張璟鑫　梁　偉　夏　洋

重慶交通大學(xué)，重慶，400074

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結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建方法的研究

張璟鑫梁偉夏洋

重慶交通大學(xué)，重慶，400074

為實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)材料的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，基于數(shù)學(xué)規(guī)劃法提出一種廣義的平均距離法，用以研究多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建方法。介紹了運(yùn)用平均距離法演變的將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)的多種方法，并以汽車懸架控制臂為實(shí)例，應(yīng)用演變的多種方法進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化仿真研究。研究表明：運(yùn)用平均距離法演變的多種方法可以靈活地構(gòu)建多目標(biāo)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，基于所構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)可以尋找較優(yōu)的構(gòu)建方法，更好地將平均距離理念應(yīng)用于多目標(biāo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。

平均距離法；目標(biāo)函數(shù)；多目標(biāo)； 拓?fù)鋬?yōu)化

0　引言

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計是優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域最富有生命力、最具有發(fā)展前景的一個研究方向[1-2]。人們需要在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域中，尋找優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)方案或較優(yōu)方案來解決單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題。然而在實(shí)際工程設(shè)計問題中，設(shè)計方案存在多項設(shè)計指標(biāo)，期望其各指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)，而這些指標(biāo)往往難以協(xié)調(diào)，需要權(quán)衡多個目標(biāo)來解決多目標(biāo)問題，因此研究尋求合理解決多目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化優(yōu)化問題的方法具有更重要的意義。

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中以多工況靜態(tài)柔度最小化及多階動態(tài)頻率最大化為目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造問題是典型的多目標(biāo)優(yōu)化問題[3]。人們多引入數(shù)學(xué)規(guī)劃來對多個目標(biāo)進(jìn)行綜合權(quán)衡進(jìn)而將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單個目標(biāo)來構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，最終建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。孫曉輝等[4]引入數(shù)學(xué)規(guī)劃法相關(guān)理論建立了5種不同的目標(biāo)函數(shù)，并得到既能提高動態(tài)振動固有頻率又能提高結(jié)構(gòu)剛度的拓?fù)錁?gòu)型。范文杰等[5]建立以折衷規(guī)劃法定義柔度并結(jié)合平均頻率特征值公式構(gòu)建的多目標(biāo)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，并將函數(shù)應(yīng)用于汽車車架結(jié)構(gòu)的設(shè)計中，既提高了動態(tài)振動頻率，又提高了結(jié)構(gòu)剛度。占金青等[3]分別定義靜態(tài)多工況剛度和動態(tài)特征值為兩個分目標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)，并以綜合柔度最小化和平均頻率特征值最大化為目標(biāo)對算例進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，驗(yàn)證其提出該數(shù)學(xué)模型的可行性。劉林華等[6]將折衷規(guī)劃法與理想點(diǎn)法結(jié)合起來，分別以綜合柔度、頻率特征值最優(yōu)化構(gòu)造了目標(biāo)函數(shù)，并以某越野車車架為例驗(yàn)證了多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建方法的正確性。顯然，如何建立合理的目標(biāo)函數(shù)是實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化的關(guān)鍵。 本文將平均距離理論引入結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化，歸納了將多種多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)的方法，并運(yùn)用于拓?fù)鋬?yōu)化來構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，對車架控制臂進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化；針對拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，驗(yàn)證該優(yōu)化方法的可行性，為多目標(biāo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供了新的設(shè)計思路。

1　廣義平均距離公式

Ma等[7]在1995年提出的平均特征值公式很好地解決結(jié)構(gòu)固有頻率振蕩問題，根據(jù)其平均特征值理念，提出廣義平均距離公式概念：

其中，xni(i=1,2,…,m)是各個單目標(biāo)數(shù)值，ni(i=1,2,…,m)為指定的單目標(biāo)，wi(i=1,2,…,M)為加權(quán)系數(shù)(各目標(biāo)對目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)度)，x0i(i =1,2,…,m)為給定的參數(shù)，p為給定的權(quán)力值，y0和α為任意常數(shù)(僅用于一些目標(biāo)函數(shù)的物理意義和目標(biāo)函數(shù)尺寸的調(diào)整)。

所構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)的意義在于，將多個單一目標(biāo)xni與給定參數(shù)x0i的距離之和轉(zhuǎn)化為平均值y來定義評價函數(shù)，用來表征各目標(biāo)加權(quán)距離的平均值，可以用取得平均值最大或最小的方法來實(shí)現(xiàn)各目標(biāo)離指定點(diǎn)加權(quán)距離的最大化或最小化。

當(dāng)p=1,2,…時，以目標(biāo)函數(shù)最小化為例展開研究：

當(dāng)p=-1,-2,…時，以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)最大化為例展開研究：

2　平均距離公式在結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化中的應(yīng)用

在目前的結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化問題中，多工況柔度與多階動態(tài)頻率都屬于多目標(biāo)問題，因此兩個多目標(biāo)問題都應(yīng)用平均距離公式來解決。

2.1靜態(tài)多工況剛度拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

不同工況對應(yīng)的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同，各工況對應(yīng)的多剛度難以同時達(dá)到最優(yōu)，因此，結(jié)合平均距離公式，以多工況下剛度最大化問題轉(zhuǎn)化為柔度最小化的結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下：

C=UTKU

s.t.ρ=(ρ1,ρ2,…,ρn)T

F=KU

0<ρmin≤ρk<1,k=1,2,…,L

式中，C(ρ)為結(jié)構(gòu)平均柔度值；m為工況總數(shù)；wi為第i個工況柔度距離p次方的權(quán)重系數(shù);ρ1,ρ2,…,ρn為拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計變量，即通過變密度法得到的結(jié)構(gòu)材料密度;L為單元總數(shù)；C為結(jié)構(gòu)的柔度，F(xiàn)為受力；K為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；U為位移向量； V0為設(shè)計區(qū)域原體積；V 為優(yōu)化后的體積；Δ為體積分?jǐn)?shù)。

令C0=0、α=1，以p=2、p=-1為例，將目標(biāo)函數(shù)變換為

2.2動態(tài)頻率拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

若簡單地讓其中某一階頻率達(dá)到最大，會使其他階頻率值降到比較低的值，從而導(dǎo)致幾階頻率次序相互調(diào)換，這樣會使目標(biāo)函數(shù)發(fā)生頻率振蕩現(xiàn)象[7]，因此為避免此現(xiàn)象并實(shí)現(xiàn)動態(tài)振動固有頻率的最大化，結(jié)合平均距離公式得到

s.t.ρ=(ρ1,ρ2,…,ρn)T

ajτj≥fjj=1,2,…

(K-τjM)φj=0

0<ρmin≤ρk<1k=1,2,…,L

式中，f(ρ)為結(jié)構(gòu)的平均固有頻率值；l為固有頻率總階數(shù)；fj為結(jié)構(gòu)的固有頻率； M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；φj為結(jié)構(gòu)第j階的正交特征向量；τj為結(jié)構(gòu)第j階的頻率特征值；a=0.95。

2.3多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的綜合模型

由于柔度和頻率的相互制約，而結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化的最終目的是實(shí)現(xiàn)各工況柔度最小化和各階頻率最大化，因此本文以權(quán)力值p=2為例，來實(shí)現(xiàn)兩個定義的分目標(biāo)最優(yōu)。統(tǒng)一數(shù)量級，消除各自的量綱，可以得到最終的優(yōu)化模型：

式中，C(ρ)max為平均柔度的最大值；C(ρ)min為平均柔度的最小值；f(ρ)max為平均頻率的最大值；f(ρ)min為平均頻率的最小值；C(ρ)0、f(ρ)0給定的值。

以列舉的平均柔度和平均頻率定義的兩種目標(biāo)函數(shù)為例，兩兩結(jié)合形成4種新的函數(shù)模型。

模型一：

模型二：

模型三:

模型四：

3　優(yōu)化實(shí)例

本文以汽車懸架系統(tǒng)的控制臂為研究對象，以有限元軟件Hyperworks為分析平臺，參照文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]，選擇最為典型的制動、轉(zhuǎn)向、過路面凹坑工況，建立了汽車控制臂的有限元模型；由于控制臂在有限元載荷計算中有累積誤差，使得尋求一個完全平衡的外載荷力系的工作較困難[9]，而且邊界條件對計算結(jié)果有很大影響，因此本文采用慣性釋放原理來減小該影響，從而使計算結(jié)果更合理，更接近實(shí)際情況。

材料彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度7.9×103kg/m3,體積分?jǐn)?shù)約束為上限40%，拔模方向指定為z方向，載荷與約束如圖1所示，其中A為載荷施加點(diǎn)，B為z方向的約束點(diǎn)，F(xiàn)x、Fy、Fz均為1000 N。

圖1　汽車懸架控制臂有限元模型

3.1優(yōu)化過程

表1　單工況柔度優(yōu)化結(jié)果　N·mm

表2　單階固有頻率優(yōu)化結(jié)果　Hz

再以平均柔度和平均頻率最優(yōu)化分別得到C(ρ)min、C(ρ)max、f(ρ)min、f(ρ)max,結(jié)果如表3所示。

表3　以平均柔度和平均頻率最優(yōu)化的優(yōu)化結(jié)果

最后將表1～表3的數(shù)值，分別代入4個總目標(biāo)函數(shù)模型進(jìn)行優(yōu)化，得出最終優(yōu)化結(jié)果。

3.2優(yōu)化結(jié)果

(1)經(jīng)過Optistruct迭代得到的拓?fù)錁?gòu)型都保留相對密度0.505的材料，以z軸正方向觀察，如圖2所示，其中空白區(qū)域?yàn)閯h除材料的區(qū)域。

(a)平均柔度最優(yōu)　(b)平均頻率最優(yōu)　(c)模型一圖2　模型一分目標(biāo)和總目標(biāo)拓?fù)錁?gòu)型的對比

(a)平均柔度最優(yōu)　(b)平均頻率最優(yōu)　(c)模型二圖3　模型二分目標(biāo)和總目標(biāo)拓?fù)錁?gòu)型的對比

(a)平均柔度最優(yōu)　(b)平均頻率最優(yōu)　(c)模型三圖4　模型三分目標(biāo)和總目標(biāo)拓?fù)錁?gòu)型的對比

(a)平均柔度最優(yōu)　(b)平均頻率最優(yōu)　(c)模型四圖5　模型四分目標(biāo)和總目標(biāo)拓?fù)錁?gòu)型的對比

通過圖2～圖5中各分目標(biāo)和總目標(biāo)拓?fù)錁?gòu)型的對比，4種多目標(biāo)構(gòu)型結(jié)合了兩分目標(biāo)構(gòu)型，擁有比較多的三角形和X形結(jié)構(gòu)，其性能優(yōu)于單目標(biāo)構(gòu)型。

(2)控制臂的各工況柔度和各階頻率經(jīng)過這4種模型優(yōu)化的最終結(jié)果如表4、表5所示。

由表4和表5可知：4種多目標(biāo)優(yōu)化模型優(yōu)化后使各工況柔度有很大程度的減小，也就是各工況剛度得到較大程度的提高；優(yōu)化后結(jié)構(gòu)各階頻率也都得到相應(yīng)的提高；該4種模型都很好地實(shí)現(xiàn)了多工況柔度最小化和多階頻率最大化的目的；模型三優(yōu)化結(jié)果要比其他3種好。

表4　優(yōu)化前后各工況柔度結(jié)果對比　N·mm

表5　優(yōu)化后各階固有頻率結(jié)果對比　Hz

(3)4種模型目標(biāo)函數(shù)的迭代過程如圖6所示。通過觀察4種多目標(biāo)函數(shù)的迭代歷程可知：由于4種目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造的不同，迭代次數(shù)及迭代結(jié)果不同，但迭代趨勢都趨于穩(wěn)定，最終趨于0；說明在迭代過程中，各工況柔度及各階頻率都在向各自的目標(biāo)值發(fā)展，使得柔度越接近最小值，頻率越接近最大值，平均距離越趨于最小值。

圖6　4種模型拓?fù)鋬?yōu)化迭代歷程

4　結(jié)論

(1)本文將平均距離公式的基本理論與多目標(biāo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化相結(jié)合，基于4種構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果可尋找較優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建方法，從而使平均距離理念更好地應(yīng)用于結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化。

(2)在多目標(biāo)優(yōu)化中，運(yùn)用平均距離思想靈活地將距離的最大化轉(zhuǎn)化為最小化來處理，通過優(yōu)化結(jié)果的相互比較來有效的確定理想的結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型，為設(shè)計者提供新思路，對于今后的實(shí)際工程優(yōu)化問題有一定的指導(dǎo)意義。

(3)文中的平均距離公式可選擇不同的參數(shù)，會演變不同的尋優(yōu)方法，然而這種多樣性同樣增大優(yōu)化過程的工作量，因此需對結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程程序化，為拓?fù)鋬?yōu)化模塊及軟件的開發(fā)提供了探索的空間。

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(編輯郭偉)

Research on Construction Method of Objective Function for Multi-objective Topology Optimization in Structures

Zhang JingxinLiang WeiXia Yang

Chongqing Jiaotong University，Chongqing,400074

For multi-objective topology optimization of structural materials，this paper presented a generalized average distance method to study the objective function construction method of multi-objective topology optimization based on mathematical programming. Several methods using the average distance of the evolution were introduced to change multi objectives into single objective,and the topology optimization of a automobile suspension control arm was taken as an example by a variety of methods that were evoluted in the simulation research. The results show that：a variety of methods using the average distance method can flexibly construct the objective function of the multi-objective optimization，and find a way to make better the construction objective function .The average distance concept may be applied to the design of structure optimization for multi-objective topology.

average distance method;objective function;multi-objective;topology optimization

2015-05-20

TH114DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.07.009

張璟鑫，男，1989年生。重慶交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院碩士研究生。研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)優(yōu)化。梁偉，女，1968年生。重慶交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院教授。夏洋，男，1989年生。重慶交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院碩士研究生。