易書明　蹇繼貴

(三峽大學 理學院， 湖北 宜昌　443002)

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基于憶阻的脈沖BAM神經網絡的拉格朗日穩(wěn)定性

易書明蹇繼貴

(三峽大學 理學院， 湖北 宜昌443002)

摘要：本文研究了一類帶有時滯的憶阻脈沖BAM(Bidirectional Associative Memory)神經網絡的Lagrange穩(wěn)定性．利用Lyapunov函數和不等式方法，得到時滯憶阻脈沖BAM神經網絡的Lagrange穩(wěn)定性的充分條件，根據系統(tǒng)自身參數給出了其全局指數吸引集的估計．最后，通過數值實例驗證了理論的正確性．

關鍵詞：BAM神經網絡；憶阻器；脈沖；拉格朗日穩(wěn)定性；李雅普諾夫函數；不等式

雙向聯想記憶(Bidirectional Associative Memory， BAM)神經網絡模型最早由Kosko[1-3]提出，這類網絡在模式識別、信號處理和人工智能等方面得到廣泛應用．目前對BAM神經網絡的動力學行為如平衡點的存在性、唯一性和全局穩(wěn)定性的研究出現了大量成果[4-11]．

眾所周知，脈沖現象影響著神經網絡的穩(wěn)定性[12-13]，脈沖的存在意味著狀態(tài)軌跡不會一成不變．在文獻[14]中，關治洪教授等討論了時滯脈沖Hopfield神經網絡的平衡點的存在性、唯一性和全局穩(wěn)定性．同時，關于時滯脈沖神經網絡的漸近或指數穩(wěn)定也被廣泛研究[15-16]．

20世紀70年代，蔡少棠教授[17]從邏輯和公理的觀點指出，自然界應該還存在一個電路元件，它表示磁通與電荷的關系，這就是憶阻器．隨著科學的發(fā)展，惠普公司在2008年做出了納米憶阻器，引起全球對憶阻研究的廣泛關注[18-19]．憶阻器是模擬人工神經網絡突觸的最佳原件，因此，許多研究者對基于憶阻的神經網絡進行了研究[20-23]．在文獻[24-25]中，吳愛龍和曾志剛教授考慮了一類含有憶阻突觸和多重滯后的神經網絡，研究了它的有界性．在文獻[26]中，張國東博士等研究了一類憶阻遞歸神經網絡的Lagrange穩(wěn)定性．而對于帶有時滯的憶阻脈沖BAM神經網絡的Lagrange穩(wěn)定性的研究成果還沒有發(fā)現，因此，本文建立一種新的時滯憶阻脈沖BAM神經網絡，并運用不等式技巧討論其Lagrange穩(wěn)定性和全局指數吸引集．

考慮如下憶阻脈沖BAM神經網絡：

(1)

假設系統(tǒng)(1)的初始條件為

(2)

其中φi(s)，ψj(s)是定義在[-τ，0]上的連續(xù)函數．令

考慮如下兩種函數集合B={p(x)|p(x)∈C(R，R)，?ξ>0，|p(x)|≤ξ，?x∈R}，S={p(x)|p(x)，p(y)∈C(R，R)，?ζ>0，|p(x)-p(y)|≤ζ|x-y|，?x，y∈R}，令

定義1[11]稱系統(tǒng)(1)是一致有界的．若?H>0，?K=K(φ，ψ)>0，使得‖(xT(t)，yT(t))‖≤K(φ，ψ)對所有(φ，ψ)∈CH，t≥0成立．

定義2[27]稱系統(tǒng)(1)是Lagrange全局指數穩(wěn)定的，若存在正定徑向無界的函數V(x，y)，函數K(φ，ψ)∈C，l>0，α>0，使得對系統(tǒng)(1)的任意解x(t)=x(t；φ，ψ)，y(t)=y(t；φ，ψ)，V(x，y)>l，t≥0，有

(3)

緊集Ω：={x∈Rn，y∈Rm|V(x，y)≤l}稱為系統(tǒng)(1)的全局指數吸引集．

引理1[27]設G∈C([t，+∞]，R)，存在正常數α和β使得

(4)

那么有

(5)

1主要成果

證：構造正定徑向無界的Lyapunov函數

當t≠tk時，

由引理1可得

當t=tk時

則有

綜上所述，對任意t>0有

由定義2知，系統(tǒng)(1)是Lagrange全局指數穩(wěn)定的，且Ω1是(1)的全局指數吸引集．

證：構造正定徑向無界的Lyapunov函數

當t≠tk時

由上式可以得到

由引理2可以得出

其中λ是方程λ=L2-L3eλτ的唯一正根．

當t=tk時，

綜上所述，對任意t>0有

由定義2知，系統(tǒng)(1)是Lagrange全局指數穩(wěn)定的，且Ω2是(1)的全局指數吸引集．

注1：在本文的條件下，定理1和定理2通過選取的特定Lyapunov函數得到的結果與時滯無關．因此，無論有限時滯，還是無限時滯，都不會影響定理的正確性．

2仿真實例

同時，取初始條件x1(0)=0.7，x2(0)=1，y1(0)=1.2，y2(0)=0.9，圖1表示x1(t)，x2(t)，y1(t)，y2(t)隨時間t變化的狀態(tài)圖，圖2～5顯示系統(tǒng)(1)分別在三維相空間內的界估計．

圖1　x1(t)，x2(t)，y1(t)，y2(t)隨時間t變化的狀態(tài)圖

圖2　系統(tǒng)(1)在坐標系(x1，x2，y1)內的界估計

圖3　系統(tǒng)(1)在坐標系(x1，x2，y2)內的界估計

圖4　系統(tǒng)(1)在坐標系(x1，y1，y2)內的界估計

圖5　系統(tǒng)(1)在坐標系(x2，y1，y2)內的界估計

3結語

本文運用Lyapunov函數和不等式方法研究了時滯脈沖的憶阻BAM神經網絡的Lagrange穩(wěn)定性，得到了Lagrange全局指數穩(wěn)定的充分條件，并對其全局指數吸引集進行界估計．最后，通過數值實驗驗證了理論的正確性．

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[責任編輯張莉]

DOI：10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2016.03.022

收稿日期：2016-03-08

基金項目：國家自然科學基金(61273183，61304162，61174216)

通信作者：蹇繼貴(1965-)，男，教授，博士，主要從事系統(tǒng)的穩(wěn)定性，神經網絡理論，非線性系統(tǒng)控制等研究．E-mail：jiguijian@ctgu．edu．cn

中圖分類號：O231.2

文獻標識碼：A

文章編號：1672-948X(2016)03-0098-06

Lagrange Stability for Memristive BAM Neural Networks with Impulse

Yi Shuming Jian Jigui

(College of Science， China Three Gorges Univ., Yichang 443002， China)

AbstractThis paper investigates Lagrange stability for a class of memristive BAM impulse neural networks with multiple time-varying delays and finds the global exponential attractive sets of it．By applying inequality techniques and Lyapunov function， some easily verifiable delay-independent criteria for the Lagrange stability and global exponential attractive sets of memristive BAM impulse neural networks are obtained by constructing appropriate Lyapunov functions． Finally, an example with numerical simulations is given to illustrate the results obtained．

KeywordsBAM neural networks;memristor;impulse;Lagrange stability;Lyapunov function;inequality