尹 麗，高 輝

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·基礎理論研究·

全微分法在隱函數求導中的應用研究*

尹 麗，高 輝

（大連海洋大學理學院，遼寧大連 116023）

摘 要：將全微分法應用于隱函數求導中，對單個方程和方程組所確定的一元隱函數的一階與二階導數，單個方程和方程組所確定的二元隱函數的一階與二階偏導數進行了求解研究。結果表明：此方法使得隱函數求導變得通俗易懂，且不易出錯，大大提高了解答此類問題的正確率，使隱函數求導不再成為學習高等數學的一個難點。

關鍵詞：全微分法；復合函數；隱函數；求導；偏導數

1 引言

隱函數求導是高等數學的重要的知識點，也是初學者學習的難點。究其原因，傳統(tǒng)的方法對隱函數求導：首先，應區(qū)分開自變量與函數；再次，需把握好自變量與函數間的關系，認識到：在求導過程中函數是關于自變量的中間變量；最后，實質是用復合函數求導法則的思路解決隱函數求導問題。而在實際練習中，自變量與函數間的關系是千變萬化的。學生單一地依據求導法則去求解隱函數，復合函數的（偏）導數的時候，常會發(fā)現很難把握住函數變量間的關系，從而很容易造成問題的錯解 。［1］

因此，本文將全微分法應用于隱函數求導中，對單個方程和方程組所確定的一元隱函數的一階與二階導數，單個方程和方程組所確定的二元隱函數的一階與二階偏導數進行了求解研究。

該方法的好處在于：利用全微分形式的不變性，不論自變量與函數如何變換，對自變量與函數始終“同等看待”，對他們“平等處理”，從而使問題簡約，做題思路明了，解決方法標準，達到提高正確率的效果。

2 全微分法

全微分法實質上是應用函數全微分形式的不變性，在函數或隱函數的方程兩邊分別求全微分，最后求得函數的全微分，從而求得函數或隱函數的導數或偏導數。

全微分法以下面兩定理為基礎。

定理1（一元函數微分形式的不變性）設y= f（u），u=g（x）都可微，則函數y=f［g（x）］的微分為

即一個一元可微函數的微分總是等于該函數對某個變量的導數乘以該變量的微分。

定理2（二元函數全微分形式的不變性）設函數z=f（x，y）可微，不論x，y是自變量，還是中間變量，函數z的全微分形式總是

一般地，定理1和定理2可以推廣到任意n元可微函數。

3 全微分法在隱函數求導中的應用

3.1 單個方程確定的一元隱函數的一階與二階導數

解 方程y=1+xey兩邊同時求微分：

自產自銷，各推各的，分布零散，沒有形成一個具體的體系，僅僅只是依靠自身是無法形成品牌和規(guī)模的。缺少品牌營銷推廣限制著民宿的經營，模仿其他民宿，零散的經營，沒有經營理念和品牌營銷的民宿注定跟不上現代旅游發(fā)展的步伐。

dy=d（1+xey）?dy=d1+dxey?dy=0+ eydx+xeydy?（1-xey）dy=eydx

3.2 方程組所確定的一元隱函數的一階與二階導數

例3［3］求由方程組所確定的函數的導數。

分析 本題方程組所確定的函數x=x（z），y =y（z）都是一元函數，適用定理1，把兩個方程同時兩邊求微分，解出函數x的微分dx，解出函數y的微分dy，據定理1

3.3 單個方程確定的二元隱函數的一階與二階偏導數

解對方程兩邊同時求微分d（x2+y2+z2-4z）=d0

2xdx+2ydy+2zdz-4dz=0

整理得（z-2）dz=-xdx-ydy

3.4 方程組所確定的二元隱函數的一階與二階偏導數

例7［3］求由方程組所確定的函數的偏導數

分析 本題方程組所確定的函數u=u（x，y），v=v（x，y）都是二元函數，適用定理2.

解 對方程組兩邊同時微分并整理

解方程

4 結論

微分形式不變性的妙處在于能夠避開函數變量錯綜復雜的關系，抓住問題的本質，利用熟識的數學形式結構原型方便簡潔地解決問題［4］。通過以上范例，把全微分法應用于隱函數求導中。發(fā)現利用全微分形式的不變性解決隱函數求導是一種簡明、規(guī)范的數學方法。使用該方法，以不變應萬變，使得隱函數求導變得通俗易懂，且不易出錯，大大提高了解答此類問題的正確率，使隱函數求導不再成為學習高等數學的一個難點。

參考文獻：

［1］蔡白光，郭紀云.全微分法在微分學中的應用［J］.海南大學學報（自然科學版），2013（4）：303-305.

［2］同濟大學數學系.高等數學：上冊［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［3］同濟大學數學系.高等數學：下冊［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［4］張艷瓊.關于微分形式不變性的教學思考［J］.高等數學研究，2013（3）：44-46.

中圖分類號：O172.1

文獻標識碼：A

文章編號：1673-6125（2016）02-0001-04

收稿日期：2016-03-11

作者簡介：尹 麗（1981-），女，遼寧莊河人，大連海洋大學理學院講師、碩士。主要研究方向：高等數學教學與研究。高 輝（1978-），女，遼寧莊河人，大連海洋大學理學院講師、碩士。主要研究方向：高等數學教學與研究。

Application study of total differential method in solving derivation of implicit function

YIN Li，GAO Hui
（Dalian Ocean University，science Institute，Dalian，116023，China）

Abstract：The total differential method applied in implicit function derivation，for first and second derivative of one variable of implicit function determined by a single equation or the equations，first and second partial derivative of binary variable of implicit function determined by a single equation or the equations was studied to solve.The results show that this method makes the implicit function derivation become easy to understand.And when this method is used，it is not liable to make errors.This method can raise the exactness rate.Using this method makes implicit function derivation is no longer the difficulty of learning advanced mathematics.

Key words：Total differential method；Compound function；Implicit function derivation；Partial derivative