劉　姣，金國祥

武漢工程大學計算機科學與工程學院，湖北 武漢 430205

基于非2π周期三角方法的正常積分模擬與仿真

劉姣，金國祥*

武漢工程大學計算機科學與工程學院，湖北 武漢 430205

用非周期三角多項式作為逼近工具，對帶Chebyshev權(quán)的正常積分構(gòu)造兩類求積公式：一類是將帶Chebyshev權(quán)的正常積分變換成帶另一權(quán)的正常積分，對后面的積分構(gòu)造求積公式，然后利用變量逆變換將求積公式變?yōu)榛诜侵芷谌嵌囗検降脑７e分的求積公式；另一類是用正常積分的被積函數(shù)在非周期三角多項式生成子空間上的正交投影對被積函數(shù)進行逼近而得到求積公式；同時提出了這兩種求積公式精度的概念.對上述兩種求積公式在計算機上用MATLAB編程實現(xiàn)，當被積函數(shù)不是周期函數(shù)且不均勻時，得到的求積公式逼近效果優(yōu)于傳統(tǒng)意義下的求積公式，實驗結(jié)果與理論分析相符.

非周期三角多項式；多項式逼近；求積公式

1　引言

用多項式（代數(shù)多項式或三角多項式）去逼近函數(shù)既是經(jīng)典也是當今仍然比較活躍的一個研究課題，研究成果非常豐富［1-5］.由于計算機技術(shù)的廣泛應用，推動了數(shù)值求積研究的進一步活躍，研究正常積分的數(shù)值計算人們通常都是在代數(shù)多項式或者三角多項式所生成的子空間中去構(gòu)造求積公式，當被積函數(shù)不是周期函數(shù)且不均勻時，這種求積公式的近似效果并不理想，很少有人在介于代數(shù)多項式和三角多項式之間的非2π周期三角多項式（下面簡稱為非周期三角多項式）所生成的子空間中去構(gòu)造求積公式.有關非周期三角多項式去逼近函數(shù)的研究文獻并不多.1993年，D.Kosloff 和H.Tal-Ezer在研究一類偏微分方程的數(shù)值求解時，為了克服以Chebyshev多項式作為工具對空間離散化時會附加一些苛刻約束條件的困難，提出了帶一時間步長約束的Chebyshev準譜方法［6］.在他們的研究中，首次提出了非周期三角多項式的概念.最近經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，非周期三角多項式生成的子空間的逼近問題可應用到諸多研究領域（如函數(shù)逼近、數(shù)值積分、信號分析和壓縮等）和工程實際問題之中；例如，用非周期三角多項式作為工具構(gòu)造出正常積分求積公式在計算機研究領域中的機器學習方面有著直接的應用.2014年，H.Tal-Ezer對非周期三角多項式的逼近問題進行了一些研究［7］，H.Tal-Ezer討論了非周期三角多項式的正交化及非周期三角多項式逼近解析函數(shù)的問題，作為結(jié)果的應用，他簡單討論了帶Legendre權(quán)的正常積分的數(shù)值求積問題.

本文以非周期三角多項式作為工具，討論了帶Chebyshev權(quán)的正常積分

的兩類求積公式，并首次提出這兩類求積公式精度的概念，對求積公式在計算機上用MATLAB編程實現(xiàn)，從實驗中數(shù)值實例的誤差結(jié)果和解析圖像知，當被積函數(shù)不是周期函數(shù)且不均勻時，基于非周期三角多項式所構(gòu)造的求積公式近似效果優(yōu)于傳統(tǒng)意義下的求積公式，且實驗結(jié)果與理論分析相符.

2　求積公式

2.1非周期三角多項式逼近

為了構(gòu)造式（1）的基于非周期三角多項式的求積公式，引用文獻［7］中的一些結(jié)果.

不失一般性，考慮定義域為［-1， 1］上的函數(shù). 設Pk（y）為一組關于內(nèi)積

和權(quán)函數(shù)ω（y）的正交多項式.

令

ψk（x）是一組關于內(nèi)積

和權(quán)函數(shù)

的正交多項式.由ψk（x）生成的子空間記為Sn，即

由降冪公式知，Sn可寫成由非周期三角多項式生成的子空間，即

其中

設 f是［-1 ， 1］上的連續(xù)函數(shù)，f在Sn上的正交投影為

其中

為第一類Chebyshev多項式，其權(quán)函數(shù)為

由式（2）可得

由式（3）可得其中 β0=2，βk=1，k≥1.

設K為復平面C上的非空有界閉連通集，K的余集記作Kc.存在一個保角映射Ψ（ω），Ψ把單位圓的余集映射到Kc.令θ（y）為Ψ（ω）的逆映射，記

Bt表示Kc上的等位線，有下述定理，其證明見文獻［8］.

定理假設 t ＞ 1 是使得F（y）在Bt內(nèi)解析的最大數(shù)，Pn（y）是插值結(jié)點為的插值多項式，在K上均勻分布，則Pn（y）滿足

利用上述定理可計算收斂速率.取K=［-1 ， 1］，由文獻［9］知，保角映射為

于是漸近收斂速率為

因此，用式（4）逼近函數(shù)時，其漸近精度為cε，其中

其中對ε的選擇取決于精度的需要，類似地，對n的選擇同樣如此.

由于對 p的選擇不依賴于被逼近的函數(shù).通過最小化算法找一個參數(shù) p使誤差向量的范數(shù)最小，而 p適合所有函數(shù)，這里誤差向量范數(shù)定義為

其中 zj為在區(qū)間［a，b］上隨機分布的檢測點，1≤j≤m.

2.2帶Chebyshev權(quán)的正常積分求積公式

用非周期三角多項式作為工具，構(gòu)造式（1）的第一類求積公式.利用式（2）對式（1）進行變換，得

其中

由式（2）可知

由Gauss求積公式［10］，構(gòu)造式（6）的求積公式

其中 yk為 Tn（y）的零點，即， k=1 ， 2 ，… ，n，

其中

于是

其中

式（7）是基于非周期三角多項式的帶Chebyshev權(quán)正常積分的第一類求積公式，它至少在… ，n所張成的空間中是精確的.

下面構(gòu)造式（1）的第二類求積公式.用被積函數(shù) f在ψk張成的空間上的正交投影 fn去替代式（1）中的 f，可以得到式（1）的另一類求積公式為

其中

求積公式Q2（f）至少在， k=0 ，1 ，2 ，…，n所生成的空間中是精確的.

3　結(jié)果與討論

對帶Chebyshev權(quán)的正常積分的經(jīng)典Gauss型求積公式和基于非周期三角多項式的求積公式（7）、（8）用MATLAB進行仿真實驗，通過誤差數(shù)據(jù)表和圖像說明求積公式的誤差漸進性.誤差定義如下：

非周期三角多項式中的參數(shù) p可用兩種方法計算.一種是根據(jù)式（5）進行計算，取 ε=10-15，此時參數(shù) p記作 p1，得到的非周期三角多項式記為Nptp1.另一種是通過最小化算法，找到一個 p使得誤差向量范數(shù)E最小，此時參數(shù) p記作 p2，得到的非周期三角多項式記為Nptp2.例1、例2是對經(jīng)典Gauss型求積公式和基于Nptp1的求積公式（7）進行數(shù)值實現(xiàn)，例3是對用Chebyshev多項式逼近被積函數(shù)而構(gòu)造的求積公式和基于Nptp1、Nptp2的求積公式（8）進行數(shù)值實現(xiàn).

例1函數(shù) f（x）=e-50x2.

取結(jié)點個數(shù)n為10，20，40，求積結(jié)果如表1、圖1所示.

表1　f（x）=e-50x2求積公式誤差Tab.1　Error of the quadrature formulae forf（x）=e-50x2

圖1　f（x）=e-50x2求積公式誤差曲線Fig.1　Error curves of the quadrature formulae forf（x）=e-50x2

例2函數(shù) f（x）=xsin（2x）cos（3x）

取結(jié)點個數(shù)n為10，20，40，求積結(jié)果如表2、圖2所示.

例3f（x）=e-30x2

取結(jié)點個數(shù)n為6，12，15，求積結(jié)果如表3所示.

表2　f（x）=xsin（2x）cos（3x）求積公式誤差Tab.2　Error of the quadrature formulae forf（x）=xsin（2x）cos（3x）

圖2　f（x）=xsin（2x）cos（3x）求積公式誤差曲線Fig.2　Error curves of the quadrature formulae for f（x）=xsin（2x）cos（3x）

表3　f（x）=e-30x2求積公式誤差Tab.3　Error of the quadrature formulae forf（x）=e-30x2

對帶Chebyshev權(quán)正常積分的被積函數(shù)設計多個具體實例，用MATLAB語言對基于非周期三角多項式的兩類求積公式（7）、（8）和經(jīng)典Gauss型求積公式在計算機上進行了實驗，由這三個實驗知，隨著n的不斷增大，三種求積公式的誤差均逐漸減??；由于所取的函數(shù)都不是周期函數(shù)且并不均勻，本文所得到的求積公式（7）、（8）的近似效果優(yōu)于經(jīng)典Gauss型求積公式；另外，由例3知，由于所取的函數(shù)在中間區(qū)域有大梯度，Nptp2中的p是通過最小化算法得到的最優(yōu)p，基于Nptp2的求積公式近似效果優(yōu)于其它兩種求積公式，這與理論分析相符.

由于受設備條件的限制，選取的結(jié)點數(shù)比較少，因此各求積公式的誤差區(qū)別并不太明顯，若選取更多的結(jié)點，非周期三角多項式構(gòu)造的求積公式的優(yōu)越性將會更加顯著.

4　結(jié)語

用非周期三角多項式作為逼近工具，對帶Chebyshev權(quán)的正常積分構(gòu)造了兩類求積公式：一類是將帶Chebyshev權(quán)的正常積分變換成帶另一權(quán)的正常積分，對變換后的積分構(gòu)造求積公式，然后利用變量逆變換將求積公式變?yōu)榛诜侵芷谌嵌囗検降脑７e分的求積公式；另一類是用正常積分的被積函數(shù)在非周期三角多項式生成子空間上的正交投影對被積函數(shù)進行逼近而得到求積公式；這兩類求積公式豐富了Gauss數(shù)值求積的內(nèi)容，目前還是未見諸文獻的求積公式，本文給計算機研究領域的機器學習的算法提供了一些理論基礎，對該算法在大數(shù)據(jù)挖掘中的速度及準確率的提高都有幫助.

在對正常積分進行數(shù)值計算時，當被積函數(shù)不是周期函數(shù)且不均勻時，所得到的基于非周期三角多項式的求積公式的近似效果要優(yōu)于經(jīng)典Gauss型求積公式.從實驗結(jié)果可看出，基于非周期三角多項式的求積公式誤差小于經(jīng)典Gauss型求積公式，尤其是當非周期三角多項式中的參數(shù)p為通過最小化算法得到的最優(yōu) p時，基于非周期三角多項式的求積公式的優(yōu)越性則更加明顯.實驗結(jié)果與理論相符.

［1］DIKUSAR N D.Higher-order polynomial approximation［J］.Mathematical models and computer simulations，2016（8）：183-200.

［2］IRODOVA I P.Piecewise polynomial approximation methods in the theory of Nikol'Skiǐ-Besov spaces［J］. Journal of mathematical sciences，2015（209）：319-480.

［3］ SHESTAKOV O V.Reconstructing distributions of multivariate random functions under orthogonal polynomial projection approximation［J］.Journal of mathematical sciences，2014（196）：78-83.

［4］KOPOTUN K A.Polynomialapproximationwithdoubling weights［J］.Acta mathematica hungarica，2015（146）：496-535.

［5］ DANIELYAN A A.Weak-star convergence and a polynomial approximation problem［J］.Results in mathematics，2016（69）：257-262.

［6］KOSLOFF D，HILLEL T.Modified chebyshev pseudospectral methods with O（N-1）time step restriction［J］. Journal of computational physics，1993（104）：457-469.

［7］HILLELT.Nonperiodictrigonometricpolynomial approximation［J］.Journal of scientific computing，2014 （60）：345-362.

［8］WALSH J L.Interpolation and approximation by rational functions in the complex domain［M］.Providence：American Mathematical Society，1956.

［9］MARKUSHEVICH A I.Theory of functions of a complex variable［M］.New York：Chelsea，1977.

［10］納唐松И П.函數(shù)構(gòu)造論（下冊）［M］.北京：科學出版社，1959.

本文編輯：陳小平

Simulation and Emulation of Proper Integrals Based on Non-2π-Periodic Trigonometric Method

LIU Jiao，JIN Guoxiang*

School of Computer Science and Engineering，Wuhan Institute of Technology，Wuhan 430205，China

We constructed two kinds of quadrature formulae of the proper integral with Chebyshev weight using the nonperiodic trigonometric polynomials as the approximate tool.First，we constructed the quadrature fomula of the integral with a new weight transformed from the integral with Chebyshev weight.And then，we transformed it by the inverse transform of the variable to get the first quadrature formula of the original integral based on the nonperiodic trigonometric polynomials.We obtained the second quadrature formula by using the orthogonal projection of the integrand on the subspace spanned by the nonperiodic trigonometric polynomials to approximate the integrand.Meanwhile，we presented the precision conception of the two quadrature formulae.We emulated the two kinds of quadrature formulae with MATLAB.The approximation effects of the two quadrature formulae are better than those of the quadrature formulae in general when the integrand is nonperiodic and non-uniform，which consistents with our theoretical analysis.

nonperiodic trigonometric polynomials；polynomials approximation；quadrature formulae

金國祥，博士，教授.E-mail：gxjin521@163.com

O241.38 O174.41

A

10.3969/j.issn.1674-2869.2016.04.016

1674-2869（2016）04-0399-05

2016-04-06

劉姣，碩士研究生.E-mail：372862510@qq.com