關(guān)于馬氏鏈遍歷性的一個(gè)注記

程 成，孫成恩，范愛(ài)華（安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽馬鞍山243032）

關(guān)于馬氏鏈遍歷性的一個(gè)注記

程 成，孫成恩，范愛(ài)華
（安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽馬鞍山243032）

引入定義在σ-有限可測(cè)空間（S，?，μ）中隨機(jī)核與范數(shù)的概念，通過(guò)采用隨機(jī)轉(zhuǎn)移核密度｛｝pn（x，y）n∈?替換離散型非齊次馬氏鏈中轉(zhuǎn)移矩陣的方法，得到狀態(tài)連續(xù)非齊次馬氏鏈遍歷性的充分必要條件。所得結(jié)論進(jìn)一步完善了非齊次馬氏鏈的遍歷性質(zhì)。

非齊次馬氏鏈；隨機(jī)核；Cauchy收斂；Lebesgue控制收斂定理

隨機(jī)穩(wěn)定性是探究馬氏鏈性質(zhì)的重要內(nèi)容之一，對(duì)于隨機(jī)穩(wěn)定性的研究主要從馬氏過(guò)程的不可約性、常返性以及馬氏鏈的遍歷性入手。Isaacson在文獻(xiàn)［1-2］中分別討論了可數(shù)狀態(tài)非齊次馬氏鏈的遍歷性及其幾何遍歷的特征，在文獻(xiàn)［3］中系統(tǒng)地總結(jié)非齊次馬氏鏈的遍歷性并給出了若干公開(kāi)問(wèn)題，Pitman在文獻(xiàn)［4］中研究馬氏鏈轉(zhuǎn)移收斂的一致速度。Neumann等在文獻(xiàn)［5］中探索出矩陣列乘積的某些收斂性，并將該結(jié)論應(yīng)用到非齊次馬氏鏈的遍歷性中。Isaacson等在文獻(xiàn)［6］中利用光譜條件研究了馬氏鏈的強(qiáng)遍歷性與收斂速率。Coppersmith等在文獻(xiàn)［7］中指出非齊次馬氏鏈弱遍歷的條件。Prieto-Rumeau等分別在文獻(xiàn)［8］和文獻(xiàn)［9］中討論了連續(xù)時(shí)間馬氏鏈的一致遍歷和強(qiáng)遍歷行為。此外，汪進(jìn)在文獻(xiàn)［10］中總結(jié)了m重非齊次馬氏鏈的遍歷性。本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，給出連續(xù)狀態(tài)馬爾可夫鏈滿足遍歷性的充分必要條件。

1　基本假設(shè)

并且對(duì)任意的m，n∈?，有

定義1設(shè)K（x，y）是定義在S×S上的任意可積核，稱

為K的范數(shù)。對(duì)任意2個(gè)隨機(jī)核K和L，由KL（x，y）=∫K（x，z）L（z，y）μ（dz）定義其乘積KL。

定義2設(shè)p（x，y）是隨機(jī)轉(zhuǎn)移核，稱

為隨機(jī)轉(zhuǎn)移核的Dobrushin系數(shù)。為方便起見(jiàn)，令δ（P）=1-α（P）。關(guān)于δ（P）以及范數(shù)的基本性質(zhì)，可參見(jiàn)文獻(xiàn)［1］。

2　主要結(jié)論

注此處的定義類似于Cauchy收斂條件，但x不能恒等于z，故條件不能放寬成x=z。證明必要性

由于

充分性

令x=z，則pm，m+k（x，y）依k為Cauchy序列，所以pm，m+k（x，y）→qm（x，y），k→∞。根據(jù)Fatou引理得

故

因此

又

令k→∞，利用Lebesgue控制收斂定理可得

根據(jù)Fatou引理知q（y）≥0且∫q（y）μ（dy）≤1。又因?yàn)楣蕿楦怕拭芏?。證畢。

［1］ISAACSON D.Ergodicity for countable inhomogeneous Markov chains［J］.LinearAlgebra and itsApplications，1982，48:37-44.

［2］ISAACSON D.Acharacterization of geometric ergodicity［J］.Probability Theory&Related Fields，1978，49（3）:267-273.

［3］ISAACSON D L，MADSEN R W.Markov Chains:Theory andApplications［M］.New York:Wiley，1976:249-251.

［4］PITMAN J W.Uniform rates of convergence for Markov chain transition probabilities［J］.Probability Theory&Related Fields，1974，29（3）:193-227.

［5］NEUMANN M，SCHNEIDER H.The convergence of general products of matrices and the weak ergodicity of Markov chains［J］. LinearAlgebra and itsApplications，1999，287（1）:307-314.

［6］ISAACSON D，LUECKE G R.Strongly ergodic Markov chains and rates of convergence using spectral conditions［J］.Stochastic Processes and theirApplications，1978，7（1）:113-121.

［7］COPPERSMITH D，WU C W.Conditions for weak ergodicity of inhomogeneous Markov chains［J］.Statistics&Probability Letters，2008，78（17）:3082-3085.

［8］PRIETO-RUMEAU T，HEMáNDEZ-LERMA O.Uniform ergodicity of continuous-time controlled Markov chains:A survey and new results［J］.Annals of Operations Research，2012:1-45.

［9］SCOTT M，ISAACSON D.Strong ergodicity for continuous-time，non-homogeneous Markov chains［J］.Journal of Applied Probability，1982，19（3）:692-694.

［10］汪進(jìn).m重非齊次馬氏鏈的遍歷性［J］.安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006，23（2）:227-231.

［11］MADSEN R W，ISAACSON D L.Strong ergodic behavior for non-stationary Markov processes［J］.Annals of Probability，1973，1（2）:329-335.

［12］SENETA E.Inhomogeneous Markov chains and ergodicity coefficients:John Hajnal（1924—2008）［J］.Communications in Statistics-theory and Methods，2014，43（7）:1296-1308.

責(zé)任編輯：丁吉海

ANote on the Ergodicity of Markov Chains

CHENG Cheng，SUN Cheng'en，F(xiàn)ANAihua
（School of Mathematics Physics Science and Engineering，Anhui University of Technology，Ma′anshan 243032，China）

inhomogeneous Markov chains；stochastic kernels；Cauchy convergence；Lebesgue dominated convergence theorem

O211.4，O236

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2016.01.018

1671-7872（2016）-01-0086-03

2015-11-25

安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（1408085MA04）；安徽工業(yè)大學(xué)研究生創(chuàng)新研究基金項(xiàng)目（2014132）

程成（1992-），女，安徽合肥人，碩士生，主要研究方向?yàn)楦怕收摷捌鋺?yīng)用。

范愛(ài)華（1964-），女，安徽安慶人，教授，主要研究方向?yàn)楦怕收摌O限理論。