李 琪，王再興，王耀稼，艾二鑫

(西安石油大學 石油工程學院，陜西 西安 710065)

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偏心環(huán)空中Robertson-Stiff流體的波動壓力計算模型

李 琪，王再興，王耀稼，艾二鑫

(西安石油大學 石油工程學院，陜西 西安 710065)

用窄槽流動模型模擬流體在偏心環(huán)空中的流動，結合流體流動的控制方程和Robertson-Stiff流體的流變方程，建立了穩(wěn)態(tài)層流條件下的波動壓力計算模型。利用自適應的辛普森積分法對其進行了數(shù)值求解，并對波動壓力的影響因素進行了分析。結果表明，建立的Robertson-Stiff流體在偏心環(huán)空中的波動壓力計算模型預測結果準確，采用的數(shù)值求解方法精度高，與已有的偏心環(huán)空波動壓力計算模型結果對比誤差在10%以內；在井眼環(huán)空處于完全偏心的情況下，波動壓力梯度降低為同心環(huán)空的50%左右；當流性指數(shù)和管柱井眼尺寸比較大時，要對起下鉆的速度嚴格限制。

波動壓力；Robertson-Stiff流體；偏心環(huán)空；窄槽流動模型；辛普森積分法

李琪，王再興，王耀稼，等.偏心環(huán)空中Robertson-Stiff流體的波動壓力計算模型[J].西安石油大學學報(自然科學版)，2016，31(3)：86-91,121.

LI Qi,WANG Zaixing,WANG Yaojia，et al.Computational model of fluctuating pressure of Robertson-Stiff fluid in eccentric annulus[J].Journal of Xi'an Shiyou University (Natural Science Edition),2016,31(3):86-91,121.

引　言

隨著小井眼鉆井和套管鉆井等新技術的出現(xiàn)，井筒壓力的精確計算正在受到人們的重視。多年來，現(xiàn)場使用的波動壓力預測模型是針對同心環(huán)空建立的。而在水平井和定向井中，由于重力因素的存在，會導致管柱在環(huán)空中處于偏心的位置，即井眼環(huán)空處于偏心狀態(tài)。忽視偏心因素對波動壓力的影響會導致過低估計起下鉆速度，增加非生產(chǎn)時間和作業(yè)費用[1-3]。

針對牛頓流體、冪律流體、卡森流體和赫-巴流體在偏心環(huán)空中的流動，國內外學者們已經(jīng)建立了相應的波動壓力預測模型[4-7]。1976年Robertson和Stiff等[8-9]人提出了描述鉆井液性能的Robertson-Stiff流變模式(R-S流變模式，相應的鉆井液稱為R-S流體)作為三參數(shù)流變模式，在較寬剪切速率范圍內能比傳統(tǒng)模式更為準確地描述鉆井液的流變特性。而針對R-S流體在偏心環(huán)空中流動的波動壓力計算研究較少。本文推導出了穩(wěn)態(tài)層流條件下R-S流體在偏心環(huán)空中流動的波動壓力計算公式，利用自適應的辛普森積分法對其進行了數(shù)值求解，并編制了相應的計算程序以方便現(xiàn)場使用。

1　偏心環(huán)空中流體流動的物理模型

1.1流體微元受力分析

在建立物理模型時，作出如下5點假設：

(1)井眼為規(guī)則的、直徑已知的圓形井眼；

(2)管柱在環(huán)空中處于偏心位置，即認為井眼環(huán)空處于偏心的狀態(tài)；

(3)鉆井液在環(huán)空中的流動為等溫、層流，且不考慮鉆井液的壓縮性；

(4)流場中的參數(shù)不隨時間變化，即流動為穩(wěn)定流動；

(5)將流體在偏心環(huán)空中的流動簡化為在高度不等的窄槽中的流動。

偏心環(huán)空過流斷面的簡化模型如圖1所示。其中：r2為井眼內徑，m；r1為運動管柱的外徑，m；e為偏心距，m；θ為偏心角，(°)；h為環(huán)空間隙，m；y為從環(huán)空中心算起的距離，m。

不同θ角處h大小為

(1)

圖1　偏心環(huán)空過流斷面示意圖Fig.1　Schematic diagram of eccentric annulus flow section

不同偏心角處的環(huán)空間隙不同，將偏心環(huán)空的流動區(qū)域展開，可成為具有不等高度的流動槽，如圖2所示。在環(huán)空中不同偏心角處沿流動方向任取流體微元進行受力分析，如圖3所示。其中：τ是各液層之間的切應力，Pa；α為井斜角，(°)；F1、F2、F3、F4分別為微元體所受外力，Pa；L為微元體長度，m；u為環(huán)空中流體的流速，m/s。

圖2　窄槽模型示意圖Fig.2　Schematic diagram of narrow slot model

圖3　環(huán)空中流體單元受力分析Fig.3　Stress analysis diagram of fluid element in annulus

穩(wěn)定流動時，流體微元所受合外力為零，切應力τ與波動壓力梯度Δps/L之間的關系為[3]

(2)

式(2)為窄槽流動模型軸向均勻流的控制方程，Δps/L代表波動壓力梯度，Pa/m。

1.2管柱運動引起的環(huán)空流量

管柱運動過程中，由于鉆井液的黏附性會導致鉆井液隨著管柱運動而流動?？紤]下放管柱、關泵、閉管工況時，鉆井液在環(huán)空中的最大平均流速[10]

(3)

管柱運動引起的環(huán)空流量

(4)

2　波動壓力求解

R-S流體的流變方程為

(5)

式中：τ0=ACB，為屈服應力，Pa；A為R-S流體的稠度系數(shù)，Pa·sB；B為R-S流體的流性指數(shù)，無因次；C為速度梯度修正值，s-1，du/dy為剪切速率，m/s。

(6)

式中：r0為流核的半徑，m。

環(huán)空中的平均流速

(7)

(8)

以圖1中偏心角θ處的間隙為準，取微小增量dθ，則dθ所對應的弧長ds可以表示為

ds=(h+2r1)dθ。

(9)

井眼偏心環(huán)空中面積微元內通過的流量為

治療前兩組患者PRL水平下降情況無顯著差異,P>0.05,但在治療后30天、60天、90天研究組顯著優(yōu)于對照組,差異有統(tǒng)計學意義,P<0.05,見表1。

(10)

則環(huán)空中的流量為

(11)

其中，Q1和Q2的表達式分別為

式中：p和q分別為

聯(lián)立式(4)和式(11)，化簡整理可得R-S流體偏心環(huán)空中流動的波動壓力梯度計算公式為

(12)

由于式(12)中的被積函數(shù)p、q比較復雜，很難求出原函數(shù)，因此采用自適應的辛普森積分法求解。自適應的辛普森積分法是一種不均勻區(qū)間的積分方法，它能自動地在被積函數(shù)變化劇烈的地方增加節(jié)點，而在被積函數(shù)變化平緩的地方減少節(jié)點，不管被積函數(shù)多復雜，它都能快速地得到高精度的結果。運用自適應辛普森積分法對式(12)進行數(shù)值積分，化簡整理之后即可求出波動壓力梯度。

對R-S流體的流變方程式(5)分析可得：當B和C的取值分別為B=1，C=0；B≠1，C=0和B=1，C≠0時，式(5)相應地化簡為牛頓流體、冪律流體和賓漢流體的流變方程，對應的式(12)分別化簡為牛頓流體、冪律流體和賓漢流體的波動壓力計算公式。即該模型對于牛頓流體、冪律流體等現(xiàn)場常用的鉆井液流變模式都是適用的。

3　模型驗證

3.1同心環(huán)空下的模型驗證

井眼環(huán)空處于同心狀態(tài)時，e=0，h為常數(shù)，將相關的變量帶入式(12)后化簡可得同心環(huán)空中波動壓力梯度計算式為

(13)

式(13)就是前人提出的同心環(huán)空R-S流體波動壓力梯度計算公式[10]，因此該模型對于同心環(huán)空波動壓力的計算是適用的。

3.2偏心環(huán)空下的模型驗證

為了對偏心環(huán)空中波動壓力計算模型的合理性進行驗證，選取了5組鉆井液[12]在不同偏心度ε和管柱井眼尺寸比k(選用2號鉆井液)的條件下，將本文基于R-S流變模式的波動壓力計算模型結果與文獻[7]中基于赫-巴流變模式的簡化模型計算結果、文獻[13]中Haciislamoglu等[13]人和文獻[14]中Patel等[14]人基于冪律流變模式提出的模型(Haciislamoglu模型和Patel模型)計算結果分別進行了對比(圖4—圖6)。分別用R-S、冪律和赫-巴流變模式描述鉆井液性能時，流變參數(shù)以及相關指數(shù)R2見表1，井眼內徑r2為0.155 m。

圖4　本文模型與文獻[7]模型計算結果對比Fig.4　Comparison of the calculation results using the model in this paper with the model in literature[7]

圖5　本文模型與Haciislamoglu模型計算結果對比Fig.5　Comparison of the calculation results using the model in this paper with Haciislamoglu model

圖6　本文模型與Patel模型計算結果對比Fig.6　Comparison of the calculation results using the model in this paper with Patel model

鉆井液編號R-S流變模式冪律流變模式赫-巴流變模式BACR2nKR2nKτ0R210.684460.389057.854920.999070.544570.512600.997970.740110.121772.474490.9991020.781310.117927.448870.998600.660550.459300.998280.702970.335371.147190.9986330.717090.596418.255890.999930.762350.134890.998760.792330.108070.441510.9996840.828740.0974775.35760.999590.849520.053840.998730.886490.041000.362740.9999550.701910.3714710.39660.999770.671790.458270.997810.723700.312051.477350.99979

注：①冪律流變模式中：n是流性指數(shù)，無因次；K是稠度系數(shù)，Pa·sn。

②赫-巴流變模式中：n是流性指數(shù)，無因次；K是稠度系數(shù)，Pa·sn;τ0是動切應力，Pa。

③R2為相關指數(shù)，其值越接近于1，說明用該流變模式描述鉆井液性能更好，對應的波動壓力計算模型精度也就越高。

(1)文獻[7]利用Fluent軟件模擬赫-巴流體在偏心環(huán)空中的流動，對波動壓力的數(shù)值模擬結果進行擬合，得到波動壓力計算的簡化模型

(12)

在0<ε<0.97、0.4

(2)Haciislamoglu等人通過數(shù)值方法擬合出了冪律流體在偏心環(huán)空與同心環(huán)空中的壓耗之比R的表達式為[13]

(13)

在0.4≤n≤1.0、0≤ε≤0.95、0.3≤k≤0.9的范圍內，該模型與數(shù)值方法計算的結果誤差在5%以內。

Patel等人利用非線性回歸法擬合出R的表達式為[14]

R=1-0.101 9εnk-0.467 5-1.615 2ε2n0.085k0.787 5+1.143 4ε3n0.054 7k1.165 5。

(14)

在0.2≤n≤1.0、0≤ε≤0.98、0.2≤k≤0.8的范圍內，該模型與數(shù)值方法計算的結果誤差同樣在5%以內。

利用式(13)和式(14)分別求出R，可求出偏心環(huán)空中冪律流體的波動壓力梯度為

(15)

由圖5和圖6可知，在偏心度ε和管柱井眼尺寸比k變化時，本文模型計算出的波動壓力梯度與Haciislamoglu和Patel模型計算的波動壓力梯度誤差都在10%之內。產(chǎn)生誤差的原因是由于在流變模式擬合時，不同流變模式的相關系數(shù)不同。由表1可知，相比于現(xiàn)場常用的冪律模式，R-S模式能更好地描述鉆井液性能，因而本文基于R-S流變模式的波動壓力計算模型有更高的精度。

4　波動壓力的影響因素分析

以表1中3號鉆井液為例，井眼內徑r2為0.155m，研究不同的管柱運行速度vp下偏心度ε、管柱井眼尺寸比k、流性指數(shù)B和速度梯度修正值C與波動壓力的關系。

由偏心度ε與波動壓力的關系曲線(圖7)可知，波動壓力隨ε增大而降低，當管柱在環(huán)空中處于完全偏心(ε=1)的情況下，波動壓力梯度降低為同心環(huán)空的50%左右。在斜井段和水平井段偏心環(huán)空中可以適當提高起下鉆速度。

圖7　偏心度ε與波動壓力的關系曲線Fig.7　Relationship between eccentricity and fluctuating pressure

管柱井眼尺寸比k與波動壓力的關系曲線(圖8)表明，波動壓力隨k的增大而增大，在k大于0.7時，波動壓力對管柱運行速度的變化很敏感。因此在窄環(huán)空間隙作業(yè)(如小井眼井起下鉆、窄環(huán)空間隙下套管作業(yè))中應對管柱運行速度大小嚴格限制。

圖8　管柱井眼尺寸比k與波動壓力的關系曲線Fig.8　Relationship between the diameter ratio of string to borehole and fluctuating pressures

從流性指數(shù)B與波動壓力的關系曲線(圖9)可以看出，在B較小時，波動壓力隨vp的增大變化幅度不明顯；在B大于0.6時，波動壓力對vp的變化很敏感。

圖9　流性指數(shù)B與波動壓力的關系曲線Fig.9　Relationship between rheological index B and fluctuating pressure

圖10　速度梯度修正值C與波動壓力的關系曲線Fig.10　Relationship between correction value C of velocity gradient and fluctuating pressure

由速度梯度修正值C與波動壓力的關系曲線(圖10)可知，在C一定時，波動壓力隨著vp的增大而增大；隨著C的增加，波動壓力隨著vp的增大變化幅度會減小。由屈服應力的計算公式τ0=ACB可知，C增大時，會導致屈服應力增大，進而會減弱vp對波動壓力梯度的影響，這與文獻[1]得到的結果是一致的。

5　結　論

(1)在考慮井眼幾何特性、實際起下鉆工況和流體流變性能的基礎上，R-S流變模式能夠更好地描述鉆井液流變性能，提出的偏心環(huán)空中波動壓力模型精度更高，考慮因素更加全面。

(2)本文建立的R-S流體在偏心環(huán)空中流動的波動壓力計算模型合理，與文獻中的數(shù)值模擬結果吻合度高；對模型進行數(shù)值求解所采用的自適應辛普森積分法是適用的，計算結果精度高，與現(xiàn)存的模型相比，誤差在10%之內，能夠滿足現(xiàn)場精度需求。

(3)波動壓力隨著管柱在環(huán)空中偏心度的增加而降低，因此在斜井段和水平井段的偏心環(huán)空中可以在安全范圍內提高起下鉆速度；速度梯度修正值較大時，管柱運行速度對波動壓力的影響減弱；在流性指數(shù)和管柱井眼尺寸比較高時，要對起下鉆的速度大小嚴格限制。

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責任編輯：賀元旦

Computational Model of Fluctuating Pressure of Robertson-Stiff Fluid in Eccentric Annulus

LI Qi,WANG Zaixing,WANG Yaojia,AI Erxin

(College of Petroleum Engineering,Xi'an Shiyou University,Xi'an 710065，Shaanxi,China)

The flow of fluid in eccentric annulus is simulated using narrow slot flow model,the fluid flow fluctuation pressure model in eccentric annulus under steady laminar flow condition is establish based on the control equations of fluid flow and the rheology equation of Robertson-Stiff fluid.The numerical solution of the fluctuation pressure model is obtained using adaptive Simpson integral method,and the influence factors of the fluctuation pressure are analyzed.It is shown that the computational model of the Robertson-Stiff fluid flow fluctuation pressure in eccentric annulus is accurate,and the adopted numerical method is of high accuracy.Compared with the calculation results of existing models,the prediction error of the model is lower than 10%.The fluctuating pressure gradient in total eccentric annulus is about 50% of that in concentric annulus.The tripping speed should be strictly limited when the flow index and the size ratio of string to hole are relatively large.

fluctuation pressure;Robertson-Stiff fluid;eccentric annulus;narrow slot flow model;Simpson integral method

2015-12-20

國家自然科學基金項目“基于多源信息和智能計算的鉆井異常自適應預警方法研究”(編號：51574194)；陜西省科技工業(yè)攻關項目“基于多源信息與智能計算的鉆井事故自適應預警關鍵技術研究”(編號：2014K05-02)；西安石油大學優(yōu)秀碩士學位論文培育項目

李琪(1963-)，男，教授，博士生導師，從事石油鉆井信息技術、導向鉆井等研究。Email：liqi@xsyu.edu.cn

10.3969/j.issn.1673-064X.2016.03.014

TE21

1673-064X(2016)03-0086-06

A