一種新的圖像離散正交矩
——UFIR矩

李志權(quán)， 王　晅

(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安 710119)

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一種新的圖像離散正交矩
——UFIR矩

李志權(quán)， 王晅*

(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安 710119)

為進(jìn)一步提升矩的圖像描述性能，基于無(wú)偏有限脈沖響應(yīng) (UFIR)多項(xiàng)式，提出了一種新型圖像離散正交矩——UFIR矩。UFIR矩克服了連續(xù)正交矩的數(shù)值積分誤差，而且定義域與數(shù)字圖像完全一致，不需要額外的圖像域轉(zhuǎn)換;與現(xiàn)有的離散正交矩相比，UFIR矩的計(jì)算過(guò)程不涉及階乘系數(shù)計(jì)算，而且無(wú)待定參量，更適合對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行盲分析。為了降低UFIR矩的計(jì)算成本與表示誤差，基于UFIR多項(xiàng)式的迭代關(guān)系，給出了UFIR矩的快速計(jì)算方法。實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證了UFIR矩相較于其他正交矩具有較高的表示精度與計(jì)算效率。

圖像矩； 離散正交矩； 無(wú)偏有限脈沖響應(yīng)多項(xiàng)式； 圖像重構(gòu)； 圖像分析

圖像矩，作為一種圖像全局特征描述符，廣泛應(yīng)用于圖像分析、模式識(shí)別、機(jī)器視覺(jué)等相關(guān)領(lǐng)域[1]，如光學(xué)字符識(shí)別[2]、目標(biāo)識(shí)別[3]、模式分類[4]、基于內(nèi)容的圖像檢索[5]、數(shù)字水印與圖像重構(gòu)[6-7]等。現(xiàn)有的圖像矩分為非正交矩、半正交矩、連續(xù)正交矩、離散正交矩四類。非正交矩，如幾何矩[8]、復(fù)數(shù)矩[9]，是圖像投影于一組非正交多項(xiàng)式函數(shù)的投影系數(shù)?；诜钦痪兀梢詷?gòu)建圖像平移、旋轉(zhuǎn)與尺度變化不變特征，然而，由于基函數(shù)的非正交性，用非正交矩重構(gòu)圖像是極為困難的。

連續(xù)正交矩，如Legendre[10]、Zernike[11]、Orthogonal Fourier-Mellin[12]與Bessel-Fourier[13]矩，是將圖像投影于一組連續(xù)正交基函數(shù)的投影系數(shù)。該類矩在圖像的表示方面具有極低的冗余，因此可以用來(lái)精確重構(gòu)圖像。連續(xù)正交矩存在的普遍問(wèn)題是計(jì)算過(guò)程存在數(shù)值積分誤差，該誤差隨著矩階次的增加越來(lái)越大，會(huì)不同程度地?fù)p傷矩在圖像表示與模式分類中非常重要的解析特性。除數(shù)值積分誤差外，連續(xù)正交矩的基函數(shù)包含階乘等系數(shù)運(yùn)算，具有較大的動(dòng)態(tài)范圍，會(huì)影響計(jì)算過(guò)程中的表示精度。此外，大部分連續(xù)正交矩的基函數(shù)定義域與數(shù)字圖像域有較大差異，如Legendre矩定義在[-1，1]的空間，而Zernike矩定義在單位圓內(nèi)，因此，在計(jì)算這些矩之前，必須對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行相應(yīng)的空間域轉(zhuǎn)換，該轉(zhuǎn)換也會(huì)帶來(lái)一定的計(jì)算誤差。

為了克服連續(xù)正交矩的上述問(wèn)題，Mukundan等[14]引入了離散正交矩的概念，并基于Chebyshev多項(xiàng)式提出了一種離散正交矩——Chebyshev矩。在此基礎(chǔ)上，Yap等陸續(xù)提出了Krawtchouk[15]與Hahn[16]兩種離散正交矩，也進(jìn)一步說(shuō)明了Chebyshev與Krawtchouk矩屬于Hahn矩的兩種特殊形式。離散正交矩的基函數(shù)為離散多項(xiàng)式變量，定義域與數(shù)字圖像域精確匹配，因此，避免了數(shù)值積分與圖像域轉(zhuǎn)換所帶來(lái)的誤差，使得離散正交矩在解析特性的保持與圖像重構(gòu)精度方面優(yōu)于連續(xù)正交矩，但是，現(xiàn)有離散正交矩的基函數(shù)仍然包含階乘系數(shù)，這些階乘系數(shù)具有較大的動(dòng)態(tài)范圍與計(jì)算復(fù)雜度，降低了離散矩的表示精度與計(jì)算效率，特別在對(duì)大圖像進(jìn)行處理時(shí)，階乘系數(shù)會(huì)產(chǎn)生計(jì)算溢出，從而導(dǎo)致圖像表示與恢復(fù)完全失敗。

最近，Shmaliy[17]推出了一種無(wú)偏有限脈沖響應(yīng)(UFIR)濾波器，Castro[18]與Morales[19]進(jìn)一步證明UFIR多項(xiàng)式符合無(wú)偏條件，而且與噪聲統(tǒng)計(jì)量無(wú)關(guān)。在Morales的后續(xù)工作中，基于UFIR多項(xiàng)式，推導(dǎo)出一組新的離散正交多項(xiàng)式并應(yīng)用于離散信號(hào)的盲分析中。與Chebyshev與Krawtchouk離散正交多項(xiàng)式不同，UFIR離散正交多項(xiàng)式并不屬于Hahn多項(xiàng)式系列，而且不涉及階乘系數(shù)，沒(méi)有待定參數(shù)。本文基于UFIR離散正交多項(xiàng)式提出了一種新的離散正交矩——UFIR矩，與現(xiàn)有離散正交矩不同，UFIR矩的正交多項(xiàng)式不存在階乘系數(shù)，而且無(wú)待定參量，因此具有較高的計(jì)算精度與計(jì)算效率，適合于對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行盲分析。實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證了UFIR矩的性能與優(yōu)勢(shì)。

1 UFIR離散正交矩

1.1UFIR離散多項(xiàng)式

n階UFIR離散正交多項(xiàng)式[19]定義為

(1)其中x、n=0、1、2、…、N-1、N,系數(shù)ajn(N)由下式給出

(2)

(3)

矩陣元素ck為

(4)

其中Bk(N)為伯努利多項(xiàng)式，Bk=Bk(0)為伯努利系數(shù)?？梢宰C明UFIR離散多項(xiàng)式在[0，N-1]的離散域中滿足正交條件，有

(5)

1.2UFIR離散正交矩及其快速計(jì)算

給定數(shù)字圖像f(i,j),0≤i

(6)

(7)

如果只用前K(K

(8)

由(6)式可以看出，離散矩的計(jì)算具有一定的復(fù)雜度，由于UFIR離散正交多項(xiàng)式具有如下的遞推關(guān)系

Tn(x,N)=αnTn-1(x,N)+βnTn-2(x,N),

(9)

其中:

(10)

其中系數(shù)為

(11)

根據(jù)(10)、(11)式的遞推關(guān)系，可以避免重復(fù)計(jì)算所帶來(lái)的計(jì)算成本以及計(jì)算過(guò)程中由于表示精度所帶來(lái)的計(jì)算誤差，可以實(shí)現(xiàn)基函數(shù)的快速、精確計(jì)算。

1.3UFIR離散正交矩的性質(zhì)

除UFIR離散多項(xiàng)式外，現(xiàn)有的離散正交多項(xiàng)式如Chebyshev、Krawtchouk與Hahn可以表示為如下的超幾何函數(shù)，有

pFq(a1,a2,…,ap;b1,b2,…,bq;z)=

(12)

其中(a)k為柏克哈門符號(hào)，定義為

(a)k=a(a+1)(a+2)…(a+k-1)。

(13)

離散Chebyshev多項(xiàng)式Tn(x,N)為

Tn(x,N)=(1-N)n3F2(-x,-n,

1+n;1,1-N;1)=

(14)

離散Krawtchouk多項(xiàng)式Kn(x,N,p)為

(15)

離散Hahn多項(xiàng)式Hn(x,N,α,β)為

Hn(x,N,α,β)=

3F2(-n,n+α+β+1,-x;α+1,-N;1)=

(16)

可以看出，除參數(shù)N外，Krawtchouk多項(xiàng)式有一個(gè)待定參數(shù)p，Hahn多項(xiàng)式有兩個(gè)待定參數(shù)α與β，而Chebyshev與UFIR多項(xiàng)式?jīng)]有待定參數(shù)，因此，Chebyshev與UFIR矩適合對(duì)圖像進(jìn)行盲分析。另外，對(duì)照(1)與(14)—(16)式，Chebyshev、Krawtchouk與Hahn多項(xiàng)式涉及階乘運(yùn)算與柏克哈門符號(hào)運(yùn)算，這些運(yùn)算具有較高的計(jì)算復(fù)雜度，而且在計(jì)算過(guò)程中具有較大的動(dòng)態(tài)范圍，會(huì)影響對(duì)應(yīng)矩的表示精度與計(jì)算效率。而UFIR多項(xiàng)式不存在階乘運(yùn)算與柏克哈門符號(hào)運(yùn)算，因此UFIR矩計(jì)算效率與計(jì)算精度應(yīng)優(yōu)于Chebyshev、Krawtchouk與Hahn矩。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證UFIR矩的表示精度與計(jì)算效率，實(shí)驗(yàn)主要從圖像重構(gòu)精度與計(jì)算成本兩個(gè)方面進(jìn)行了仿真測(cè)試，并與現(xiàn)有的離散正交矩Chebyshev[14]、Krawtchouk[15]與Hahn矩[16]及定義在笛卡爾坐標(biāo)系中的連續(xù)正交矩Legendre矩[10]、Gaussian-Hermite[20]進(jìn)行了性能比較分析。

2.1 圖像重構(gòu)

實(shí)驗(yàn)采用30×30大小的二值英文字符圖像，選擇均方誤差e作為衡量圖像重構(gòu)精度指標(biāo)，定義為

(17)

其中f(i,j)為原圖像，f′(i,j)為重構(gòu)圖像，N、M為圖像大小。對(duì)于二值英文字符圖像，用前10階UFIR矩進(jìn)行重構(gòu)，其結(jié)果見(jiàn)表1、2。由表1、2可以看出，UFIR矩對(duì)二值圖像有很好的表示與重構(gòu)能力。

表1　26個(gè)大寫英文字符前10階UFIR矩重構(gòu)結(jié)果

表2　26個(gè)小寫英文字符前10階UFIR矩重構(gòu)結(jié)果

為了進(jìn)一步說(shuō)明UFIR矩的重構(gòu)性能，選擇英文大寫字符E、小寫字符e圖片，用前9～16階UFIR矩(UM)、Chebyshev矩(CM)[14]、Hahn矩(HM)[16]、Krawtchouk矩(KM)[15]、Gaussian-Hermite矩(GM)[20]與Legendre矩(LM)[10]進(jìn)行重構(gòu)，其結(jié)果見(jiàn)表3、4?？梢钥闯觯诰仉A數(shù)相同的情況下，所有基于離散正交矩重構(gòu)圖像的精度都優(yōu)于連續(xù)正交矩，這進(jìn)一步驗(yàn)證了離散正交矩的計(jì)算過(guò)程不存在數(shù)值積分與圖像域轉(zhuǎn)換誤差，在圖像重構(gòu)精度方面優(yōu)于連續(xù)正交矩；另外，UFIR矩的重構(gòu)誤差明顯低于其他離散正交矩，這主要得益于UFIR多項(xiàng)式不存在階乘運(yùn)算與柏克哈門符號(hào)運(yùn)算，其表示精度優(yōu)于其他離散正交矩。

表3　大寫英文字符E圖像重構(gòu)結(jié)果

表4　小寫英文字符e圖像重構(gòu)結(jié)果

2.2計(jì)算效率

實(shí)驗(yàn)選用大小為64×64的英文字符E圖像，硬件平臺(tái)為CPU Inter(R) Core(TM) i7-4770，主頻3.40 GHz，內(nèi)存容量32 GB的PC機(jī)。操作系統(tǒng)為Win7專業(yè)版，采用Matlab 7.0編程。統(tǒng)計(jì)上述0～63階各種矩的計(jì)算時(shí)間，其結(jié)果如圖1所示，可以看出，UFIR矩具有較低的計(jì)算復(fù)雜度，其計(jì)算效率明顯高于現(xiàn)有的連續(xù)正交矩和現(xiàn)有的離散正交矩。

圖1　各種矩的計(jì)算成本比較

3　結(jié)論

基于UFIR離散正交多項(xiàng)式，提出了一種新的離散正交矩-UFIR矩。與現(xiàn)有離散正交矩相比，UFIR矩在計(jì)算過(guò)程中不涉及階乘系數(shù)計(jì)算，具有較高的計(jì)算精度與計(jì)算效率，而且無(wú)待定參量，適合于對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行盲分析。我們的下一步工作主要探討UFIR對(duì)圖像常見(jiàn)噪聲的魯棒性問(wèn)題，基于UFIR矩構(gòu)建圖像幾何變換不變量也是重點(diǎn)研究的內(nèi)容，以期為UFIR矩在圖像分析領(lǐng)域的應(yīng)用做好基礎(chǔ)準(zhǔn)備。

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〔責(zé)任編輯 李博〕

A new set of discrete orthogonal moments: UFIR moments

LI Zhiquan, WANG Xuan*

(School of Physics and Information Technology, Shaanxi Normal University,Xi′an 710119, Shaanxi, China)

In order to improve description performance of moments, based on the unbiased finite impulse response (UFIR) polynomial, a novel kind of image discrete orthogonal moments，UFIR moments is proposed.It is free of the numerical integration error associated with continuous orthogonal moments. Since the domain of these polynomials matches the discrete domain of an image accurately, the transformation of the image coordinate space is not required in calculations of these moments. Comparing with the existing discrete orthogonal moments such as Krawtchouk and Hahn moments, the proposed moments do not involve any factorial calculation. In addition, there is no need for parameter selection, so the UFIR discrete orthogonal moments are adapt for blind analysis of images. In order to reduce their computational costs and representation errors further, the computational aspects of the moments using the recursive property are discussed as well. Experimental results show the superiority of these moments with higher calculation accuracy and efficiency.Keywords: image moments; discrete orthogonal moments; unbiased finite impulse response polynomial; image reconstruction; image analysis

1672-4291(2016)04-0023-05

10.15983/j.cnki.jsnu.2016.04.241

2016-02-21

國(guó)家自然科學(xué)基金(61373083)

王晅，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:wxuan@snnu.edu.cn

TP391.412

A