吳方朋，余躍慶

(北京工業(yè)大學(xué) 機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京　100124)

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平面三自由度欠驅(qū)動機器人末端的位置控制*

吳方朋，余躍慶

(北京工業(yè)大學(xué) 機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京100124)

對平面3R欠驅(qū)動機器人末端的位置控制問題進行了研究,基于分層模糊控制思想，將欠驅(qū)動機器人的末端運動分解為沿x，y軸上的運動，根據(jù)兩個運動變量分別與各個主動關(guān)節(jié)耦合的情況，制定簡單的模糊控制規(guī)則，設(shè)計對應(yīng)的糊控制器，第一個主動關(guān)節(jié)與第二個主動關(guān)節(jié)的控制力矩通過對兩運動變量控制后的模糊控制器的輸出變量進行加權(quán)求和得到。最后利用matlab與adams聯(lián)合仿真以及實驗，精確地實現(xiàn)了平面三自由度欠驅(qū)動機器人在操作空間中末端點到點的任意位置控制。結(jié)果表明，此方法在實現(xiàn)平面三自由度欠驅(qū)動機器人位置控制方面具有良好的效果。

欠驅(qū)動；位置控制；動力學(xué)耦合；模糊控制器；聯(lián)合仿真

0　引言

欠驅(qū)動機器人是指機器人的某個或某些關(guān)節(jié)缺少驅(qū)動裝置，即獨立控制輸入小于系統(tǒng)自由度。由于減少了系統(tǒng)的驅(qū)動數(shù)量，故欠驅(qū)動機器人具有重量輕，成本低，能耗低等優(yōu)點，基于這些優(yōu)點，其多用于太空、海底等對能源、重量有要求的場合，其所呈現(xiàn)出來的諸多優(yōu)點引起了眾多學(xué)者的關(guān)注，使這種機器人成為機器人研究領(lǐng)域的一個新熱點[1-2]。

由于欠驅(qū)動機器人結(jié)構(gòu)特點導(dǎo)致其系統(tǒng)具有二階非完整約束特性，動力學(xué)模型中存在強耦合、高度非線性和參數(shù)不確定性等因素。與全驅(qū)動相比，對欠驅(qū)動系統(tǒng)的控制難度已經(jīng)大大增加了，對全驅(qū)動系統(tǒng)的控制方法已經(jīng)不適用于欠驅(qū)動系統(tǒng)，因此必須設(shè)計新的工具和方法。目前，對于實現(xiàn)欠驅(qū)動機器人特定任務(wù)的控制仍是一個新的課題，并沒有通用的理論。Arai[3-4]運用反饋控制策略實現(xiàn)對平面3R欠驅(qū)動機器人的位置控制。DeLuca[5]分析了串聯(lián)機械臂運動規(guī)劃、軌跡跟蹤的可行性，并用動力學(xué)反饋線性化的方法有效的解決了3R欠驅(qū)動機器人的運動規(guī)劃問題。劉慶波等[6]基于模糊控制理論實現(xiàn)了2R和3R欠驅(qū)動機器人的位置控制，但是在對3R欠驅(qū)動機器人位置控制時，使第一關(guān)節(jié)按照特定的規(guī)律運動到期望位置，只有第二個關(guān)節(jié)單獨耦合被動關(guān)節(jié)進行運動，這不是真正意義上的三自由度欠驅(qū)動機器人的位置控制，而且在進行末端點到點的位置控制時，其是先反解出一組對應(yīng)期望位置的關(guān)節(jié)角，然后再進行控制，這種位置控制也不是真正意義上的末端點到點的位置控制，而且在執(zhí)行操作任務(wù)中還具有很大的局限性。

為實現(xiàn)平面三自由度欠驅(qū)動機器人真正意義上的位置控制，本文對平面3R欠驅(qū)動機器人的位置控制問題進行了研究，建立研究對象的動力學(xué)模型，并對其特點進行分析。以模糊控制理論為基礎(chǔ)，根據(jù)在實驗臺的手動經(jīng)驗總結(jié)模糊控制規(guī)則，設(shè)計模糊控制器，利用兩個主動關(guān)節(jié)通過動力學(xué)耦合作用共同去控制被動關(guān)節(jié)，最后借助ADAMS虛擬樣機和MATLAB的聯(lián)合仿真以及實驗對3R欠驅(qū)動機器人末端點的位置問題進行研究分析。

1　建立動力學(xué)模型

采用拉格朗日方法建立平面3R欠驅(qū)動機器人的動力學(xué)模型，平面3R欠驅(qū)動機器人的模型如圖1所示，第一個關(guān)節(jié)與第二個關(guān)節(jié)裝有驅(qū)動裝置，為主動關(guān)節(jié)；第三個關(guān)節(jié)沒有驅(qū)動裝置，為被動關(guān)節(jié)。規(guī)定欠驅(qū)動機器人在水平面內(nèi)運動，重力的影響可以不計。建立的動力學(xué)方程為：

(1)

M∈R3×3—質(zhì)量慣性矩陣；

θ— 關(guān)節(jié)角度；τ—關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩；

此系統(tǒng)方程可以化成如下形式：

(2)

從式(2)中可以看出，第三個關(guān)節(jié)的輸入力矩為0，即第三關(guān)節(jié)沒有輸入力矩，處于自由狀態(tài)，其加速度約束具有不可積性，即此機器人的運動受到二階非完整約束滿足Brockett條件[7]。

圖1　3R欠驅(qū)動機器人

2　控制方法

模糊控制是一種以模糊集合論、模糊語言變量和模糊邏輯推理為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的控制方法，它可以模擬人的思維，構(gòu)造一種非線性控制，以滿足復(fù)雜的、不確定的過程控制的需要，屬于智能控制的范疇[8]。通過模糊控制算法可以將人們積累的經(jīng)驗描述成控制規(guī)則，不需要依賴于系統(tǒng)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)模型，就可以達到讓系統(tǒng)按照人的思維進行運行的目的。因此，可以基于模糊控制理論去設(shè)計控制器，利用模糊邏輯去表示動力學(xué)耦合作用，以此來完成對平面3R欠驅(qū)動機器人末端點的位置控制。

2.1控制原理

根據(jù)圖1所示，θ1、θ2、θ3為三個關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角；l1、l2、l3為三個連桿的長度；M1、M2、M3為三個連桿的質(zhì)量；d為機器人末端位置與期望位置相距的長度；Δx為機器人末端位置與期望位置相距在x方向上的長度；Δy為機器人末端位置與期望位置相距在y方向上的長度。規(guī)定各個轉(zhuǎn)角的角度、角速度、角加速度逆時針為正，反之為負(fù)。設(shè)計分層模糊控制器對末端點A(x,y)的兩個分量x和y分別進行控制，一層實現(xiàn)對x的控制，一層實現(xiàn)對y的控制，最后通過加權(quán)平均函數(shù)對控制過程中兩個控制量進行加權(quán)求和，使其達到期望位置Ad(xd,yd)，控制原理如圖2所示。

圖2　控制原理圖

具體控制過程如下：將兩個主動關(guān)節(jié)的輸入力矩τ1與τ2分開單獨考慮，只計算τ1時，將桿1和桿2視為一個整體，將x和y作為輸入變量反饋給控制器FLC1和FLC2，再經(jīng)過加權(quán)平均函數(shù)FUN1進行加權(quán)求和得到主動關(guān)節(jié)1的輸入力矩τ1；單獨計算τ2時，將桿1視為靜止?fàn)顟B(tài)，把x和y作為輸入變量反饋給控制器FLC3和FLC4，再經(jīng)過加權(quán)平均函數(shù)FUN2進行加權(quán)求和得到主動關(guān)節(jié)2的輸入力矩τ2；最后通過動力學(xué)耦合作用共同對被動桿進行控制，使其末端點到達期望位置。

2.2模糊控制器的設(shè)計

模糊控制器主要有模糊化接口、知識庫、模糊推理機和去模糊化接口四部分組成，模糊控制的基本結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。

圖3　模糊控制的基本結(jié)構(gòu)

圖3中yt為被控對象的輸出量，yd為期望輸入，e=yd-yt為誤差，虛框內(nèi)的部分即為模糊控制器的部分，它根據(jù)輸入的誤差信號e，經(jīng)過模糊推理后產(chǎn)生合適的控制輸出u應(yīng)用于被控對象。對平面3R欠驅(qū)動機器人末端的位置控制，yt為機器人的末端位置坐標(biāo)(x,y)，yd為期望位置坐標(biāo)(xd,yd)，e=(xd-x,yd-y)為模糊控制器的輸入變量，u=(τ1,τ2)為模糊控制器的輸出變量。在控制的過程中，精確的輸入變量e經(jīng)過模糊化后，各變量就被量化到各自對應(yīng)的模糊論域中。設(shè)定輸入量xd-x與yd-y和輸出量τ1與τ2的模糊論域均為(-3，3)，將模糊論域劃分為“負(fù)大(NB)”、“負(fù)小(NS)”、“零(Z0)”、“正小(PS)”、“正大(PB)”5個模糊子集，即為{NB，NS，Z0，PS，PB}，為使控制結(jié)果具有較高的精度均采用靈敏度較高的三角形隸屬度函數(shù)。

根據(jù)在實驗臺的手動經(jīng)驗總結(jié)出模糊控制規(guī)則：不同的位形參數(shù)下，系統(tǒng)的耦合規(guī)律不同。下面以耦合作用的基本單元二連桿為例將兩桿的位形情況分成16種情況[9]，具體位形如圖4所示。

圖4　連桿的相對位形

其中，當(dāng)兩桿相對位置為(a)、(e)、(i)、(m)、(c)、(g)、(k)、(o)的情況時，記為flag=1，若兩桿相對位置為(b)、(f)、(j)、(n)、(d)、(h)、(l)、(p)時，則記為flag=2。根據(jù)欠驅(qū)動機器人的手動控制經(jīng)驗可以總結(jié)出四個模糊控制器的模糊規(guī)則，模糊規(guī)則的形式采用“If…then…”的形式，具體的模糊規(guī)則可表示成形如“If Δx is NB and Flag is 1 then τ is PB”的10條模糊規(guī)則，如表1和表2所示。

表1　FLC1和FLC3控制規(guī)則表

表2　FLC2和FLC4控制規(guī)則表

由于模糊控制器的輸出量仍為模糊量，因此需要對輸出量進行去模糊化，將其轉(zhuǎn)化為精確量。去模糊化采用精度較高的重心法[10]。

3　建立聯(lián)合仿真系統(tǒng)

把MATLAB與ADAMS這兩款軟件結(jié)合起來進行仿真，利用Adams強大的建模與仿真環(huán)境，與Matlab強大的計算功能，可以實現(xiàn)機電一體化的聯(lián)合仿真。

3.1建立仿真模型

利用SOLIDWORKS三維設(shè)計軟件建立平面3R欠驅(qū)動機械手的三維幾何模型，通過一定的格式轉(zhuǎn)化將模型導(dǎo)入到ADAMS環(huán)境中，在ADAMS環(huán)境中對其添加約束和載荷，首先在基座與地面之間添加固定約束；然后在相鄰兩桿之間添加轉(zhuǎn)動副；最后在靠近基座的兩個轉(zhuǎn)動副上添加力矩，最后一個關(guān)節(jié)上的轉(zhuǎn)動副不添加力矩使其處于自由狀態(tài)；考慮各關(guān)節(jié)摩擦力對運動控制的影響，在關(guān)節(jié)處添加阻尼器，采用粘性摩擦，數(shù)學(xué)模型如式(3)所示。

f=μθ·

(3)

式中，f為摩擦力矩，μ為粘性摩擦因數(shù)，θ·為關(guān)節(jié)角速度。

三維樣機模型如圖5所示。

圖5　平面三自由度欠驅(qū)動機器人三維模型

系統(tǒng)的仿真物理參數(shù)如表3所示。

表3　仿真模型參數(shù)

表3中，mc1、mc2和mc3為分別為各連的質(zhì)量，單位為kg；ma1、ma2和ma3分別為各連桿的集中質(zhì)量，單位為kg；l1、l2和l3分別為各連桿的長度，單位為mm；μ1、μ2和μ3為各關(guān)節(jié)的摩擦系數(shù)。

3.2控制系統(tǒng)建模

確定輸入輸出變量后，ADAMS/Controls模塊將生成三個文件，用于ADAMS和MATLAB之間的數(shù)據(jù)傳遞。根據(jù)控制原理，在Simulink模塊中搭建模糊控制系統(tǒng)，系統(tǒng)圖如圖6所示。

圖6　模糊控制系統(tǒng)框圖

圖6中，四個模糊控制器的輸入變量是由3R欠驅(qū)動機器人的三個關(guān)節(jié)的角度位置以及桿長先經(jīng)過運動學(xué)計算，再經(jīng)過模糊化計算而得到，模糊控制器的輸出量經(jīng)過加權(quán)求和函數(shù)FUN1與FUN2計算后可得到平面3R欠驅(qū)動機器人兩主動關(guān)節(jié)的控制力矩τ1和τ2。

3.3聯(lián)合仿真及結(jié)果分析

機器人的操作任務(wù)為使末端點從初始位置A0(650,0)運動到期望位置Ad(350,300)，由聯(lián)合仿真可得控制結(jié)果的仿真曲線如圖7和圖8所示。

圖7　控制力矩曲線

圖8　末端坐標(biāo)誤差曲線

圖7為主動關(guān)節(jié)控制力矩曲線，從中可以看出，起始時，兩主動關(guān)節(jié)的控制力矩很大，這是因為起始時末端位置與期望位置相距很遠，需要對兩主動關(guān)節(jié)加大力矩使末端快速趨向期望位置，在經(jīng)過一段時間的控制后，兩主動關(guān)節(jié)的控制力矩最終趨近于0，這說明經(jīng)過一段控制時間后，末端位置與期望位置已經(jīng)相距很近，而且兩主動關(guān)節(jié)已經(jīng)趨向于穩(wěn)定狀態(tài)。圖8為末端沿坐標(biāo)軸方向的誤差曲線，經(jīng)過稱控制后的誤差值僅為(0.19，0.17),誤差曲線已經(jīng)趨近于0，這說明經(jīng)過控制后末端已經(jīng)趨近于期望位置，并且已經(jīng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。仿真結(jié)果表明此控制方法精確地實現(xiàn)了機器人的操作任務(wù)。

4　實驗研究

欠驅(qū)動機器人實驗系統(tǒng)如圖9所示，其主要由機械結(jié)構(gòu)部分與電氣控制系統(tǒng)組成。其中，機械結(jié)構(gòu)部分有四個連桿通過轉(zhuǎn)動副進行連接，各個轉(zhuǎn)動副均采用直流伺服電機進行驅(qū)動。而且，在各個關(guān)節(jié)中還裝有增量式編碼器，用于對各關(guān)節(jié)所處位置進行實時監(jiān)測，并反饋到控制處理器中。本實驗只采用后三個連桿的運動，使第一個關(guān)節(jié)處于鎖死狀態(tài)。機器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)和仿真設(shè)定的值相同。

圖9　欠驅(qū)動機器人實驗控制系統(tǒng)組成

在控制器的選型上，采用具有高性能DSP和FPGA技術(shù)的固高科技(深圳)有限公司研制開發(fā)的GT-400-SV系列伺服運動控制器。它的每塊卡可同步控制4個伺服/步進軸，這樣就可以實現(xiàn)多軸協(xié)調(diào)工作。伺服采樣周期可編程，四軸的最小插補周期為200μs，單軸點位運動最小控制周期為25μs。其提供C語言函數(shù)庫(DOS環(huán)境)和動態(tài)鏈接庫(windows環(huán)境)可以幫助實現(xiàn)主機與運動控制器的通訊。

4.1位置控制實驗

此組實驗的操作任務(wù)為，使欠驅(qū)動機器人的末端從初始位置(650,0)運動到期望位置(350,300)。進行此實驗的控制系統(tǒng)框圖如圖10所示，在VC環(huán)境下進行離線編程，利用固高生產(chǎn)的GT400-SV系列運動控制器同步控制兩主動關(guān)節(jié)的直流伺服電機，通過動力學(xué)耦合作用去控制被動關(guān)節(jié)。在控制過程中，通過編碼器把各關(guān)節(jié)的位置信號反饋給實驗臺PC機，使其進行實時的運動學(xué)計算，以便確定出實時的控制電壓。

根據(jù)前面所述的控制方法結(jié)合此實驗控制系統(tǒng)框圖，在VC環(huán)境下編制控制程序，對機器人末端位置運動進行控制?？刂平Y(jié)果曲線如圖11和圖12所示。

圖10　控制系統(tǒng)圖

圖11　主動關(guān)節(jié)的控制電壓

圖12　末端位置誤差

圖11為主動關(guān)節(jié)的控制電壓曲線圖，從起始到2.5s這一階段為對末端點的初步控制，在經(jīng)過這一階段控制后末端點到達了期望位置的附近，在此階段過后對主動關(guān)節(jié)加大電壓以使末端點快速到達期望位置。圖12為末端的位置誤差曲線圖，經(jīng)過控制后末端點的位置穩(wěn)定在了(351.20,301.79),與期望值的相對誤差的最大值為0.6%。這說明采用此控制方法，本實驗很好地完成了操作任務(wù)。

5　結(jié)論

主要針對平面三自由度欠驅(qū)動機器人末端點的位置控制進行了研究，利用兩主動關(guān)節(jié)去耦合被動關(guān)節(jié)，設(shè)計分層模糊控制器以及確定加權(quán)求和函數(shù)，實現(xiàn)對平面3R欠驅(qū)動機器人末端的位置控制。最后利用MATLAB與ADAMS聯(lián)合仿真以及實驗進行驗證，結(jié)果表明，利用此控制方法精確地實現(xiàn)了預(yù)期的操作任務(wù)。相比于前人所做的平面三自由度欠驅(qū)動機器人的位置控制，本文在真正意義上實現(xiàn)了平面三自由度欠驅(qū)動機器人的位置控制。本文實現(xiàn)的末端點到點的控制方法，為多自由度欠驅(qū)動機器人實現(xiàn)更加復(fù)雜的控制任務(wù)提供了一種行之有效的途徑。

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(編輯李秀敏)

PositionControloftheEndpointofThree-DOFPlanarUnderactuatedRobots

WUFang-peng,YUYue-qing

(CollegeofMechanicalEngineering&AppliedElectronicsTechnology,BeijingUniversityofTechnology,Beijing100124,China)

Positioncontroloftheendpointof3Runderactuatedrobotsisinvestigatedinthispaper.Themotionoftheendpointisdecomposedintothemovementalongxandybasedontheideaofhierarchicalfuzzycontrol.Accordingtothepracticeandexperience,makethecontrolrulesoffuzzycontroller,anddesigncorrespondingfuzzycontroller.Thecontrolmomentofthefirstactivejointandthesecondactivejointisgotbytheweightedsumoftheoutputparametersofthehierarchicalfuzzycontroller.Atlast,usingtheco-simulationofMatlabandAdamsandexperimentachievethetippoint-to-point(PTP)positioncontrolofthe3Runderactuatedrobots.Theresultshowsthismethodhavegoodeffectontheaspectofachievingpositioncontrolofthree-DOFplanarunderactuatedrobots.

underactuated;positioncontrol;dynamiccoupling;fuzzycontroller;co-simulation

1001-2265(2016)08-0111-04DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.08.031

2015-09-07；

2015-09-28

國家自然科學(xué)基金資助項目(51175006)；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金資助項目(20111103110002)

吳方朋(1990—)，男，河南濮陽人，北京工業(yè)大學(xué)碩士研究生，研究方向為欠驅(qū)動機器人控制，(E-mail)wufangpeng@emails.bjut.edu.cn；余躍慶(1958—)，男，北京人，北京工業(yè)大學(xué)教授，博士研究生導(dǎo)師，研究方向為機器人學(xué)、機構(gòu)學(xué)，(E-mail)yqyu@bjut.edu.cn。

TH166;TG659

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