董曉江，楊治林

(西安科技大學 理學院，陜西 西安 710054)

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順層邊坡巖體結構的后屈曲分岔特性*

董曉江，楊治林

(西安科技大學 理學院，陜西 西安 710054)

在已有利用初始后屈曲理論和尖點突變理論對順層邊坡巖體結構進行性態(tài)分析的基礎上，結合順層邊坡巖體結構彎曲變形及潰屈破壞的特點，運用幾何非線性大變形理論對順層邊坡巖體結構的后屈曲非穩(wěn)定性態(tài)進行研究，給出了順層邊坡巖體結構發(fā)生潰屈破壞的判據(jù)。同時求出了順層邊坡巖體結構發(fā)生潰屈破壞時的屈曲模態(tài)幅值，并給出了工程實例。研究表明：可以運用幾何非線性大變形理論來求解順層邊坡巖體結構的潰屈破壞極限長度，進而求出其發(fā)生潰屈破壞時的模態(tài)幅值；此模態(tài)幅值代表了結構體系在屈曲狀態(tài)下模態(tài)幅值的最小值或跨越分岔集發(fā)生潰屈破壞的模態(tài)幅值的最大值，具有臨界模態(tài)幅值的二重性的基本特征；由于沿邊坡方向重力分力的影響，傾斜層狀邊坡發(fā)生潰屈破壞的位置會下移，在確定潰屈破斷的位置時，可以運用二分法的思想。

順層邊坡；幾何非線性大變形理論；潰屈破壞極限長度；模態(tài)幅值；二分法

0　引　言

工程實際中遇到的邊坡，以順傾向層狀巖質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性為最差，因此在工程建設中必須對其非穩(wěn)定性態(tài)進行分析[1]。

順傾向層狀巖質(zhì)邊坡的破壞通常沿著層間軟弱夾層或層間接觸面發(fā)生，主要表現(xiàn)形式為巖層潰屈破壞或整體剪切滑動[2-3]。工程實際遇到的大多數(shù)順層邊坡巖體結構的寬度和長度遠大于厚度，如果巖層厚度很小，沿著邊坡方向的下滑力小于巖層層間摩擦力，巖層一般不會發(fā)生失穩(wěn)破壞。當巖層厚度較大時，其從基本狀態(tài)到后屈曲狀態(tài)經(jīng)歷的過程一般是彎曲變形、失穩(wěn)破壞、彎曲變形和裂縫持續(xù)發(fā)展、巖層潰屈破壞或整體剪切滑動至徹底喪失承載力。

對工程實際遇到的順層邊坡巖體結構進行力學簡化發(fā)現(xiàn)，其變形破壞過程往往具有以巖梁或巖板發(fā)生破壞的特征。巖板或巖梁的屈曲并不意味著其承載能力的全部喪失，僅僅是結構體系的穩(wěn)定性態(tài)發(fā)生改變的分岔特征[3]。這表明巖層失穩(wěn)后仍具有一定的承載力，說明巖層的后屈曲性態(tài)是穩(wěn)定的。隨著巖體結構上部滑動段的不斷下滑，脫離底層巖層的彎曲變形不斷發(fā)展，巖體結構的后屈曲狀態(tài)將演變?yōu)?種結果：①坡腳維持鎖固狀態(tài)，上部巖層不斷下滑，巖體結構脫離底層的長度不斷減小，當巖層脫離底層的長度在潰屈破壞極限長度以內(nèi)時，巖體結構將發(fā)生潰屈破壞；②隨著上部滑動段的不斷下滑，坡腳附近的剪力不斷增大，坡腳不斷張裂擴展。其間坡腳鎖固段的有效長度不斷減小，當最終鎖固段被突然剪斷時，邊坡整體滑動破壞。文中著重對第一種可能出現(xiàn)的結果進行研究。

應該認識到，工程實際中遇到的各類邊坡巖體結構都是存在缺陷的非完善系統(tǒng)。這種缺陷對結構體系的影響體現(xiàn)在結構體系發(fā)生屈曲的臨界載荷與分岔點處的載荷不相等。對于理想結構則不存在這一情況，理想結構的屈曲載荷是由分岔點決定的。因此考慮實際缺陷對于探討層狀邊坡的潰屈破壞與剪切滑動破壞具有很重要的實際意義。

文中在順層邊坡屈曲性態(tài)分析和研究分岔點附近鄰域的基礎上，利用幾何非線性大變形理論，以一種新穎的方法求解了順層邊坡巖體結構發(fā)生潰屈破壞的極限長度，進而提出了順層邊坡巖體結構發(fā)生潰屈破壞的判據(jù)。同時將順層邊坡的模態(tài)幅值與潰屈破壞極限長度進行比較，對順層邊坡潰屈破壞時的屈曲性態(tài)進行分析。

1　順層邊坡巖體結構的模態(tài)幅值

1.1邊坡巖體的變形模態(tài)及臨界載荷

圖1　邊坡巖體結構后屈曲狀態(tài)下的力學模型Fig.1　Mechanical model under the post-buckling state for side slope with bedding rock mass

對工程實際中的邊坡巖體結構，其力學模型可簡化為圖1所示。AD為下部鎖固段，還未產(chǎn)生滑動，但有向下滑動的的趨勢。AB為彎曲段，l為巖層脫離底層的實際長度，亦可以理解為彎曲段巖層的跨度。BC為上部下滑段，已與底部巖層產(chǎn)生相對滑動。

取符合巖層邊界條件的變形模態(tài)(即邊坡沿y方向的位移表達式)為

(1)

式中ξ=x/l，am為邊坡巖體的變形模態(tài)幅值。由文獻[4]可知滿足圖1所示邊界條件的順層邊坡巖體結構的臨界載荷為

(2)

1.2邊坡巖體的模態(tài)幅值方程

在單一方向受荷，并且邊坡層狀巖體可以處理成只在起拱部分上下兩側有約束而其余兩側自由時，可以采用平面應變條件下的巖層梁代替巖層板來分析[5]。圖1所示的順層邊坡巖體結構力學模型，其從原始基本狀態(tài)到后屈曲狀態(tài)的演變過程中，其位能增量泛函不斷發(fā)生變化。對順層邊坡巖體結構的性態(tài)進行分析時，應當將位能增量泛函(w)中的任一項都視為與載荷因子λ有關的項[4]。

對于一級近似，僅在位能泛函的二次變分中考慮與載荷因子λ有關的項是滿足要求的[4，6-7]?？紤]位能增量泛函的余項∏0(w,am)影響時的屈曲模態(tài)可表示為關于變形模態(tài)幅值am的簡單代數(shù)函數(shù)[8]

(3)

邊坡巖體結構的平衡穩(wěn)定模態(tài)幅值方程為[8]

(4)

式中D1=2l4(1-μ2)(λ1Pk-P)/π4EI；D2=2l6qcosα(1-μ2)/π6EI.式(4)表達了模態(tài)幅值am與分岔點載荷P，臨界載荷Pk及順層邊坡巖體結構脫離底層的長度l間的關系。

2　順層邊坡巖體結構的后屈曲性態(tài)

2.1邊坡巖體的分岔點載荷與屈曲模態(tài)幅值

在前期的發(fā)展過程中，可以認為順層邊坡的彎曲變形的發(fā)展以及坡腳的開裂都是連續(xù)的，但順層邊坡巖體結構潰屈破壞或整體剪切滑動的發(fā)生總是在相對很短的時間內(nèi)完成，可以看作是一種突變，可用尖點突變模型來研究順層邊坡巖體結構的非穩(wěn)定性態(tài)。

由式(4)得到以am為狀態(tài)變量，以D1，D2為控制變量的尖點突變模型分岔集方程為[8]

(5)

(6)

式(6)以載荷的形式給出了結構體系分岔點附近的鄰域，同時也表明P≥λ1Pk是巖體結構穩(wěn)定性發(fā)生改變，產(chǎn)生突變的必要條件[4]。式(6)既表示了平衡構形附近的鄰域，也是坡腳開裂的判據(jù)[9]。

就穩(wěn)定性問題的力學模型來講，可按結構有無橫向分力作用將結構區(qū)分為缺陷結構或非完善結構。式(6)等式右端也可理解為缺陷結構遠離理想化完善結構的臨界載荷之值[10]。在圖1所示邊坡巖體結構的邊界條件下，非零解載荷參數(shù)的最小值為λ1=1.代入式(6)，并與式(2)聯(lián)立，可得順層邊坡巖體結構發(fā)生潰屈破壞時的分岔點載荷為

(7)

式(7)表示了初始缺陷對于結構體系的影響，即對于存在缺陷的實際結構，其臨界載荷與分岔點處的載荷是不一致的，必須在臨界載荷上增加一載荷增量，才能得到分岔點載荷。同時也表現(xiàn)在對于存在初始缺陷的非完善系統(tǒng)，結構的實際屈曲載荷(分岔點處的載荷)偏離了理論臨界值。而在求解過程中，只有考慮了邊坡巖體結構的這種缺陷，才能得出真正意義上的潰屈破壞極限長度和模態(tài)幅值。

聯(lián)立(5)(6)，得到順層邊坡巖體結構的平衡穩(wěn)定模態(tài)幅值為

(8)

式(8)是在結構體系跨越分岔集的前提下得到的，代表了結構體系在屈曲狀態(tài)下模態(tài)幅值的最小值或跨越分岔集發(fā)生潰屈破壞的最大值。

2.2邊坡巖體的潰屈破壞極限長度

根據(jù)巖體結構的漸進性破壞機理[11]，順層邊坡巖體結構初始屈曲后，隨著上部滑動段的下滑，巖層脫離底層的長度不斷減小，屈曲模態(tài)幅值不斷增大，巖層處于分岔后的大變形潰屈狀態(tài)。將大變形潰屈狀態(tài)下的巖層板視為巖層梁，在幾何非線性大變形理論下，其撓曲線微分方程為

(9)

將P的表達式代入式(9)，可得

(10)

如果順層邊坡的位置是水平的，在其兩端施加荷載，由對稱性可知邊坡的潰屈破斷將發(fā)生在脫離底層邊坡的中點，即x=0.5l處?？紤]到實際邊坡具有傾角，由于沿邊坡方向重力分力的影響，邊坡潰屈破斷位置會下移，邊坡將發(fā)生非對稱破斷，不妨假設脫離底層的邊坡潰屈破斷發(fā)生在x=0.4l處，代入式(10)可得

(11)

聯(lián)立式(8)、(11)可得到關于l的一元四次方程

al4+bl3+cl2+dl+e=0.

(12)

式中

(13)

對式(12)，可采用迭代法求出順層邊坡巖體結構的潰屈破壞極限長度為

(14)

顯然，如果邊坡傾角變大，潰屈極限長度會減小。直立狀態(tài)下邊坡巖體的潰屈破壞極限長度達到最小值。將由式(14)求得的l代入式(8)可得邊坡潰屈破壞時的屈曲模態(tài)幅值am.

對于任一邊坡工程，在獲知其材料的物理力學參數(shù)的情況下，均可求解其潰屈破壞極限長度l和模態(tài)幅值am.由文獻[12]，可知順層邊坡巖體結構發(fā)生潰屈破壞的非對稱破斷位置為

(15)

式中ζ=kl/πam，k=tanα將求得的l和am代入式(15)可得邊坡潰屈破壞的非對稱破斷位置，并與x=0.4l比較，對此情況，可采用二分法的思想求解邊坡潰屈破壞的位置。

2.3邊坡巖體結構的非穩(wěn)定性態(tài)分析

順層邊坡巖體結構的破壞形式主要表現(xiàn)為潰屈破壞和整體剪切滑動。設邊坡巖體脫離底層的實際長度為l，邊坡屈曲后，只有在脫離底層的極限長度內(nèi)才會發(fā)生潰屈破壞。當確定了邊坡巖體結構的潰屈破壞極限長度及非對稱破斷位置時，由式(8)可求出邊坡巖體發(fā)生潰屈破壞時破斷位置的模態(tài)幅值。

隨著邊坡上部滑動段的下滑和彎曲段彎曲變形的加劇，巖體中應力經(jīng)過重新調(diào)整，坡腳附近的最大切應力顯著增大，坡腳處巖層將沿著早期發(fā)育的結構面開裂并擴展，致使邊坡脫離底層的長度由于坡腳的開裂而增大，此時結構的模態(tài)幅值反而會減小。對由于坡腳不斷開裂引起的邊坡巖體剪切滑動破壞，這里不做進一步討論。

3　工程算例

雅礱江霸王山某處為順層邊坡，邊坡與水平地面之間的夾角α=40°，巖層的主要物理力學性能參數(shù)為：彈性模量為E=8 152 MPa，泊松比μ=0.25，巖層厚度h=10 m，巖層重度γ=27 kN/m3，夾層下的巨厚巖層不會產(chǎn)生深層滑動，該邊坡曾發(fā)生過潰屈破壞。此層狀巖體單位寬度上的均布荷載為q=γh=270 kN/m2.

關于順層邊坡巖體結構發(fā)生潰屈破壞的極限長度l的方程為

式中

=-1.08×1013N·m4.

由此可得該順層邊坡巖體結構發(fā)生潰屈破壞的極限長度

之前取潰屈破斷發(fā)生在x=4l處，現(xiàn)在破斷位置x∈(0.4l,0.43l)，不妨取破斷位置為x=0.42l，代入式(10)，得

(16)

將上式與式(8)聯(lián)立，得到關于潰屈破壞極限長度l的方程

式中

=-1.18×1013N·m4.

由此可知，邊坡發(fā)生潰屈破壞的位置x∈(0.42l,0.428l)，不妨取潰屈破斷位置為x=0.424l，如此迭代，當x=η時迭代終止。

最終求出潰屈破壞發(fā)生在x=0.423l處，極限長度l*=926.4 m，模態(tài)幅值am=565.7 m.

這意味著，只要該山邊坡巖體脫離底層的長度小于926.4 m，邊坡巖體就將發(fā)生潰屈破壞。過去曾有一種觀點認為：只要順層邊坡坡腳處的巖層不被切斷，就不會發(fā)生破壞，但在中國西南地區(qū)見到了許多順層邊坡坡腳并未被切斷，照樣發(fā)生大型滑坡的例子[13]。其破壞從本質(zhì)上講是強度問題，即由于發(fā)生潰屈破斷處巖層的最大拉應力超過其抗拉強度，導致破斷。雅礱江霸王山邊坡便屬此類。

4　結　論

1)順層邊坡巖體結構的潰屈破壞及剪切滑動的發(fā)生時間相比于前期彎曲變形的發(fā)展時間來說很短，可以將其看做一個突變?？蛇\用尖點突變理論對順層邊坡巖體結構的非穩(wěn)定性態(tài)進行分析；

2)帶傾角的順層邊坡巖體結構，由于邊坡巖體重力的影響，其發(fā)生潰屈破壞時巖層破斷位置并非脫離底層巖層的中點。這種非對稱性對確定邊坡巖體結構的潰屈破壞極限長度有很大影響；

3)對于不同的工程實際邊坡，其非對稱破斷位置是不一樣的，是由邊坡巖體的組成材料、傾角、賦存狀況等因素共同決定的。但是考慮到重力沿邊坡方向分力的影響，非對稱破斷位置會下移，可根據(jù)文中公式采取二分法的思想進行迭代，求出邊坡實際的破斷位置；

4)順層邊坡巖體結構潰屈破壞的模態(tài)幅值與其脫離底層的長度及非對稱破斷位置存在著某種確定的關系。順層邊坡巖體結構發(fā)生潰屈破壞之前彎曲變形的發(fā)展是連續(xù)的。

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The post-buckling bifurcation characteristics for side slope with stratified rock mass

DONG Xiao-jiang，YANG Zhi-lin

(CollegeofSciences，Xi’anUniversityofScienceandTechnology，Xi’an710054，China)

Combining the bending and buckling failure characteristics of the side slope with bedding rock mass，the post-buckling unstable behavior is studied by using geometric nonlinear large deformation theory on the basis of previous research using the initial post-buckling theory and the cusp catastrophe theory.Not only the criteria for buckling failure of rock mass bedding slope is proposed，but the post-buckling mode amplitude for side slope with bedding rock mass is solved.An application example is given at the same time.The results indicate that the geometric nonlinear large deformation theory can be used to solve the limited length of buckling failure to obtain the mode amplitude which represents the minimum mode amplitude of the structural system under the buckling state or the maximum mode amplitude when the structural system spans the bifurcation set and buckling failure occurs；due to the influence of gravity force component along the direction of the slope，the position where the buckling failure occurred will move down.The dichotomy iterative ideological can be used when determining the asymmetric breaking position.

bedding slope；geometric nonlinear large deformation theory；limited length of buckling failure；mode amplitude；dichotomy

10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2016.0312

1672-9315(2016)03-0369-06

2016-01-26責任編輯：高佳>

董曉江(1991-)，男，河南安陽人，碩士，E-mail：939688359@qq.com

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