游鵬飛　劉顏回*　黃　鑫　朱春輝　柳清伙（廈門大學電子科學系廈門361005）（杜克大學電氣與計算機工程系達勒姆27708）

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基于改進GA-FFT綜合含互耦效應的不等間隔陣列賦形方向圖

游鵬飛①劉顏回*①黃鑫①朱春輝①柳清伙②①
①（廈門大學電子科學系廈門361005）
②（杜克大學電氣與計算機工程系達勒姆27708）

該文提出了一種虛擬的最小均方有源單元方向圖展開方法，將不等間隔陣列的有源方向圖展開為一個虛擬的均勻間隔陣列的若干單元輻射的疊加。通過該方法，對包含陣元耦合效應的不等間隔陣列方向圖，可以使用快速傅里葉變換進行加速計算。并且，該文將這個方法與遺傳算法（GA）相結(jié)合，得到一種改進的GA-FFT方法，可以應用于解決含陣元互耦的不均勻間隔陣列的賦形波束綜合問題。最后，分別對不等間隔的偶極子陣列平頂方向圖及微帶陣列的余割平方方向圖進行了綜合，結(jié)果表明所提方法的有效性和優(yōu)勢。

不等間隔陣列；陣元互耦；FFT；波束賦形

1　引言

在陣列天線綜合問題中，許多迭代綜合方法如交替投影法、隨機優(yōu)化算法等，具有廣泛的應用［13］-。在這些方法中，遺傳算法（Genetic A lgorithm，GA）由于其魯棒性和普適性，被廣泛地用來搜索全局最優(yōu)解。然而同其他迭代算法一樣，遺傳算法也需要大量反復地計算陣列方向圖，計算時間較長。因此，對于迭代綜合方法而言，加快陣列方向圖的計算，可以顯著降低這些方法的計算復雜度。對等間隔陣列而言，假定各單元具有相同的單元方向圖的情況下，可以采用快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）來加速陣因子的計算，如GA-FFT方法［4］。近年來，一些學者又將這些方法與非均勻快速傅立葉變換（Non-Uniform Fast Fourier Transform，NUFFT）相結(jié)合，將之推廣應用于不等間隔陣列的陣因子計算［58］-，其中GA-NUFFT［8］方法就是主要代表之一。然而，這種基于NUFFT的陣列綜合算法依然只適用于具有相同單元方向圖的情況，不能考慮實際陣列中陣元互耦等因素導致的單元方向圖的差異影響。

眾所周知，采用有源單元方向圖來計算陣列方向圖，可以包含陣元耦合以及陣列安裝環(huán)境的影響［9，10］。然而，由于有源單元方向圖各不相同，無法提取陣列因子，不能應用FFT或NUFFT來加速。為了克服這一問題，許多學者提出了一些近似方法。在文獻［11］中，將等間隔直線陣列的單元分為兩類：陣中單元和邊沿單元。陣中單元享有共同的單元方向圖，可以采用FFT計算這部分單元對總陣列方向圖的貢獻，邊沿單元方向圖各不相同，則需要直接求和計算。該方法比較適合于電大規(guī)模的等間隔陣列問題。文獻［12］將每一個有源單元方向圖看成由整個陣列耦合激勵的陣因子與單元孤立存在時的方向圖的乘積。盡管該方法適用于任意間隔陣列，但由于需要求解每一個有源單元方向圖對應的所有陣元的耦合系數(shù)，需要較高的計算復雜度。

最近，文獻［13］提出了一種最小均方有源單元方向圖展開（Least-Square Active Element Pattern Expansion，LS-AEPE）方法。該方法將有源單元方向圖看成是陣列中部分相鄰單元輻射的疊加，對每一個有源單元方向圖而言，僅需要求解少數(shù)幾個單元的耦合系數(shù)。為減少這種近似誤差，耦合系數(shù)由最小均方誤差準則獲得。應用該方法，等間隔陣列的方向圖可以使用標準的FFT加速，并且可以包含陣元互耦以及安裝環(huán)境的影響。本文將該方法推廣應用于含陣元互耦效應的不等間隔陣列的賦形波束綜合問題。與文獻［13］不同，針對實際的不等間隔陣列情況，我們需要構造一個虛擬的等間隔陣列，將每一個有源單元方向圖看成是虛擬陣列中若干等間隔單元的輻射疊加形成，且虛擬單元的激勵系數(shù)也由最小均方誤差準則給出。我們稱這個方法為虛擬的最小均方有源單元方向圖展開方法。并且，本文將這個方法與GA方法結(jié)合，得到一種改進的GA-FFT方法，可以有效地對含陣元互耦的不等間隔陣列進行優(yōu)化。最后使用該方法綜合了不等間隔偶極子陣列的平頂方向圖以及不等間隔微帶陣列的余割平方方向圖，結(jié)果證明了本文方法的有效性和優(yōu)勢。

2　不等間隔陣列有源單元方向圖的最小均方誤差展開

以N元非均勻間隔線陣為例，陣元分布在X軸上，陣列方向圖可以表示為

為應用FFT加速計算，我們將實際的不等間隔陣列插值為虛擬的等間隔陣列，如圖1所示。實際陣列中的每個有源單元方向圖可以視為其鄰近位置的若干個虛擬單元組成的虛擬子陣輻射造成的。這樣實際的不等間隔陣列中的每個有源單元方向圖可以展開為虛擬的等間隔陣列中若干個鄰近位置的虛擬單元方向圖的加權疊加。如圖1所示，在第1個線框中的5個等間距虛擬陣元組成的虛擬子陣用來插值實際陣列中的第1個陣元，即用該虛擬子陣輻射的方向圖來近似第1個有源單元方向圖。以此類推，相同的方法依次處理實際陣列中每一個有源單元方向圖。

圖1　用虛擬的等間隔陣列展開實際陣列的有源單元方向圖

因此，我們有

為減少式（2）中有源方向圖展開的近似誤差，虛擬單元的激勵系數(shù)nqc通過求解最小化均方誤差問題得到：

其中

上述問題的最小均方誤差解為n=c因此該方法被稱為虛擬的有源單元方向圖的最小均方展開方法（Virtual Least-Square Active Element Pattern Expansion，VLS-AEPE）。

3　改進的GA-FFT綜合具有陣元互耦的不等間隔陣列賦形方向圖

將式（2）代入式（1），我們可以重寫陣列方向圖的表達式為

其中

在u域上均勻采樣，則可以直接應用標準FFT來實現(xiàn)式（8）的加速計算。可見，通過上述處理后，可以實現(xiàn)在考慮陣元互耦情況下不等間隔陣列方向圖的FFT加速。

結(jié)合不同的陣列綜合策略，上述方法可以應用到不同的陣列綜合問題。這里，我們考慮非均勻間隔線陣的賦形功率方向圖綜合問題。賦形功率方向圖的綜合是一個高度非線性的問題，我們應用遺傳算法（GA）來搜索陣元激勵的全局最優(yōu)解［4］。在GA算法中，每一個個體（或者染色體）關聯(lián)一組陣列激勵。對于N元陣列，每組優(yōu)化變量具有2N的維度。其中，前N個元素代表陣列激勵的幅度，采用實數(shù)編碼，取值范圍為［］0，1；后N個元素代表陣列激勵的相位，采用實數(shù)編碼，取值為［］，-ππ。對于方向圖綜合問題，我們關心的是陣元激勵幅度和相位分布的相對大小，而不是它們的絕對值。因此，對位置固定的N元陣列而言，其實際自由度為2 2N-。在賦形功率方向圖優(yōu)化過程中，我們設定的目標函數(shù)為最小化賦形區(qū)域上功率方向圖與期望函數(shù)的誤差，并增加不同區(qū)域的方向圖邊界控制以及最大激勵幅度比的約束條件。數(shù)學表述為

在GA綜合算法中，假定每一代進化中的每一個個體均需要計算陣列方向圖。對于M個采樣點的一次陣列方向圖計算，對式（1）直接求和需要MN次復數(shù)乘法，而應用VLS-AEPE方法可借用FFT對式（8）進行計算，僅需要次復數(shù)計算（假定使用基2的FFT算法，其中表示對x向上取整）。設置圖2顯示了這兩種方法計算陣列方向圖所需的復乘數(shù)目?？梢?，當陣元數(shù)目N大于7時，VLS-AEPE FFT方法比直接求和方法需要更少的復乘次數(shù)，且隨著N的增大，這種計算優(yōu)勢更為明顯。如果使用混合基的FFT算法，比如基2和基4的混合算法，還可以進一步提高計算效率。由于GA算法需要大量多次進行陣列方向圖計算，應用VLS-AEPE FFT方法可以大大提高計算效率。

4　數(shù)值結(jié)果

4.1平頂方向圖綜合

考慮一個12元非均勻間隔的線陣，陣元位置由FBMPM［14］方法得到。在文獻［14］中，F(xiàn)BMPM方法假設單元為理想點源，得到了滿足邊界的平頂賦形方向圖。然而在實際陣列中，由于單元互耦效應的存在，F(xiàn)BMPM方法優(yōu)化的權值在實際全波仿真或測試中得到的結(jié)果往往存在較大的誤差。本文考慮單元天線為工作頻率在1GHz的偶極子天線，陣列模型如圖3所示。該陣列的有源方向圖可以使用全波仿真軟件如HFSS得到。

圖2　計算陣列方向圖所需的復乘次數(shù)與陣列規(guī)模的關系

圖3　 12元不等間隔偶極子天線陣列（mm）

為了評估VLS-AEPE方法用于展開該陣列有源單元方向圖的精度，我們定義誤差為

圖4顯示了誤差ε與參數(shù)d和Q的關系。由圖4可見，對于固定的d，Q越大，誤差就越??；對于固定的Q，d減小也會降低誤差。但是當d≤0.35λ時，減小d并不能降低誤差。這是由于在固定Q的情況下，d減小意味著用來展開有源方向圖的虛擬子陣的間距變小，同時所用的口徑也越小了，抵消了小間距帶來的精度改善。在這個例子中，我們?nèi)= 0.35λ，Q=6。這時，12元含耦合的不等間隔線陣可以變換為30元虛擬的等間隔線陣。采用虛擬子陣展開后，可以采用FFT來計算陣列方向圖，并使用GA算法對激勵和相位進行優(yōu)化，使得綜合的方向圖滿足波束賦形和副瓣控制的要求。如圖5所示，使用點源假設的FBMPM方法綜合的激勵，在用于圖3所示的偶極子陣列后，由于陣元互耦的存在，所得方向圖在低副瓣電平區(qū)域不能滿足-40 dB的要求。而采用本文方法優(yōu)化后，所得陣列方向圖完全滿足所給定的副瓣及波束賦形要求。另外，我們約束了最大激勵幅度比為3.4，略小于文獻［14］中給出的激勵幅度比3.6。

由圖2可知，陣列規(guī)模越大，VLS-AEPE FFT對于陣列方向圖計算的加速效果越顯著。因此，考慮擴大陣列規(guī)模，對一個41元不等間隔的線陣綜合平頂方向圖，如圖6所示。單元天線仍然選用圖3所示的偶極子天線，單元位置由文獻［15］給出。采用本文提出的GA-VLS AEPE FFT方法對激勵進行優(yōu)化，考慮了單元方向圖以及互耦效應，所得陣列的方向圖與GA-直接求和方法得到的結(jié)果吻合得比較好，均嚴格滿足期望的方向圖邊界：賦形區(qū)域波束寬度和波紋響應幅度分別為40°和0.3 dB，副瓣區(qū)域電平控制在-30 dB以下。

圖4　 VLS-AEPE方法的誤差ε與參數(shù)d，Q的關系

圖5　 12元不等間隔線陣平頂方向圖綜合結(jié)果

圖6　 41元不等間隔線陣平頂方向圖綜合結(jié)果

4.2余割平方方向圖綜合

考慮對一個13元不等間隔的線陣綜合余割平方方向圖。假定單元天線為工作頻率在2.45 GHz的微帶天線，單元位置由文獻［16］給出，陣列模型如圖7所示。如果采用文獻［16］給出的激勵，由于微帶單元方向圖的調(diào)制以及相鄰單元耦合的存在，所得陣列的方向圖超出期望的方向圖邊界，如圖8所示。而采用本文提出的GA-VLS AEPE FFT方法對激勵進行優(yōu)化后，滿足了波束賦形和副瓣控制的要求，修正了直接使用文獻［16］給出的激勵，由于未考慮單元方向圖以及互耦而產(chǎn)生的誤差。另外，我們約束了激勵幅度比為5.1，而文獻［16］中所得結(jié)果的激勵幅度比為9.6。

圖7　 13元不等間隔微帶陣列（mm）

5　結(jié)束語

本文針對不等間隔陣列，提出了一種虛擬的最小均方有源單元方向圖展開方法?？梢栽诳紤]陣元電磁耦合的情況下，對陣列方向圖計算進行FFT加速。將該方法與遺傳算法相結(jié)合，得到了一種改進的GA-FFT方法，可以對考慮互耦的不等間隔陣列進行方向圖賦形綜合。最后，我們對不等間隔的偶極子陣列進行平頂方向圖綜合，對不等間隔的微帶陣列進行了余割平方方向圖綜合，所得結(jié)果嚴格滿足預先設定的波束賦形及副瓣區(qū)域的要求，證明了本文方法的有效性。

另外，本文方法可以進一步推廣到考慮安裝平臺對天線陣列的影響。對于安裝在平臺上的天線陣列，可以采用測試的有源單元方向圖，運用本文方法依然具有可行性。

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游鵬飛：男，1986年生，博士生，研究方向為陣列綜合與設計.

劉顏回：男，1983年生，副教授，博士生導師，研究方向為天線設計與陣列理論、陣列信號處理.

黃鑫：男，1991年生，碩士生，研究方向為陣列綜合與設計.

Modified GA-FFT for Synthesizing Shaped Pattern of Unequally Spaced A rray in Presence of M utual Coup ling

YOU Pengfei①LIU Yanhui①HUANG Xin①ZHU Chunhui①LIU Qinghuo②①
①（Department ofElectronic Science，Xiam en University，Xiamen 361005，China）
②（Department ofElectrical and Computer Engineering，Duke University，Durham 27708，USA）

A new Virtual Least-Square Active Element Pattern Expansion（VLS-AEPE）method is presented in this paper，w hich considers each active elem ent pattern of an unequally spaced array as the one radiated by some of equally spaced elem ents of a virtual array.Using the help of thism ethod，the pattern of an unequally spaced array includingmutual coupling can be efficiently calculated by FFT.In addition，thismethod is combined w ith the Genetic A lgorithm（GA）to dealwith the shaped pattern synthesis prob lem for unequally spaced linear arrays. Two synthesis experiments including the synthesis of flat-top pattern for an unequally spaced dipole array and the synthesis of cosec-squared pattern for an unequally spaced m icrostrip array are conducted to verify the effectiveness and advantages of the proposed algorithm.

Unequally spaced linear array；E lem ent mutual coup ling；FFT；Shaped pattern synthesis

s:The National Natural Science Foundation of China（61301009），The Fundamental Research Funds for the Central Universities（20720160081）

TN 820

A

1009-5896（2016）08-2107-06

10.11999/JEIT 151189

2015-10-29；改回日期：2016-04-08；網(wǎng)絡出版：2016-05-24

劉顏回yanhu iliu@xm u.edu.cn

國家自然科學基金（61301009），中央高校基本科研業(yè)務費（20720160081）