SHAO Xianhe，LU Zhicheng，WANG Zhu（Harbin Institute of Technology at Weihai，School of Information and Electrical Engineering，Weihai Shandong 264209，China）

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Temperature Compensation Algorithm Based on Least Squares Curve Fitting in Flow Measurement*

SHAO Xianhe*，LU Zhicheng，WANG Zhu
（Harbin Institute of Technology at Weihai，School of Information and Electrical Engineering，Weihai Shandong 264209，China）

There are serious non-linear errors in flow measurement of ultrasonic heat meter utilizing time difference method.This paper gives detailed calculation and analysis to explain that the errors are caused by the changes of flu?id temperature.To solve this problem，a temperature compensation algorithm based on least squares curve fitting is proposed.Temperature compensation is realized through establishing a non-linear mapping model between flow rate and fluid temperature.However，each meter has different metrological properties.So this paper puts forward an er?ror second-order correction algorithm further.The error of flow rate at current temperature is calculated according to the errors at two adjacent temperature spots and variable weight.The flow measurement global optimization is real?ized by second-order correction.Experimental verification showed that flow measurement error was between±2.0%. So this algorithm has definite value to engineering application.

ultrasonic heat meter；flow measurement；temperature compensation；least squares surface fitting；error correction

時(shí)差法超聲波式熱量表是通過測量超聲波順、逆兩向的時(shí)間差計(jì)算流量，然后代入焓差法或K系數(shù)法公式計(jì)算出熱量［1］。流量計(jì)量的精確度直接決定著熱量計(jì)量的精確度［2］。超聲波式熱量表通常工作在30℃～80℃的環(huán)境下。而超聲波在水中的傳播速度隨溫度呈非線性變化，從而給流量計(jì)量帶來非線性誤差。因此，在用超聲波進(jìn)行流量計(jì)量時(shí)，必須要考慮溫度對(duì)超聲波傳播速度的影響。同時(shí)，溫度變化還會(huì)對(duì)管道內(nèi)流體的流動(dòng)形態(tài)產(chǎn)生影響。目前，超聲波式熱量表多采用查表法進(jìn)行溫度補(bǔ)償。查表法速度快，但是數(shù)據(jù)量大，對(duì)單片機(jī)的存儲(chǔ)容量要求高，而且只能實(shí)現(xiàn)局部最優(yōu)。文獻(xiàn)［3］通過建模仿真和現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)，提出了基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的溫度補(bǔ)償算法，補(bǔ)償效果較好，但是選取的樣本點(diǎn)（溫度和流量）少，而且沒有考慮超聲波式熱量表自身計(jì)量特性的差異，不能進(jìn)行二次修正，因此不適合在實(shí)際生產(chǎn)中推廣應(yīng)用。

針對(duì)上述問題，通過分析溫度對(duì)時(shí)差法流量計(jì)量精確度的影響，提出了基于最小二乘曲面擬合的溫度補(bǔ)償算法和多溫度點(diǎn)誤差二次修正算法，不僅實(shí)現(xiàn)了對(duì)流量計(jì)量的溫度補(bǔ)償，而且可以對(duì)溫度補(bǔ)償后的每塊超聲波式熱量表進(jìn)行誤差二次修正，提高了流量計(jì)量的精確度和穩(wěn)定性，可在工業(yè)生產(chǎn)中推廣應(yīng)用。

1　時(shí)差法超聲波式熱量表流量計(jì)量誤差分析

1.1時(shí)差法流量測量原理

U型聲道時(shí)差法流量測量管道結(jié)構(gòu)如圖1所示［4］。

圖1　U型聲道時(shí)差法流量測量原理示意圖

換能器A和B分別安裝在管道上游和下游，間距為L。A和B交替收發(fā)超聲波信號(hào)實(shí)現(xiàn)時(shí)間差的測量。假設(shè)管道內(nèi)徑為D，流體流速為v0，流體靜止時(shí)超聲波在流體中傳播的波速為c。當(dāng)超聲波順流傳播時(shí)，超聲波從發(fā)射端發(fā)出經(jīng)反射柱兩次反射到達(dá)接收端的時(shí)間為t1。逆流傳播時(shí)，從發(fā)射端到達(dá)接收端的時(shí)間為t2。反射柱為不銹鋼材料，會(huì)改變原有的流速分布。但是，安裝反射柱后的流速分布場是確定的，可以根據(jù)其分布進(jìn)行流速補(bǔ)償。而且通過反射柱可以增加超聲波傳播距離、增大傳播時(shí)間差減小流速測量誤差。

由時(shí)差法原理可知流體體積流量V為：

式中，K為流速修正系數(shù)，可根據(jù)流體的流動(dòng)形態(tài)確定。

1.2溫度對(duì)超聲波傳播速度的影響

由式（1）可知，流體的體積流量與超聲波傳播速度的平方呈線性關(guān)系。而超聲波傳播速度隨溫度呈非線性變化［5］，其變化趨勢如圖2所示。

若僅考慮超聲波傳播速度對(duì)流體體積計(jì)量結(jié)果的影響，則式（1）可簡化為：

假設(shè)在程序中使用超聲波在74℃的流體中的傳播速度（1 555.47 m/s）計(jì)算流體體積，而當(dāng)流體真實(shí)溫度為30℃時(shí)，超聲波在流體中傳播的波速為1 509.44 m/s。則流體體積流量計(jì)量誤差為：

式中，V1為使用超聲波在74℃的流體中的傳播速度計(jì)算得到的流體體積流量，V2為使用超聲波在30℃的流體中的傳播速度計(jì)算得到的流體體積流量。

對(duì)于高精確度的流量測量，這個(gè)誤差是不可忽略的。

圖2　超聲波傳播速度隨溫度變化圖

1.3溫度對(duì)管道內(nèi)流體流動(dòng)形態(tài)的影響

管道內(nèi)流體因粘滯性而具有兩種流動(dòng)形態(tài)：層流和紊流。液體質(zhì)點(diǎn)作有條不紊的運(yùn)動(dòng)，彼此不相摻雜的形態(tài)稱為層流。液體質(zhì)點(diǎn)作不規(guī)則運(yùn)動(dòng)、互相混摻、軌跡曲折混亂的形態(tài)稱為紊流［6］。

圖3為層流與紊流流速分布圖。兩種流動(dòng)形態(tài)下管道軸心線流速與面流速之間的關(guān)系分別為：

層流：K=v/v0=0.5

紊流：K=v/v0=0.75～0.9（為簡化計(jì)算，一般取0.825。由此帶來的誤差可通過溫度補(bǔ)償消除）

圖3　層流與紊流流速分布

流體的流動(dòng)形態(tài)可由雷諾數(shù)Re判別。在工程計(jì)算中，當(dāng)Re≤2 000時(shí)是層流；當(dāng)Re＞2 000時(shí)是紊流。對(duì)于圓形截面管道，雷諾數(shù)Re可由下式計(jì)算：

式中，vˉ為管道內(nèi)流體的平均流速；d為管道內(nèi)徑；υ為流體的運(yùn)動(dòng)粘度。由于流體的運(yùn)動(dòng)粘度與溫度存在非線性關(guān)系。因此，當(dāng)管道內(nèi)流體流速和管徑恒定時(shí)，雷諾數(shù)Re的值隨溫度呈非線性變化［7］。

假設(shè)D=20 mm，vˉ為0.05 m/s，流體溫度為30℃，運(yùn)動(dòng)粘度υ為8.009×10-7m2/s［8］。按式（4）計(jì)算得Re為1 248.60，流體的流動(dòng)形態(tài)為層流。流速修正系數(shù)K取0.5。當(dāng)溫度升高到80℃時(shí)，運(yùn)動(dòng)粘度υ為3.650×10-7m2/s，計(jì)算得Re為2 739.73，流體的流動(dòng)形態(tài)為紊流。流速修正系數(shù)K取0.825。則流體體積流量計(jì)量誤差為：

式中，V1為流體溫度為80℃時(shí)的流體體積流量，V2為流體溫度為30℃時(shí)的流體體積流量。

管道內(nèi)流體的分布規(guī)律極為復(fù)雜。為了計(jì)算方便，通常認(rèn)為超聲波式熱量表在全量程內(nèi)始終工作在一種狀態(tài)，在計(jì)算流量時(shí)流速修正系數(shù)K取固定值。但是，當(dāng)溫度變化時(shí)，管道內(nèi)流體的流動(dòng)形態(tài)可能會(huì)改變，給流體體積計(jì)量帶來較大誤差。

由上述分析可知，溫度對(duì)超聲波流量計(jì)量的精確度有著不可忽視的影響。在高精確度的流量計(jì)量中，必須要進(jìn)行溫度補(bǔ)償。

2　最小二乘曲面擬合原理

2.1曲面模型的選擇

對(duì)同一組采樣數(shù)據(jù)，不同的曲面模型擬合效果存在較大差異。我們可以通過以下參數(shù)來評(píng)價(jià)各曲面的擬合效果，從而選擇最佳擬合曲面模型。

SSE（誤差平方和）：曲面預(yù)測值和采樣值的誤差平方和。

RMSE（均方根誤差）：曲面預(yù)測值和采樣值的誤差均方根。

R-square（確定系數(shù)）：曲面預(yù)測值和采樣數(shù)據(jù)均值之差的平方和與采樣值和采樣數(shù)據(jù)均值之差的平方和的比值。

當(dāng)SSE和RMSE越小，R-square越接近1時(shí)，曲面模型的擬合效果越好［9］。

2.2曲面方程的求解

通過比較多項(xiàng)式逼近和指數(shù)逼近的擬合效果，最終選擇二元二次多項(xiàng)式作為擬合曲面模型，其規(guī)范化表達(dá)式為：

式中，x，y，z是采集的數(shù)據(jù)，c20，c11，c02，c10，c01，c00是待定系數(shù)。

該曲面模型的誤差平方和為：

式中，（xi，yi，zi），i=1，2，…，n是采樣數(shù)據(jù)。

求解二元二次多項(xiàng)式待定系數(shù)的原則是使曲面模型的誤差平方和達(dá)到最?。?0］。由微積分知識(shí)可知，該問題即求解六元函數(shù)Q（c20，c11，c02，c10，c01，c00）的極值，聯(lián)立方程：

可解得待定系數(shù)［11］。

3　流量檢定實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)分析

3.1實(shí)驗(yàn)與測試平臺(tái)

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為三宇熱能表檢定裝置，可用于檢定超聲波熱量表流量計(jì)量的精確度。檢測臺(tái)的流量計(jì)量精確度為0.000 1 m3/h，溫度測量精確度為0.1℃。實(shí)驗(yàn)中選用5塊DN20的超聲波式熱量表，量程為0～5.0 m3/h。

3.2實(shí)驗(yàn)方案

3.2.1數(shù)據(jù)采集

本實(shí)驗(yàn)通過建立溫度和流量之間的非線性映射模型實(shí)現(xiàn)流量計(jì)量的溫度補(bǔ)償，因此需要采集檢測臺(tái)和未經(jīng)溫度補(bǔ)償?shù)某暡ㄊ綗崃勘碓诓煌瑴囟?、流量下測得的瞬時(shí)流量值，為曲面模型建模提供樣本數(shù)據(jù)，同時(shí)也驗(yàn)證溫度對(duì)超聲波式熱量表流量計(jì)量精確度的影響。實(shí)驗(yàn)中采樣的溫度點(diǎn)有（單位：℃）：30、35、40、45、50、55、60、65、70、75，流量點(diǎn)（單位：m3/h）有：0.05、0.1、0.25、0.3、0.4、0.5、0.6、0.75、0.8、0.9、1.0、1.1、1.2、1.3、1.4、1.6、1.8、2.0、2.2、2.4、2.6、2.8、3.0、3.5、4.0、4.5。

在采集數(shù)據(jù)時(shí)，要等到瞬時(shí)流量穩(wěn)定之后再開始記錄。對(duì)每塊超聲波熱量表在不同溫度、流量下測得的瞬時(shí)流量值至少采集4次，然后取平均值作為該溫度、流量下的測量值。檢測臺(tái)測得的瞬時(shí)流量值作為目標(biāo)值。

從圖4可以看出，流量計(jì)量的精確度受溫度的影響。在同一流量點(diǎn)下，流量計(jì)量誤差隨著溫度的升高而減小。流量計(jì)量的精確度還與瞬時(shí)流量有關(guān)。相同溫度下，瞬時(shí)流量越小，誤差越大。當(dāng)瞬時(shí)流量小于0.5 m3/h時(shí)，誤差隨著瞬時(shí)流量的增大迅速減小。當(dāng)瞬時(shí)流量大于0.5 m3/h時(shí)，誤差變化平緩，趨于穩(wěn)定。因此采取按瞬時(shí)流量分段曲面擬合的方法改善擬合效果。

圖4　流量計(jì)量誤差隨溫度、流量變化曲線圖

3.2.2分段建模

根據(jù)最小二乘曲面擬合原理，分別求解各擬合曲面模型。通過比較各擬合曲面模型的評(píng)價(jià)參數(shù)，選擇擬合效果最好的二元二次多項(xiàng)式曲面模型。其表達(dá)式為：

式中，Vpre為預(yù)測瞬時(shí)流量值，Vtest為超聲波式熱量表實(shí)測的瞬時(shí)流量均值，T為流體溫度。

以0.1 m3/h、0.6 m3/h、1.2 m3/h為界分段擬合。解得不同瞬時(shí)流量區(qū)間的擬合曲面模型的待定系數(shù)和評(píng)價(jià)參數(shù)如表1和表2所示。

表1　擬合曲面模型待定系數(shù)

表2　擬合曲面模型評(píng)價(jià)指標(biāo)

（3）仿真驗(yàn)證

建模完成之后，把之前采集的樣本數(shù)據(jù)代入對(duì)應(yīng)的擬合曲面模型。在不同溫度、流量下預(yù)測值與目標(biāo)值的誤差如圖5所示。

圖5　不同溫度、流量下預(yù)測值和目標(biāo)值的誤差曲線

從圖5可以看出，基于最小二乘曲面擬合的溫度補(bǔ)償算法補(bǔ)償效果顯著。不同溫度、流量下預(yù)測值和目標(biāo)值的誤差在-2%到1%之間波動(dòng)，達(dá)到超聲波式熱量表二級(jí)表的流量計(jì)量誤差要求。當(dāng)瞬時(shí)流量小于1.2 m3/h時(shí)，誤差波動(dòng)較大。當(dāng)瞬時(shí)流量大于1.2 m3/h時(shí)，誤差趨于穩(wěn)定。

圖6　最小二乘曲面擬合算法溫度補(bǔ)償后流量計(jì)量誤曲線

4　實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及數(shù)據(jù)分析

4.1算法移植

為了實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)溫度補(bǔ)償，將擬合曲面模型移植到超聲波式熱量表程序中。當(dāng)超聲波式熱量表測得未經(jīng)溫度補(bǔ)償?shù)乃矔r(shí)流量和流體溫度時(shí)，先根據(jù)實(shí)測瞬時(shí)流量所在區(qū)間選擇對(duì)應(yīng)的曲面模型，然后把實(shí)測瞬時(shí)流量和流體溫度代入曲面方程計(jì)算得到預(yù)測流量，實(shí)現(xiàn)流量計(jì)量實(shí)時(shí)溫度補(bǔ)償［12］。

4.2實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及數(shù)據(jù)分析

利用檢測臺(tái)對(duì)分別使用最小二乘曲面擬合算法和經(jīng)過二次修正后的查表法進(jìn)行溫度補(bǔ)償?shù)某暡ㄊ綗崃勘磉M(jìn)行流量檢定實(shí)驗(yàn)。根據(jù)JJG225檢定規(guī)程和行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，流量檢定點(diǎn)（單位：m3/h）選擇：0.05、0.25、0.75、2.5。使用兩種不同溫度補(bǔ)償方法的超聲波式熱量表在不同溫度的流量計(jì)量誤差如圖5、圖6所示。

圖7　查表法溫度補(bǔ)償后流量計(jì)量誤差曲線

表4　查表法與最小二乘曲面擬合算法流量計(jì)量誤差比較

由圖6、圖7及表4可知：在小流量點(diǎn)時(shí)，使用查表法溫度補(bǔ)償?shù)某暡ㄊ綗崃勘砹髁坑?jì)量誤差在±3%以內(nèi)，誤差絕對(duì)值均值為2.15%，誤差方差為4.80，流量測量值波動(dòng)大，補(bǔ)償效果不穩(wěn)定。使用最小二乘曲面擬合算法溫度補(bǔ)償?shù)某暡ㄊ綗崃勘砹髁坑?jì)量誤差在±2.0%以內(nèi)，誤差絕對(duì)值均值為0.72%，誤差方差為0.16。相比查表法，最小二乘曲面擬合算法整體誤差更小，補(bǔ)償效果更穩(wěn)定。在大流量點(diǎn)時(shí)，兩種方法效果相當(dāng)。從表3可以看出使用最小二乘曲面擬合算法溫度補(bǔ)償后的超聲波式熱量表在大流量點(diǎn)可達(dá)到1級(jí)表水平，在小流量點(diǎn)可達(dá)到2級(jí)表水平。

4.3多溫度點(diǎn)誤差二次修正算法

由于硬件原因，不同超聲波式熱量表在計(jì)量特性方面存在差異。在數(shù)據(jù)采集和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證過程中，我們發(fā)現(xiàn)個(gè)別熱量表在小流量點(diǎn)的流量計(jì)量誤差與其他熱量表相比整體偏大。在使用最小二乘曲面擬合算法溫度補(bǔ)償后，該表在小流量點(diǎn)的流量計(jì)量誤差仍然偏大，甚至超出±3%。因此，有必要對(duì)其進(jìn)行二次修正。

當(dāng)溫度變化較大時(shí)，熱量表在小流量點(diǎn)的流量計(jì)量誤差變化較大，比如在低溫下流量計(jì)量誤差為正，在高溫下可能為負(fù)。如果只根據(jù)單個(gè)溫度點(diǎn)的流量計(jì)量誤差對(duì)整體進(jìn)行誤差修正，可能會(huì)導(dǎo)致其他溫度點(diǎn)的流量計(jì)量誤差變大，即只能實(shí)現(xiàn)局部最優(yōu)。因此考慮采取多溫度點(diǎn)誤差二次修正的方法實(shí)現(xiàn)流量計(jì)量的全局優(yōu)化。

當(dāng)溫度變化較小時(shí)，熱量表的流量計(jì)量誤差變化幾乎可以忽略不計(jì)。所以在一定溫度范圍內(nèi)可以按照相同流量計(jì)量誤差進(jìn)行二次修正。本實(shí)驗(yàn)中，選取4個(gè)溫度點(diǎn)，在相鄰兩個(gè)溫度點(diǎn)之間每3℃按照同一個(gè)流量計(jì)量誤差進(jìn)行修正。假設(shè)通過檢測臺(tái)分別測得熱量表在33℃和48℃的流量計(jì)量誤差α和β。在35℃和49℃之間以3℃為步長劃分為5小段。本實(shí)驗(yàn)中各溫度區(qū)間的誤差權(quán)值取值如下：（1，0），（0.8，0.2），（0.6，0.4），（0.4，0.6），（0.2，0.8），（0，1）。小于35℃按誤差α修正；在35℃～38℃之間，按0.8α+0.2β修正；在35℃～38℃之間，按0.6α+ 0.4β修正；依此類推，在46℃～49℃之間，按誤差β修正。誤差權(quán)值根據(jù)當(dāng)前溫度越接近哪個(gè)溫度點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的誤差權(quán)值越大的原則來確定。此外，還選擇63℃和77℃作為修正點(diǎn)，確保實(shí)現(xiàn)全局修正。在其他相鄰溫度點(diǎn)之間也是根據(jù)相鄰兩個(gè)溫度點(diǎn)的流量計(jì)量誤差和誤差權(quán)值合成修正值。

多溫度點(diǎn)誤差二次修正前后對(duì)比如圖8所示。

圖8　0.05 m3/h下多溫度點(diǎn)誤差二次修正前后流量計(jì)量誤差對(duì)比

查表法是對(duì)時(shí)差法流量計(jì)算公式中的各項(xiàng)參數(shù)補(bǔ)償，包括對(duì)超聲波波速的補(bǔ)償，對(duì)流速修正系數(shù)的補(bǔ)償?shù)取６钚《饲鏀M合算法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法都是通過建模直接對(duì)不同溫度（30℃～80℃）、瞬時(shí)流量（0～5.0 m3/h）下的流量計(jì)量結(jié)果補(bǔ)償。顯然，后者采樣數(shù)據(jù)更大。查表法速度更快，但是精度偏低。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法建模復(fù)雜，而且由于模型的特殊性，很難對(duì)誤差進(jìn)行二次修正。最小二乘曲面擬合算法簡單易行，而且可以對(duì)誤差進(jìn)行二次修正，符合生產(chǎn)實(shí)際和需求。

5　結(jié)論

通過理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得出，溫度對(duì)超聲波式熱量表中流量計(jì)量的精確度有著不可忽視的影響。在高精確度的測量中，必須要進(jìn)行溫度補(bǔ)償。提出了基于最小二乘曲面擬合的溫度補(bǔ)償算法，并通過實(shí)驗(yàn)證明最小二乘曲面擬合算法可以實(shí)現(xiàn)超聲波式熱量表中流量計(jì)量的溫度補(bǔ)償。在小流量點(diǎn)補(bǔ)償效果比二次修正后的查表法更穩(wěn)定、更好。在實(shí)現(xiàn)溫度補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)上，針對(duì)超聲波式熱量表自身計(jì)量特性的差異提出了多溫度點(diǎn)誤差二次修正算法，提高了算法的通用性，適合在工業(yè)生產(chǎn)中推廣應(yīng)用。

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［12］張艷鋒，嚴(yán)家明.基于最小二乘法的壓力傳感器溫度補(bǔ)償算法［J］.計(jì)算機(jī)測量與控制，2008，15（12）：1870-1871.

邵仙鶴（1971-）女，通信作者，哈工大（威海）副教授，主要研究方向傳感器及檢測技術(shù)、模式識(shí)別等，shaoxianhe@ali?yun.com；

魯志成（1991-），男，山東臨沂人，哈工大（威海）信電學(xué)院研究生。研究方向?yàn)閭鞲衅骷皺z測技術(shù)，18766312596@ 139.com。

EEACC：7320W；782010.3969/j.issn.1004-1699.2016.06.018

基于最小二乘曲面擬合的流量計(jì)量溫度補(bǔ)償算法*

邵仙鶴*，魯志成，王翥
（哈爾濱工業(yè)大學(xué)（威海）信息與電氣工程學(xué)院，山東威海264209）

針對(duì)時(shí)差法超聲波式熱量表流量計(jì)量結(jié)果受流體溫度影響而存在的非線性誤差問題，提出了基于最小二乘曲面擬合的溫度補(bǔ)償算法，通過建立溫度和流量之間的非線性映射模型實(shí)現(xiàn)溫度補(bǔ)償。在實(shí)現(xiàn)溫度補(bǔ)償后，針對(duì)超聲波式熱量表自身計(jì)量特性的差異，進(jìn)一步提出多溫度點(diǎn)誤差二次修正算法，根據(jù)相鄰溫度點(diǎn)的流量計(jì)量誤差和可變權(quán)值計(jì)算當(dāng)前的流量計(jì)量誤差，對(duì)誤差進(jìn)行二次修正，實(shí)現(xiàn)流量計(jì)量的全局優(yōu)化。實(shí)驗(yàn)表明，流量計(jì)量誤差在±2.0%以內(nèi)，具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。

超聲波式熱量表；流量計(jì)量；溫度補(bǔ)償；最小二乘曲面擬合；誤差修正

TB937；TB941

A

1004-1699（2016）06-0897-06

2015-10-07修改日期：2016-02-11

項(xiàng)目來源：山東省科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（2012GGX10110）；山東省科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（2013GGX10129）；山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（ZR2014FM026）