基于J-A動態(tài)磁滯模型的電流互感器諧波變換建模及實驗驗證

陳利翔 吳丹岳 邵振國

（福州大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，福州 350116）

基于J-A動態(tài)磁滯模型的電流互感器諧波變換建模及實驗驗證

陳利翔 吳丹岳 邵振國

（福州大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，福州 350116）

由于鐵心磁滯回線建模復(fù)雜電磁式電流互感器（CT）建模依然繁瑣困難，為此在 J-A靜態(tài)磁滯模型的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出電流互感器靜態(tài)遞推模型。所建立模型可以簡便準(zhǔn)確的擬合電流互感器靜態(tài)傳變特性，在電流互感器仿真方面具有應(yīng)用價值。在諧波工況條件下，電流互感器鐵心受到外加激勵源頻率變化的影響，鐵心磁滯回線面積將會發(fā)生改變，為更準(zhǔn)確的擬合電流互感器在諧波工況下的傳變特性，利用 J-A動態(tài)磁滯模型建立起電流互感器諧波變換模型，并通過實驗進(jìn)行驗證。

J-A磁滯模型；電流互感器靜態(tài)建模；電流互感器動態(tài)建模；矩形數(shù)值積分方法

電流互感器是電力系統(tǒng)中重要的電氣設(shè)備，電磁式電流互感器在電力系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用，為計量、測量、保護(hù)設(shè)備傳變一次電流。J-A磁滯模型在磁滯回線建模方面應(yīng)用廣泛［1］，由于其模型參數(shù)少、模型變量物理意義清晰受到了廣泛的應(yīng)用，但該模型變量相互耦合、方程式相對復(fù)雜，影響了該模型的一般性應(yīng)用。在J-A靜態(tài)磁滯模型的基礎(chǔ)上建立起電流互感器模型得到不錯的效果［2-4］，但基于磁滯回線動態(tài)模型的電流互感器研究較少。隨著充電樁、小型光伏電站在中低壓配電網(wǎng)中越來越廣泛的接入，流過中低壓電流互感器的一次電流包含諧波分量增大，需要考慮在諧波工況下電流互感器的動態(tài)傳變特性。在磁滯回線頻率特性建模方面有從物質(zhì)相變原理出發(fā)的Ising物理模型［5］，有基于磁粘度方法的改進(jìn) J-A靜態(tài)模型［6］，有純粹從數(shù)學(xué)模型出發(fā)考慮的磁滯模型［7］，以及結(jié)合純粹數(shù)學(xué)模型和 J-A靜態(tài)模型［8］。J-A動態(tài)磁滯回線模型考慮了外加電源頻率變化引起電流互感器鐵心渦流損耗與異常損耗的動態(tài)磁滯模型［9］，該模型保留了靜態(tài)模型物理意義清晰的優(yōu)點，但在時域上考慮了頻域因此求解復(fù)雜，本文采用矩形數(shù)值積分方法對模型求解進(jìn)行化簡，推導(dǎo)得到電流互感器諧波變換動態(tài)模型，并分析動態(tài)模型的諧波傳變特性。

1　基于J-A靜態(tài)磁滯模型的CT遞推模型

1.1J-A靜態(tài)磁滯模型

J-A靜態(tài)磁滯回線模型將磁化強(qiáng)度M分為磁疇可逆分量Mirr和不可逆分量Mrev構(gòu)成的半宏觀物理模型：

通過郎之萬函數(shù)擬合非磁滯磁化曲線，即

式中，He為計及耦合系數(shù)后的等效維斯平均場，即

不可逆分量與非磁滯磁化強(qiáng)度與可逆分量相互耦合，即

不可逆分量的磁化率表示為

式中，MS為飽和磁化強(qiáng)度；a為磁滯回線形狀系數(shù)；c為磁疇壁彎曲系數(shù)；α 為磁化強(qiáng)度對磁場的耦合系數(shù)；k為磁疇釘扎效應(yīng)系數(shù)［10］。

當(dāng)（Man-M） δ≥0時，式（1）至式（5）構(gòu)成J-A靜態(tài)磁滯模型可以推導(dǎo)出磁滯回線磁化率，即

當(dāng)（Man-M） δ＜0時，局部磁滯回線的磁化率按文獻(xiàn)［2］的方法進(jìn)行修正：

式中，δ 為外加磁場磁化方向，當(dāng) dH/dt≥0時，δ =+1；dH/dt＜0時，δ =-1。

在實際的磁化過程中對損耗系數(shù)k進(jìn)行修正，即系數(shù)υ 根據(jù)不同的材料而確定，一般情況可選取0.96。

1.2基于J-A靜態(tài)磁滯模型的CT遞推模型

流經(jīng)電流互感器一次側(cè)的電流可視為不受二次負(fù)載影響的理想電流源，將二次側(cè)負(fù)載折算到一次側(cè)后電流互感器等值電路如圖1所示。

圖1　CT等值電路圖

在線圈N1中流入一次電流i1時，此時電流在鐵心內(nèi)產(chǎn)生磁場，根據(jù)安培環(huán)路定律有

式中，N1為一次線圈的匝數(shù)；N2為二次線圈的匝數(shù)；L為鐵心有效的導(dǎo)磁長度。

在電流互感器的二次側(cè)根據(jù)電磁感應(yīng)定律有

式中，R2為二次側(cè)總電阻；L2為二次側(cè)總電感；A為鐵心導(dǎo)磁橫截面面積。

磁感應(yīng)強(qiáng)度B與磁化強(qiáng)度H、M之間的關(guān)系，即

i1（t）為已知量，計算步長為Δt，假設(shè)某時刻為t0，前一個時刻i1（t0-Δt）、i2（t0-Δt）、而本時刻i1（t0）已知，建立數(shù)值模型難點在于怎樣利用J-A磁滯模型求解i2（t0）。J-A磁滯模型具有方程多、變量多并耦合復(fù)雜的特點，給電流互感的數(shù)值建模帶來了困難。在J-A模型的處理上，較多是對式（6）采用四階龍格庫塔法求解M（t0），但利用矩形積分?jǐn)?shù)值方法在保證精度的前提下可以化繁為簡，等式右邊都是t0-Δt時刻的已知量并記為一個變量，即

由式（9）至式（11）利用梯形貝瑞隆數(shù)值積分

方法與（12）一起可以推導(dǎo)出（13）得到i2（t0）：

對于電流互感器初始值的處理，根據(jù)初始時刻鐵心磁鏈?zhǔn)睾阍硗茖?dǎo)二次電流初始值：

式中，Mr剩磁；Lm為勵磁電感。

1.3電流互感器靜態(tài)模型實驗驗證

圖2為CT實驗原理圖，采用型號為BH-30圓形鐵心的低壓電流互感器，鐵心材料為硅鋼片，內(nèi)徑 38mm、外徑 53mm、寬度 23mm、疊片厚度0.23mm；一次繞組5匝1mm2的漆包線QZ-2/130、二次繞組50匝0.44mm2的漆包線QZ-2/130、鐵心二次繞組的電阻值0.05Ω、電感值9mH。鐵心導(dǎo)磁截面積1.725×10-4m2，導(dǎo)磁長度為0.143m；為了鐵心更容易飽和磁滯效果更明顯，二次負(fù)載電阻R2為10Ω。利用示波器電流探頭采集一次電流、電壓探頭采集電阻上電壓再轉(zhuǎn)化為二次電流，采用Fluke6100A作為標(biāo)準(zhǔn)電流源。

圖2　CT實驗原理圖

J-A模型參數(shù)辨識是應(yīng)用J-A模型的基礎(chǔ)，J-A模型參數(shù)辨識有較多的方法［11-12］。本文通過粒子群方法［13］辨識J-A模型參數(shù)，并利用各個參數(shù)對磁滯回線的影響［14］進(jìn)行微調(diào)得到實驗鐵心 J-A 模型參數(shù)，辨識后的模型參數(shù)：MS=1363759.31、a=9.86、c=0.247、α =4.05×10-5、k=72.66。如果參數(shù)辨識后如圖3所示放大部分?jǐn)M合效果較差，就可對式（5）中系數(shù)υ 進(jìn)行修正，本文修正值為0.85。在圖3中用黑線為通過參數(shù)辨識計算得到的磁滯回線，灰線為實驗測量得到的磁滯回線。

一次電流幅值為10A、50Hz、二次負(fù)載10Ω時，實際與仿真得到的二次電流波形如圖4所示。

圖3　磁滯回線實測與仿真對比

圖4　CT飽和時的二次電流波形

圖中黑線的為模型仿真得到的二次電流波形，灰線數(shù)字示波器測量得到的二次電流波形。通過對比可以看出基于J-A動態(tài)磁滯模型的 CT遞推模型的仿真結(jié)果與實際測量結(jié)果擬合較好。

2　基于J-A動態(tài)磁滯模型的CT模型

2.1J-A動態(tài)磁滯模型

D. C. Jiles從能量守恒的角度原理出發(fā)認(rèn)為CT鐵心中非磁滯磁化損耗可由磁滯磁化損耗、渦流損耗、異常損耗構(gòu)成：

對He求導(dǎo)后如下所示：

在單步仿真步長Δt下利用左矩形數(shù)值積分：

磁化率方程如式（18）所示：

當(dāng)（Man- M）＜δ 時磁化率方程仍然用式（7）修正。其中，d為硅鋼片的厚度；ρ 為硅鋼片的電阻率；β為硅鋼片的形狀系數(shù)；G為無量綱的常數(shù)0.1356；ω為硅鋼片的寬度；H0為內(nèi)電勢；μ0為真空磁導(dǎo)率［15］。

2.2基于J-A動態(tài)磁滯模型的CT模型

由于式（15）引入了渦流和異常損耗的兩個變化量，這是無法利用四階龍格庫塔法直接計算的方程。將 dM/dt在數(shù)值計算過程中用前一仿真步長ΔM/Δt代替，在初始時刻 dM/dH（0）磁化率按靜態(tài)式（6）計算，dM/dH（n）（n≥1）用式（17）、式（18）左矩形數(shù)值積分方法計算，算法的流程如圖5所示。

圖5　基于J-A動態(tài)磁滯模型的CT算法流程圖

3　基于J-A動態(tài)磁滯模型CT諧波變換建模

3.1Matlab/Simulink環(huán)境下的CT諧波變換建模

根據(jù)算法流程利用Matlab/Simulink具有較好的操作界面，通過Matlab function自定義模型搭建如圖6所示仿真模型。

圖6　基于J-A動態(tài)磁滯模型的CT仿真模型

仿真步長設(shè)置為 5×10-6s，采用離散值系統(tǒng)。在J-A動態(tài)磁化回線模塊中J-A參數(shù)為MS、a、c、α、k；CT參數(shù)為N1、N2、L、A、R2、L2；動態(tài)參數(shù)為 d、β、ω。采用可控制電流源模塊模擬實際的系統(tǒng)諧波電流源，可控電流源的波形可以直接在Matlab function編寫。通過在Matlab/Simulink中搭建起基于J-A動態(tài)磁滯模型CT諧波變換模型，可以簡單直觀地分析電流互感器的諧波傳變特性。

3.2CT諧波變換仿真及實驗驗證

圖7　鐵心在不同頻率飽和時磁滯回線

利用Fluke6100A為標(biāo)準(zhǔn)源，對圖2中的低壓電流互感器輸入一次電流：2～25次諧波含有率為9%，二次負(fù)載電阻10Ω，電流互感器傳變特性如圖8所示，可以看出通過仿真與實際測量可以看出在含諧波條件下仿真模型與實際模型可以較好的擬合。

圖8　諧波工況下仿真與實測波形對比

此時的磁滯回線運(yùn)行如圖9所示，可以直觀地觀測到電流互感器鐵心受諧波的影響時磁滯回線不對稱局部嚴(yán)重飽和。

圖9　諧波工況下鐵心磁滯回線仿真圖

4　結(jié)論

根據(jù)J-A靜態(tài)磁滯模型建立起電磁式電流互感器靜態(tài)數(shù)值模型，針對J-A磁滯模型復(fù)雜的特點，應(yīng)用矩形數(shù)值積分方法建立基于J-A靜態(tài)磁滯模型電流互感遞推數(shù)值模型，并給出初始值計算公式，并與實驗結(jié)果對比驗證數(shù)值遞推模型方法的準(zhǔn)確性。在J-A動態(tài)磁滯模型的基礎(chǔ)上建立起電磁式電流互感器模型，并在Matlab/Simulink建立仿真模型，通過在含諧波的條件下驗證模型的準(zhǔn)確性。

［1］ 李貞， 李慶民， 李長云， 等. J-A磁化建模理論的質(zhì)疑與修正方法研究［J］. 中國電機(jī)工程學(xué)報， 2011（3）：124-131.

［2］ Annakkage U D， Mclaren P G， Dirks E， et al. A current transformer model based on the Jiles-Atherton theory of ferromagnetic hysteresis［J］. IEEE Transactions on Power Delivery， 2000， 15（1）： 57-61.

［3］ 熊蘭， 周健瑤， 宋道軍， 等. 基于改進(jìn) J-A磁滯模型的電流互感器建模及實驗分析［J］. 高電壓技術(shù)，2014， 40（2）： 482-488.

［4］ Liu S T， Huang S R， Chen H W. Using TACS functions within EMTP to set up current-transformer model based on the Jiles-Atherton theory of ferromagnetic hysteresis［J］. IEEE Transactions on Power Delivery，2007， 22（4）： 2222-2227.

［5］ Erta? M， Keskin M. Dynamic hysteresis features in a two-dimensional mixed Ising system［J］. Physics Letters a， 2015， 379（26/27）： 1576-1583.

［6］ Baghel A P S， Gupta A， Chwastek K， et al. Comprehensive modelling of dynamic hysteresis loops in the rolling and transverse directions for transformer laminations［J］. Physica B： Condensed Matter. 2015，462： 86-92.

［7］ Chua L O， Bass S C. A generalized hysteresis model［J］. IEEE Transactions on circuits theory， 1972， 1（19）：36-48.

［8］ Malczyk R， Izydorczyk J. The frequency-dependent Jiles-Atherton hysteresis model［J］. Physica. B， Condensed Matter， 2015， 463： 68-75.

［9］ Jiles D C. Modelling the effects of eddy current losses on frequency dependent hysteresis in electrically conducting media［J］. IEEE Transactions on Magnetics，1994， 30（6）： 4326-4328.

［10］ Jiles D C， Thoelke J B， Devine M K. Numerical determination of hysteresis parameters for the modeling of magnetic-properties using the theory of ferromagnetic hysteresis［J］. IEEE Transactions on Magnetics， 1992， 28（1）： 27-35.

［11］ Etien E， Halbert D， Poinot T. Improved Jiles-Atherton model for least square identification using sensitivity function normalization［J］. IEEE Transactions on Magnetics， 2008， 44（7）： 1721-1727.

［12］ Cepisca C， Andrei H， Dogaru-Ulieru V. Evaluation of the parameters of a magnetic hysteresis model［J］. Journal of Materials Processing Technology， 2007，181（1/3）： 172-176.

［13］ 郝曉亮， 葉美盈. 基于粒子群優(yōu)化算法的 Jiles-Atherton磁滯模型參數(shù)計算［J］. 浙江師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2015（2）： 133-141.

［14］ 李曉萍， 彭青順， 李金保， 等. 變壓器鐵心磁滯模型參數(shù)辨識［J］. 電網(wǎng)技術(shù)， 2012（2）： 200-205.

［15］ Chandrasena W， Mclaren PG， Annakkage UD， et al. Simulation of eddy current effects in transformers［C］// IEEE CCEC 2002： CANADIAN CONFERENCE ON ELECTRCIAL AND COMPUTER ENGINEERING，VOLS 1-3， CONFERENCE PROCEEDINGS， 2002：122-126.

Modeling and Experimental Verification of Current Transformer Harmonic Transform based on J-A Dynamic Hysteresis Model

Chen Lixiang Wu Danyue Shao Zhenguo
（College of Electrical Engineering and Automation， Fuzhou University， Fuzhou 350116）

As the complex of the modeling of iron core hysteresis loop， the electromagnetic current transformer （CT） modeling is still complex， so based on static J-A model building the CT static recursion model. The model can be used to fit the transfer characteristics of CT easily and accurately，and it has the value of application in CT simulation. Under the harmonic condition， the core hysteresis loop area will be changed with the external excitation source frequency， in order to fit the transfer characteristics of CT in the harmonic condition， the CT simulation model is builted on J-A dynamic hysteresis model and experimental verification.

J-A hysteresis model； CT static modeling； CT dynamic modeling； rectangular numerical integration method

陳利翔（1989-），男，福州大學(xué)在讀碩士研究生，主要研究方向為電力系統(tǒng)諧波分析。