基于方差分解的一類非線性串級控制系統(tǒng)性能評估

王雅斌,　孫京誥

(華東理工大學信息科學與工程學院,化工過程先進控制和優(yōu)化技術教育部重點實驗室,上海 200237)

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基于方差分解的一類非線性串級控制系統(tǒng)性能評估

王雅斌,孫京誥

(華東理工大學信息科學與工程學院,化工過程先進控制和優(yōu)化技術教育部重點實驗室,上海 200237)

最小方差下限代表在輸出方差方面控制系統(tǒng)所能達到的最優(yōu)性能。對于一類存在過程非線性的串級控制系統(tǒng),傳統(tǒng)的線性系統(tǒng)評估方法會造成最小方差下限估計值過大。首先證明一類表示為面向塊模型的非線性串級控制系統(tǒng)最小方差下限的存在,其僅與若干主、副回路擾動項有關;然后通過系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)建立多項式模型近似描述非線性串級控制系統(tǒng),利用方差分解公式,采用蒙特卡羅方法進行統(tǒng)計模擬實驗,估計這些擾動項對輸出總方差的貢獻量,進而確定最小方差下限估計值;最后通過與線性評估方法的比較,表明了該方法估計此類串級控制系統(tǒng)性能的有效性和正確性。

性能評估; 非線性; 面向塊模型; 串級控制; 方差分解

控制系統(tǒng)性能評估用來判斷當前控制系統(tǒng)的性能是否良好,及時發(fā)現(xiàn)工作狀態(tài)不良的控制系統(tǒng),保證生產(chǎn)的正常并預防安全隱患[1]。Harris[2]首先證明了線性單回路控制系統(tǒng)輸出最小方差的存在,由于這部分輸出量與控制器的作用無關,稱之為反饋不變量。此后,眾多學者研究了多變量系統(tǒng)、時變擾動系統(tǒng)、先進控制系統(tǒng)以及改進的性能評估策略[3],但大多是針對線性單回路控制系統(tǒng)。

串級控制系統(tǒng)能夠提高系統(tǒng)的動態(tài)響應性能,有效地克服回路擾動,得到了廣泛的應用。關于串級控制系統(tǒng)性能評估的研究較少,文獻[4]則研究了基于最小方差準串級控制系統(tǒng)的性能評估; 文獻[5]研究了基于最小方差準則的串級系統(tǒng)故障診斷; 文獻[6]將廣義最小方差準則應用到串級控制系統(tǒng)性能評估。這些研究都是針對線性串級控制系統(tǒng)。

非線性特征在控制系統(tǒng)中廣泛存在,主要表現(xiàn)在控制過程的非線性、測量傳感器的非線性、閥門的黏滯等特征[7-8],這些非線性特征使得傳統(tǒng)的線性控制系統(tǒng)評估方法產(chǎn)生估計偏大的問題。文獻[9]首先針對非線性動態(tài)模型和線性擾動疊加的一類單變量單回路非線性系統(tǒng),證明其輸出最小方差下限的存在,采用多項式擬合的方法研究了其性能評估問題,但由于非線性串級控制系統(tǒng)具有主回路、副回路兩個輸入擾動,并不滿足其關于噪聲可表示為輸出疊加的前提,因此該方法不適用于非線性串級控制系統(tǒng)。文獻[10]采用ANOVA-like方差分解,基于NARMAX(Nonlinear Autoregressive Moving Average with Exogenous Input)模型,計算了單變量單回路的前k(系統(tǒng)延遲步數(shù))個擾動項對輸出方差的貢獻量,從而得到此類非線性系統(tǒng)的最小方差下限。

基于方差分解的方法是計算每個輸入變量對輸出總方差的貢獻量,其對系統(tǒng)模型沒有嚴格的限制,當系統(tǒng)的最小方差下限不存在時,也可以作為較優(yōu)的性能指標來使用。本文針對一類帶有面向塊模型的過程非線性串級控制系統(tǒng),證明其輸出最小方差下限的存在,采用方差分解公式估計其值,最后通過與線性評估方法的仿真比較,說明該方法針對非線性串級控制回路的有效性。

1　過程非線性串級控制系統(tǒng)描述

1.1串級控制系統(tǒng)描述

(1)

(2)

由圖1計算得到主回路的輸出為

(3)

圖1　串級控制系統(tǒng)框圖Fig.1　Cascade control system block diagram

1.2過程非線性特征描述

控制對象的非線性廣泛存在,進行控制系統(tǒng)性能評估時,這些非線性特征無法忽略[8]。許多工業(yè)過程非線性可以用面向塊的非線性模型充分表示[7]。

圖2示出了Hammerstein模型和Wiener模型,兩者同時存在時為Hammerstein-Wiener模型。其中Gpq-k、GL分別表示線性過程模型和擾動模型,k為系統(tǒng)延遲步數(shù),靜態(tài)非線性模塊N1和N2由非線性函數(shù)表示。

圖2　面向塊的非線性模型結(jié)構(gòu)Fig.2　Block-oriented nonlinear systems model structure 當串級控制系統(tǒng)帶有過程非線性時,式(3)不再是一個線性關系的表達式。實際常用NARMAX模型[11]來表示隨機非線性系統(tǒng)

(5)由于控制器的作用取決于zt的過去值,式(5)可以進一步表示為

(6)式(3)是主回路輸出的傳遞函數(shù)表達式,式(6)是主回路輸出的NARMAX模型表達式,兩者是等價的。

2　過程非線性串級控制系統(tǒng)最小方差的存在性

2.1線性串級控制系統(tǒng)最小方差存在性

(7)將式(1)、式(2)、式(7)代入式(3),整理可得

(8)

由式(8)可知,輸出的前2項CI11和CI12與控制器無關,不論采用何種控制器,在系統(tǒng)輸出中始終存在,即為串級系統(tǒng)輸出的反饋不變項; 后2項CD21和CD22與控制器有關,將后2項置為0,系統(tǒng)的輸出方差將達到最小,此時可以求得最小方差控制率下的主控制器和副控制器,并且串級系統(tǒng)的主回路輸出是一個MA(MovingAverage)過程

(9)若w1、w2相互獨立,輸出最小方差(MinimumVariance,MV)計算為

(10)由此可知,在最小方差控制的作用下,線性串級控制系統(tǒng)的主回路輸出是一個k1+k2-1階的MA過程,主回路輸出可由閉環(huán)傳遞函數(shù)的前k1+k2-1項滑動平均系數(shù)來表示。對于線性的平穩(wěn)時間序列,可采用AR(AutoRegressive)、MA和ARMA等模型結(jié)構(gòu)建立由白噪聲輸入到系統(tǒng)輸出的模型關系。由于AR模型計算速度快,且可迭代運算,文獻[4]建議采用該模型估計串級控制系統(tǒng)最小方差。

2.2過程非線性串級控制最小方差存在性

(11)在最小方差控制率的作用下,串級控制回路可以克服副回路的過程非線性,但在非最小方差控制的作用下,主回路的輸出將含有非線性環(huán)節(jié)影響的項,可表示為

2.2.2主回路過程中存在非線性主回路過程存在非線性環(huán)節(jié)時,直接考慮非線性模型為Hammerstein-Wiener模型,即

(14)式(14)的丟番圖分解無法直接實現(xiàn),重新推導主回路的輸出表達式:

(15)

式(15)后2項置為0,得到與控制器作用無關的反饋不變項:

(16)

當過程非線性為Hammerstein模型時,反饋不變項仍為式(16)。當過程非線性為Wiener模型時,式(14)不包含N1項,進一步分解:

(17)

將式(17)代入式(15),進一步分離出輸出的反饋不變項為

(18)

主回路存在過程非線性,在最小方差控制率的作用下,輸出的反饋不變項仍帶有非線性環(huán)節(jié)。由式(9)、式(11)、式(16)、式(18)可知,不論是線性串級控制系統(tǒng)還是過程非線性串級控制系統(tǒng),其反饋不變項僅與最近k1+k2項主回路擾動及k1步前的最近k2項副回路擾動有關。因此引入方差分解的方法,分析這些擾動項對輸出方差的貢獻量。

3　基于方差分解的串級控制回路性能指標

3.1ANOVA-like方差分解

一個p輸入單輸出靜態(tài)系統(tǒng),用解析函數(shù)Z=f(X1,X2,…,Xp)表示,采用ANOVA-like方差分解[12]公式,輸出總方差進行分解:

(19)

其中:

式(19)中的隨機輸入變量均不相關。E(Z|Xi=xi)是Xi=xi時Z的期望值,V()是遍歷xi取值下Z的方差。方差分解公式適用于多輸入系統(tǒng),對輸入變量的全集按子集劃分也有效。若輸入集X劃分為W1=(X1,X2,…,Xj),W2=(Xp-j+1,Xp-j,…,Xp),則方差分解公式為

(20)

3.2非線性串級控制系統(tǒng)的方差分解

式(6)是非線性串級控制系統(tǒng)的NARMAX模型,t+k1+k2時刻的輸出為

(21)

如圖3所示,將上述串級控制系統(tǒng)的主、副回路擾動按時間軸劃分為兩個部分:A1=[w1,t+k1+k2,w1,t+k1+k2-1,…,w1,t+1,w2,t+k2,w2,t+k2-1,…,w2,t+1]和A2=[w1,t,w1,t-1,…,w1,1,w2,t-1,w2,t-2,…,w2,1],A1、A2分別是t時刻以后和以前的擾動集合。由于副回路擾動對主回路輸出的影響延遲k1步,A1中不包含最近k1項副回路擾動。非線性串級控制系統(tǒng)的輸出最小方差由輸入子集合A1決定。

圖3　擾動在時間軸上的劃分Fig.3　Dividing the disturbance sequences separated in time

由于過程非線性的存在,輸出將受初始條件I0的影響,不能直接采用式(20)分解公式。考慮I0,輸出zt+k1+k2的方差可分解為兩個部分:

(22)

A=[A1,A2]表示從開始時刻進入系統(tǒng)的所有擾動,式(22)的第1項表示I0條件下輸入對輸出總方差的貢獻量的期望值,第2項表示I0的不確定性對總方差的影響。一定的I0條件下,對第1項VA[zt+k1+k2|I0]進行方差分解:

(23)

其中:

EI0[VA1|I0]表示輸入擾動集A1對輸出總方差的貢獻量,串級控制回路的輸出最小方差取決于A1,因此其就是輸出最小方差的期望值。則過程非線性串級控制系統(tǒng)的性能指標為

(24)

(25)

當t趨于無窮時,近似計算得到τt的值。實際計算中為得到準確估計結(jié)果,避免過量運算,t取較大的值,并求取多個t值下的τt的平均值。由于初始條件會對輸出產(chǎn)生影響,對于每一個τt應當盡量遍歷更多組的輸入擾動集,進而計算出當前t值下的最小方差估計值的平均值。

3.3基于方差分解性能指標的計算

3.3.1閉環(huán)模型的辨識式(21)是非線性串級控制系統(tǒng)的NARMA模型,對于任一連續(xù)的函數(shù)可以通過l階次的多項式模型進行任意的近似[13]。

(26)

其中:θi、et分別表示常數(shù)項和偏差項:n=ny+n1+n2,x1,t=zt,x2,t=zt-1,…,xny+1,t=w1,t+k1+k2,…,xn,t=w2,t+k2-n2,即是與當前輸出相關的式(21)的輸入集的n個輸入項。式(27)是一個線性回歸模型:

(27)

式中:n0表示輸出項的數(shù)據(jù)長度;pi,t表示由上述n個輸入項組成的單項式;N表示所有單項式的總個數(shù);ξt為模型誤差。上述模型轉(zhuǎn)為矩陣模型,可以采用正交最小二乘法[13]來求解。式(27)需要輸入擾動的信息,如果擾動噪聲是可測的,可以通過線性回歸的方法對噪聲進行擬合,模型殘差即可作為擾動噪聲源的估計值。如果噪聲不可測,可以在正交最小二乘法中引入迭代運算,賦擾動噪聲項初值為0,用上一次計算的模型誤差代替擾動,迭代運算至合適的精度。

3.3.2蒙特卡羅方法估計蒙特卡羅模擬法是以概率統(tǒng)計理論為基礎,通過對隨機過程進行反復實驗,計算參數(shù)估計量和統(tǒng)計量,進而研究其分布特征的方法。對于穩(wěn)定的遍歷性系統(tǒng),采用模擬實驗可計算出可靠的估計值,并且隨著模擬次數(shù)的增多,估計的精度也會提高。對閉環(huán)模型進行統(tǒng)計模擬實驗,考慮初始條件,則zt+k1+k2的均值和方差計算為

(28)

(29)

(30)

4　仿真實例

4.1概述

選取文獻[4]中一個典型的串級控制回路,為避免存在非線性環(huán)節(jié)時系統(tǒng)輸出出現(xiàn)發(fā)散,對主回路擾動模型稍加改動,模型如下:

(31)

串級控制系統(tǒng)設定值為0,主、副回路延遲步數(shù)分別為k1=4,k2=1,系統(tǒng)的總延遲步數(shù)為k1+k2=5。主、副回路擾動由均值為0、方差為0.1的隨機高斯白噪聲源w0驅(qū)動。系統(tǒng)采用如下主、副控制器:

(32)

圖4為該串級控制系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)圖。從上到下依次為擾動噪聲源、主回路擾動、副回路擾動、主回路輸出的數(shù)據(jù)序列。為仿真過程非線性特征,采用下列3個非線性函數(shù)(函數(shù)如圖5所示):

(33)

分4個例子,基于線性時間序列模型方法[4]和本文方法,對比分析過程非線性串級控制系統(tǒng)輸出最小方差下限的估計。

圖4　系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)Fig.4　System input and output data

4.2線性串級系統(tǒng)

圖5　非線性函數(shù)Fig.5　Non-linear function

圖6　線性系統(tǒng)最小方差估計盒圖Fig.6　Box plots of linear system minimum variances estimates

由圖6可知,線性方法和本文方法估計得到的值都比較接近于理論值。線性估計方法的結(jié)果的分布比較集中,而本文方法由于采用大量的輸入實驗,輸出的分布在局部上帶有不確定性,可以發(fā)現(xiàn),在不同的時間長度t下輸出的總體分布是一致的,且中位線上下的數(shù)據(jù)分布較平均。

4.3過程非線性串級系統(tǒng)

4.3.1副回路非線性過程例2為式(31)所示的串級控制系統(tǒng),副回路存在Hammerstein模型,即在副回路線性過程前存在非線性環(huán)節(jié)N1(x)=F1(x),其他模型條件不變。計算得到理論上的最小方差值為0.442 8。VA1|I0實驗估計結(jié)果如圖7所示。

4.3.2主回路非線性過程例3為式(31)所示的串級控制系統(tǒng)主回路存在Wiener模型,即在主回路線性過程后存在非線性環(huán)節(jié)N2(x)=F3(x),其他模型條件不變,計算得到理論上的最小方差值為0.481 3。VA1|I0實驗估計結(jié)果如圖8所示。

圖7　副回路非線性系統(tǒng)最小方差估計盒圖Fig.7　Box plots of non-linear secondary loop system minimum variances estimates

圖8　主回路非線性系統(tǒng)最小方差估計盒圖Fig.8　Box plots of non-linear primary loop system minimum variances estimates

4.3.3主副回路均帶有非線性過程例4為式(31)所示的串級控制系統(tǒng)副回路存在Hammerstein-Wiener模型,副回路線性過程前、后分別存在下列非線性環(huán)節(jié):N11(x)=F2(x),N12(x)=F3(x); 主回路仍舊選取Wiener模型,因為此模型下的理論最小方差值易于計算,其非線性環(huán)節(jié)為N22(x)=F3(x); 其他模型條件不變,計算得到理論上的最小方差值為0.481 3。VA1|I0實驗估計結(jié)果如圖9所示。

圖9　主副回路非線性系統(tǒng)最小方差估計盒圖Fig.9　Box plots of non-linear primary and secondary loop system minimum variances estimates

從例2～例4可以發(fā)現(xiàn),線性方法在評估過程非線性串級控制系統(tǒng)時,出現(xiàn)了明顯的過大估計,已經(jīng)完全不能作為有效的最小方差估計值。圖6～圖9中,t=5時的分布盒圖表明,t非常小時,系統(tǒng)的輸出特性并未完全體現(xiàn);t值較小時,如為15、25時,估計方差的分布總體相對偏大,這是由于非線性系統(tǒng)的輸出方差和初始條件有關;t大于50之后,總體方差的分布相對穩(wěn)定,盒圖的均值可以作為最小方差估計值,比之線性估計方法,明顯更接近最小方差理論值。

表1列出了基于AR模型的線性估計方法和本文方法最小方差估計值的對比,其中本文方法估計值是t分別為50、100、150時對應的3列盒圖均值的平均值。從表1中可以明顯看出,針對非線性串級控制系統(tǒng),線性估計方法估計值的偏離度超過了150%,而本文方法估計值的偏離度均在合理范圍之內(nèi)。

表1　兩種方法最小方差估計值對比

5　結(jié)　論

本文針對一類過程非線性串級控制系統(tǒng),證明其輸出最小方差同輸入擾動項的關系,提出了基于方差分解的方法估計此類系統(tǒng)的最小方差性能下限,比之傳統(tǒng)線性方法有更好的估計效果。同時本文針對的是帶有2個擾動輸入的系統(tǒng),可以認為是一個多輸入單輸出的系統(tǒng),這也為研究真正的多輸入非線性系統(tǒng)性能估計提供了參考。應該注意,蒙特卡羅模擬實驗需要大量的計算,對系統(tǒng)性能的實時性估計造成了一定的難度,有待進一步改進。

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Control Performance Assessment Based on Variance Decomposition for a Class of Nonlinear Cascade Systems

WANG Ya-bin,SUN Jing-gao

(Key Laboratory of Advanced Control and Optimization for Chemical Processes,Ministry of Education,School of Information Science and Engineering,East China University of Science and Technology,Shanghai 200237,China)

The minimum variance lower bound (MVLB) represents the best control performance in an output variance sense.For a class of nonlinear cascade systems,the traditional linear assessment method will cause an overlarge estimate on the system performance.In this work,the existence of MVLB of the block-oriented nonlinear cascade system is firstly proved,which just depends on the disturbances of several primary loop and secondary loop.And then,the system input and output data is utilized to reconstruct polynomial models for approximating describing the nonlinear cascade systems.By means of variance decomposition,Monte Carlo strategy is used to calculate the contribution of these disturbances items and determine MVLB estimate.Finally,it is shown from the comparison with linear assessment method that the proposed method is efficient and accurate for this class of nonlinear cascade systems.

performance assessment; nonlinear; block-oriented model; cascade systems; variance decomposition

1006-3080(2016)04-0537-08

10.14135/j.cnki.1006-3080.2016.04.015

2015-11-13

王雅斌(1992-),男,河南周口人,碩士生,主要研究方向為控制系統(tǒng)性能評估。E-mail:w_yabin@126.com

通信聯(lián)系人：孫京誥,E-mail:sunjinggao@126.com

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