隨機補貨間隔且存貨影響銷售的變質品EOQ模型

楊善林,許廣繁,王曉佳,楊昌輝

(1.合肥工業(yè)大學管理學院,安徽合肥230009; 2.過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室,安徽合肥230009)

隨機補貨間隔且存貨影響銷售的變質品EOQ模型

楊善林1,2,許廣繁1,2,王曉佳1,2,楊昌輝1

(1.合肥工業(yè)大學管理學院,安徽合肥230009; 2.過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室,安徽合肥230009)

基于存貨影響銷售的變質物品EOQ模型,通過考慮隨機補貨時間間隔和隨缺貨量變化的延期供給率對庫存訂貨策略的影響,建立了相應的庫存控制模型,分析了模型最優(yōu)解的存在性和唯一性,并給出了數值算例和主要參數的靈敏度分析.研究結果表明:銷售價格,存貨影響銷售率系數和隨機補貨時間間隔對銷售商訂貨策略和利潤有較大影響.

隨機補貨間隔;存貨影響銷售;變質物品;庫存控制;部分延期供給

1　引　言

庫存控制理論一直是運籌學和生產管理中活躍的研究領域之一,其中多周期庫存控制的研究便是一個重要分支.而經典的多周期庫存控制研究中有兩種主要補貨策略,即:連續(xù)補貨和定期補貨.連續(xù)補貨策略是指零售商可以根據產品現有的庫存水平隨時對其進行補貨;而定期補貨策略則是零售商必須要在特定的時間點上才能補貨.但在實際應用中,供應商對零售商補貨的時間間隔也可能是隨機的.導致補貨時間間隔變動的原因很多,例如在產品的供應鏈中若供應商占據著絕對的優(yōu)勢地位,供應商就可以單獨決定它應該什么時候對零售商的庫存進行補貨;同時若零售商處于偏遠的地區(qū),地理位置上處于弱勢,此情形下,供應商更可能會單獨決定什么時候對零售商進行訪問并對其庫存進行補貨.Ertogral和Rahim[1]較早地研究了隨機補貨間隔且補貨到庫存上限的庫存控制問題,Liu等[2]則進一步考慮了隨機補貨間隔且補貨到庫存上限的易腐品庫存控制問題,Nasab和Konstantaras[3]則討論了隨機補貨間隔和特殊銷售報價的庫存控制模型.

許多銷售實踐表明,產品現貨展示的數量直接影響銷售率,這種現象被稱為存貨影響銷售率(stockdependent selling rate).Gupta等[4]首次研究了需求受初始庫存水平影響的庫存模型;在此基礎上,Padmanabhan等[5]考慮了常數通貨膨脹率的情形,發(fā)展了帶有依賴初始庫存需求率的庫存模型.考慮到需求受物品當前展示庫存水平的影響,文獻[6-8]研究了帶有線性需求率的庫存問題.文獻[9-11]研究了帶有多項式需求率的庫存問題.Urban[12]對已有的相關研究進行了全面的綜述,并提出了一些未來的研究方向.

在現實庫存系統(tǒng)中,倉庫缺貨期間,有的顧客愿意承擔缺貨損失,零售商不會丟失銷售機會,但同時顧客通常都是沒有足夠的耐心,隨著缺貨量的增加,他們就會對庫存系統(tǒng)是否能夠及時供貨缺乏信心,從而轉往其他零售商處購買商品.因此,若缺貨量越大,則愿意等待供貨的顧客就會越少.Padmanabhan等[13]研究了缺貨量對延期供給率的影響,認為商品缺貨數量越大,顧客越容易喪失等待補貨的信心.Chang等[14]認為若等待時間越長,顧客就越不愿意等待,San等[15]進一步研究了顧客相對等待時間的情況,羅兵等[16]考慮了顧客的等待時間、銷售價格和補貨速度等對延期供給率和訂貨策略的綜合影響.

易變質物品的EOQ模型受到學者們的廣泛關注.現實生活中,普遍存在易變質物品,如時尚的衣服、在銷售季節(jié)末還未售出的節(jié)日鮮花、易變質的食品、易腐爛的水果蔬菜、易揮發(fā)的液體、易過期的藥品和易衰減的放射性物品等.因此,易變質物品的庫存研究具有十分重要的理論和實際意義.Chare和Schrader[17]較早地提出了變質物品的庫存模型,Ciri等[18]研究了物品變質率隨時間變化和有短缺情形的庫存模型, Manna和Chaudhuri[19]給出了市場需求和物品變質率都隨時間變化的庫存模型,Lo等[20]在考慮通貨膨脹情況下,提出了物品變質率服從Weibull分布的變質性物品庫存模型,閔杰和周永務[8]研究了存貨影響銷售率的非立即變質物品的庫存模型,Sana[21]研究了變質率隨時間變化且有部分缺貨拖后率的庫存模型, Sarkar[22]考慮了在確定訂貨周期下得到了需求和變質率都隨時間變化的庫存模型.

本文綜合考慮了存貨影響銷售、兩次連續(xù)補貨時間間隔是隨機的、允許缺貨發(fā)生且短缺量部分延期供給,延期供給率與缺貨量呈負相關等因素,建立了變質物品的庫存控制模型,分析給出了庫存模型最優(yōu)解存在的必要條件.同時,分析了當庫存模型的兩次連續(xù)補貨時間間隔服從一般分布時,最優(yōu)解的存在性及唯一性.最后,當兩次連續(xù)補貨時間間隔服從均勻分布時,用數值實例對相關的參數進行了靈敏度分析,研究主要參數對訂貨策略和每周期期望利潤的影響,從而為諸如小超市、藥店和雜貨店等在供應鏈中處于不利地位的零售商制定采購計劃提供決策依據.

2　決策模型

2.1假定與符號說明

首先作以下假定和符號說明.

1)兩次連續(xù)補貨時間間隔Z是獨立同分布的隨機變量,其取值范圍為[z1,z2],f(z)為Z的概率密度函數.

2)前置期為零.

3)t時刻產品的需求率其中I(t)表示t時刻的庫存水平,r為單位時間的基本需求量,α表示存貨影響銷售率系數,且r,α均為正常數.

4)物品的變質率θ假定為一個常數,且物品變質后無殘值.

5)允許缺貨發(fā)生.考慮到實際中當庫存系統(tǒng)處于缺貨狀態(tài)時,延遲供給率與該時刻的實際短缺量有關系,實際短缺量越大,顧客損失率就越大,該時刻的延期供給率越小(即某時刻單位時間內愿意加入到排隊隊列中來等候供貨的顧客數會隨著隊列中排隊顧客數的增加而減少),因此假定缺貨期間發(fā)生的延期供給率D1(t)與已經發(fā)生的缺貨量有關,即

其中β為缺貨影響延期供給率系數,且0≤β≤1,S(t)表示t時刻等待供貨的需求量.

6)S表示產品所需補貨的庫存上限,ts表示產品從最高庫存水平S降為0所需的總時間.

7)h為每周期單位產品單位時間的庫存費用,π為單位產品單位時間的延期供給成本,π′為因缺貨造成銷售損失的單位產品的機會成本,p為單位產品的售價,w為單位產品的成本.

2.2模型構建

由于給定了產品兩次連續(xù)的補貨時間間隔是獨立同分布的隨機變量且每次都是補貨到庫存上限S.因而當產品兩次連續(xù)的補貨時間間隔長度Z小于庫存從最大庫存量降為0的時間長度ts時,庫存系統(tǒng)沒有缺貨發(fā)生;而當產品兩次連續(xù)的補貨時間間隔長度Z大于庫存從最大庫存量降為0的時間長度ts時,庫存系統(tǒng)有缺貨發(fā)生.下面將會給出在一個周期內產品期望利潤函數組成的五個部分.

設I(t)表示在時間t上系統(tǒng)的庫存量,則I(t)滿足下列方程

其中T為每周期的時間長度.

由I(ts)=0,有

1)每周期的期望庫存量

式(4)給出了每周期的期望總庫存水平,其中第一項表示的是當庫存系統(tǒng)未發(fā)生缺貨時的期望庫存量,第二項表示的是當庫存系統(tǒng)發(fā)生缺貨時的期望庫存量.

2)每周期的期望延期供給量和銷售損失量

當庫存系統(tǒng)發(fā)生缺貨時,產品在t時刻的延期供給速度與已缺貨量呈線性關系,因此在缺貨期間t時刻等待的需求量S(t)滿足下述微分方程

上述方程的解為

由于產品每周期總的期望缺貨量為期望延期供給量與期望需求銷售損失量之和,而產品每周期的期望延期供給量為

從而產品每周期的期望需求銷售損失量為

其中式(8)中的第一項表示的是若缺貨發(fā)生時,產品每周期總的期望缺貨量;第二項表示的是若缺貨發(fā)生時,產品期望的延期供給量.

3)每周期的期望補貨量

由于每周期的補貨策略均為補貨到庫存上限,從而每周期的期望補貨產品數量就為產品的期望銷售量、期望變質量和期望延期供給量之和,即

4)每周期的期望銷售量

由于產品的存貨影響銷售率且產品每周期總的期望銷售量為未發(fā)生缺貨時產品的期望銷售量與發(fā)生缺貨時產品的期望延期供給量之和,從而有

式(10)給出了每周期產品總的期望銷售量,其中第一項表示的是當庫存系統(tǒng)未發(fā)生缺貨時產品的期望銷售量,第二項表示的是當庫存系統(tǒng)發(fā)生缺貨時產品的期望銷售量與期望延期供給量之和.

5)每周期的期望變質量

由于產品每周期的期望補貨量為產品的期望銷售量與期望變質量之和,從而有產品每周期的期望變質量為產品的期望補貨量與期望銷售量之差,即

6)每周期的期望利潤

由式(4)～式(11)可知在基于補貨到庫存上限的庫存策略下該庫存系統(tǒng)每周期的期望利潤為

3　模型的求解

對式(12)中的R(ts)關于ts分別求一階導數和二階導數,經過化簡可得

引理1當r≥0,π≥0時,則不等式rM+A+B-βC≥0恒成立.

定理1若M ≥0,則ts越大,每周期的初始庫存水平越高,庫存系統(tǒng)中每周期的期望利潤就越大, 即R(ts)在ts=z2處取得最大值.

證明由于0≤z1≤ts≤z2,E(1-e-(α+θ)Z|Z≤ts)＞0,F(ts)＞0,0≤α≤1,0≤β≤1,0≤θ≤1,r≥0,π≥0且M ≥0,又由積分中值定理可知:

這表明,當M≥0時,R(ts)是關于ts的增函數,所以R(ts)在ts=z2處取得最大值.證畢.

若M ≥0,則有α(p-w)≥h+θw,那么α(p-w)可以解釋為“增加單位庫存所帶來的銷售收益增量”, 而h+θw表示的則是“增加單位庫存所引起的庫存和變質費用”,因此,α(p-w)≥h+θw就意味著“增加單位庫存所帶來的銷售收益增量”不小于“增加單位庫存所引起的庫存和變質費用”.此時庫存水平越高,系統(tǒng)的期望利潤當然越大,即增大庫存水平對整個庫存系統(tǒng)是有益的,所以R(ts)在ts=z2處取得最大值.

引理2若M＜0,則R(ts)存在唯一的最大值點.

從而得R′(ts)是關于ts的嚴格單減函數,R(ts)是關于ts的嚴格凹函數,因此在閉區(qū)間[z1,z2]內必然存在唯一的t*s,使得R(ts)取得最大值.證畢.

令ts分別為z1和z2代入到式(13)中并化簡得

證明由引理2知當M ＜0時,R′′(ts)＜0在區(qū)間[z1,z2]上是恒成立的,則R′(ts)是關于ts的嚴格單調減函數.若時,則由式(15)知R′(z1)≤0,即對?ts∈[z1,z2],均有R′(ts)≤0,從而R(ts)在區(qū)間[z1,z2]上是減函數,即R(ts)在區(qū)間[z1,z2]的最大值在t*s=z1處取得;若M ＜ 0, 當時,則由式(15)知R′(z1)＞0,又由式(16)知R′(z2)＜0,由介值定理知在閉區(qū)間[z1,z2]內必然存在唯一的根t*s使得R′(t*s)=0,即t*s滿足式(17).

注意到駐點t*s的唯一性,知t*s是R(ts)的唯一最大值點.由于t*s是由式(17)唯一確定的,而式(17)明顯依賴于概率密度函數f.

4　數值算例

若兩次連續(xù)補貨的時間間隔服從均勻分布,其范圍是[z1,z2],則其對應的條件期望和互補累積分布函數分別為

將式(18)～式(20)代入到式(17)中,經過相應的代數運算后可化簡得式(23),并通過利用分段搜索算法可以找出相應的最優(yōu)解使得每周期的期望利潤最大.

又由式(3)可得最優(yōu)的補貨庫存上限S*為

將式(18)～式(23)代入到式(12)可得每周期的期望利潤最大值R(t*s).

參考Ertogral等[1-3,8]的數據,假定庫存系統(tǒng)的基本參數為:r=10,p=100,w=70,h=5,α=0.15, β=0.7,θ=0.02,[z1,z2]=[4,8],π=10且π′=p-w.運用MATLAB7.10版軟件及二分法進行計算,結果如下:ts=5.394,S=88.346,R(ts)=1 205.618.以下對庫存模型中各主要參數進行靈敏度分析,圖1至圖4反映了這些參數對庫存模型中產品有存貨情況下的銷售時間、最大庫存量和平均期望利潤的影響.

由圖1可知,在價格一定的情況下,隨著存貨影響銷售率系數α的增大,產品有存貨的銷售時間段就會延長且產品的補貨庫存上限和每周期的期望利潤均增大;而當存貨影響銷售率系數一定時,產品有存貨的銷售時間間隔、最大補貨庫存上限和每周期的期望利潤均隨著價格的增加而增大,且當α越大時,產品有存貨的銷售時間間隔、最大補貨庫存上限和每周期的期望利潤對價格的變化越敏感.這是因為隨著存貨影響銷售率系數的增大,有現貨期間最佳的需求明顯增加.此時,銷售商可以通過兩種途徑獲得更高的期望利潤: 1)增加每周期的初始庫存量,延長存貨影響銷售的時間段;2)增加有現貨時間,縮短缺貨時間,提高顧客服務水平.

圖1　存貨影響銷售率系數α的靈敏度分析Fig.1 The sensitivity analysis of α

由圖2可知,在價格一定的情況下,隨著缺貨影響延期供給率系數β的增大,產品有存貨的銷售時間段就會縮短且產品的補貨庫存上限也隨之減少而每周期的期望利潤卻增加但增加的幅度并不是特別明顯;且當價格大于112.7時,產品有存貨的銷售時間間隔、最大補貨庫存上限和每周期的期望利潤并不會隨著缺貨影響延期供給率系數β的變化而變化.這是由于此時模型滿足定理1,即兩次連續(xù)補貨時間間隔已經達到了最大的補貨時間間隔上限,而此時庫存模型并沒有缺貨發(fā)生,從而可知β的變化對產品的補貨庫存上限和每周期的期望利潤并沒有產生任何影響.

由圖3可知,在價格一定的情況下,隨著變質率θ的增大,產品有存貨的銷售時間段縮短且每周期的期望利潤減少;同時注意到當θ=0.1且價格較低時,每周期的期望利潤為負值,這表明利潤是虧損的,而這是由于增加單位庫存所帶來的銷售收益增量小于增加單位庫存所引起的庫存和變質費用所造成的;且變質率越大,產品有存貨的銷售時間間隔、最大補貨庫存上限和每周期的期望利潤對價格的變化越不敏感;同時,當變質率較大且價格較高時,零售商更愿意將庫存維持在較低的水平,這是由于單位產品變質所帶來的邊際損失比增加單位產品所帶來的邊際銷售收益要大,所以低庫存水平對零售商是有益的.

圖2　缺貨影響延期供給率系數β的靈敏度分析Fig.2 The sensitivity analysis of β

圖3　變質率θ的靈敏度分析Fig.3 The sensitivity analysis of θ

由圖4可知,在價格一定的情況下,隨著補貨時間間隔[z1,z2]的增大,產品有存貨的銷售時間段延長且產品的補貨庫存上限也隨之增大;且當價格較低時,產品每周期的期望利潤與補貨時間間隔的關系并沒有明顯的規(guī)律,但當價格較高時,產品每周期的期望利潤隨著補貨時間間隔的增大而增加;并且補貨時間間隔[z1,z2]越大,產品有存貨的銷售時間間隔、補貨庫存上限和每周期的期望利潤對價格的變化越敏感.同時注意到當[z1,z2]=[8,12]且價格較低時,每周期的期望利潤為負值,這表明利潤是虧損的,而這是由于缺貨所造成的銷售損失和延期供給成本過高所造成的,因而此時高庫存水平對零售商是有利的.

圖4　補貨時間間隔[z1,z2]的靈敏度分析Fig.4 The sensitivity analysis of[z1,z2]

5　結束語

本文的模型是一個基于實際應用的庫存控制模型,如可在小超市、藥店和雜貨店等庫存系統(tǒng)中觀察到相應的庫存模型.在該庫存模型中供應商能在隨機的時間段中訪問零售商且物品是易變質的,其需求受當前庫存水平的影響且缺貨的延遲供給率與該時刻的實際短缺量呈負相關關系.零售商在基于存貨影響銷售率、變質率、現有的庫存水平、缺貨影響延期供給率和下次隨機的補貨時間間隔來確定所要增加的庫存水平.在本模型中,假設兩次連續(xù)的補貨時間間隔是隨機的,并且易變質物品的需求與當前展示的庫存水平呈線性關系,同時允許缺貨并且缺貨量部分延期供給.同時本文給出了如果兩次連續(xù)的補貨時間間隔滿足一般分布的情況下,討論了模型最優(yōu)解的存在性與唯一性,最后用實例說明了模型在兩次連續(xù)的補貨時間間隔服從均勻分布的情況下其解的有效性和可行性,同時對主要參數的靈敏度進行了分析.數值分析顯示:銷售價格、存貨影響銷售率系數和隨機補貨時間間隔對零售商訂貨策略和每周期的期望利潤的影響比其他因素顯著,在制定采購計劃時應給予考慮;在實際工作中,當產品的銷售價格,存貨影響銷售率系數和隨機補貨時間間隔增大時,零售商應增加補貨庫存上限,縮短缺貨時間,提高服務水平;而當產品的變質率增大時,零售商應減少補貨庫存上限,延長缺貨時間,降低服務水平.本文所建立的模型還可以做更深層次的研究,如考慮聯(lián)合補貨策略、帶有多項式存貨影響銷售率的庫存問題及特價商品對庫存系統(tǒng)的影響等情況,顯然這些假設條件會增加屬性分析的難度,但會更加符合實際情況.

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EOQ model for deteriorating items with stochastic replenishment interval and stock-dependent selling rate

Yang Shanlin1,2,Xu Guangfan1,2,Wang Xiaojia1,2,Yang Changhui1
(1.School of Management,Hefei University of Technology,Hefei 230009,China; 2.Key Laboratory of Process Optimization and Intelligent Decision-making,Ministry of Education,Hefei 230009,China)

Based on the EOQ model for deteriorating items with stock-dependent selling rate,this paper develops a more general inventory model with stochastic replenishment interval and partial backlogging,where the backlogged demand rate is shortages-level dependent.The necessary and sufficient conditions of the existence and uniqueness of the optimal solutions are provided,a numerical example and key parameters’sensitivity are shown to illuminate the presented model.It is shown that the selling price,the stock-dependent selling rate factor and stochastic replenishment interval influence distributors’ordering strategy and average expected profit more than other factors.

stochastic replenishment interval;stock-dependent selling rate;deteriorating item;inventory control;partial backlogging

F227.07

A

1000-5781(2016)01-0101-10

10.13383/j.cnki.jse.2016.01.010

2013-12-05;

2014-07-14.

國家自然科學基金資助項目(71071045;71131002;71101041);教育部人文社會科學基金資助項目(11YJC630248);安徽省教育廳人文社會科學基金(2013AJRW0140).

楊善林(1948—),男,安徽懷寧人,教授,博士生導師,中國工程院院士,研究方向:智能決策方法,云計算,Email: slyang@mail.hf.ah.cn;

許廣繁(1988—),男,廣東從化人,碩士,研究方向:庫存控制理論與供應鏈管理,Email:xugfsong08@163.com;

王曉佳(1983—),男,安徽蚌埠人,博士,講師,研究方向:決策理論與方法,庫存控制理論,Email:tonysun800@sina.com;

楊昌輝(1974—),女,安徽懷寧人,博士,副教授,研究方向:公司理財,決策科學與技術,Email:yangchanghui@hfut.edu.cn.