difficulty in choosing stencils, a high-order finite volume scheme on structure meshes was developed on the basis of dimension-by-dimension reconstruction method. The scheme was also extended to the three-dimensional curvilinear coordinate system, which was suitable for the computation under relatively complex configurations. In order to validate the numerical scheme, some test cases were used. In the cases of the isentropic vortex and two-dimensional channel flow, it was found that the designed order of accuracy could be achieved. In the double Mach problem, it was proved that the scheme could well capture the discontinuities. The test cases show that the scheme has high numerical accuracy and robust capturing ability on curvilinear meshes and high efficiency in the simulations of the computational fluids dynamics.

Key words：finite volume method; high-order scheme; curvilinear coordinate system; dimension-by-dimension reconstruction method

http://journal.nudt.edu.cn