區(qū)間直覺模糊數(shù)密度加權算子及其決策應用

杜迎雪, 常　娟, 劉衛(wèi)鋒

(鄭州航空工業(yè)管理學院 理學院，河南 鄭州 450015)

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區(qū)間直覺模糊數(shù)密度加權算子及其決策應用

杜迎雪, 常娟, 劉衛(wèi)鋒

(鄭州航空工業(yè)管理學院 理學院，河南 鄭州 450015)

在多屬性決策中，當屬性值為區(qū)間值直覺模糊數(shù)時，考慮屬性信息分布疏密程度，研究了區(qū)間值直覺模糊集數(shù)據(jù)聚類的問題，提出了新的算子——線性區(qū)間值直覺模糊數(shù)密度加權平均中間算子(IIFDWA)和積性區(qū)間值直覺模糊數(shù)密度加權平均中間算子(IIFDWGA)，統(tǒng)稱區(qū)間值直覺模糊密度加權算子.最后,將IIFDWA算子和WAA算子結合應用到多屬性群決策問題中.

多屬性決策；區(qū)間直覺模糊數(shù)；區(qū)間直覺模糊數(shù)密度加權算子；聚類

多屬性決策是現(xiàn)代決策理論的重要組成部分，它在工程設計、經(jīng)濟管理、軍事等諸多領域有著廣泛的應用.信息集成算子是多屬性決策研究的一個核心問題，許多學者對其進行了深入研究.Yager[1]于1988年提出了有序加權平均(OWA)算子；Chiclana等[2]和Xu等[3]將OWA算子進行推廣，提出了有序加權幾何平均(OWGA)算子；陳華友等[4]提出了有序加權調(diào)和平均(OWHA)算子.但是，這些集成算子沒有考慮屬性值分布的疏密程度.在多屬性決策中，屬性值分布是不均勻的，所以關注數(shù)據(jù)疏密程度的信息非常必要.為此，易平濤等[5-11]提出了實點型密度算子、區(qū)間數(shù)密度算子、三角模糊數(shù)密度算子、直覺模糊密度算子、語言信息密度算子等其他密度算子,并將這些算子與AA算子、WAA算子、OWA算子、Min算子、Max算子等結合，應用到多屬性決策中并取得了更好的決策結果.

在上述研究的基礎上，繼續(xù)研究區(qū)間直覺模糊數(shù)集的數(shù)據(jù)聚類問題，并提出了一種簡單且有效的聚類方法.然后，提出了線性區(qū)間值直覺模糊數(shù)密度加權平均算子和積性區(qū)間值直覺模糊數(shù)密度加權平均算子，統(tǒng)稱區(qū)間值直覺模糊密度加權算子.將線性區(qū)間值直覺模糊數(shù)密度加權平均算子和WAA算子結合，得到了一種信息集結算子——線性區(qū)間直覺模糊數(shù)密度加權算數(shù)平均算子 (IIFDWA).最后,將該算子應用在多屬性群決策中.

1　預備知識

定義1[12]設X為給定論域，則X上的區(qū)間值模糊集是一個映射X→Int([0,1])，這里Int([0,1])代表[0,1]上所有閉子區(qū)間的集合.

論域X上所有區(qū)間值直覺模糊集記作IVFS(X).

下面將區(qū)間直覺模糊集的隸屬度期望值和可能度進行聚類.

2　區(qū)間值直覺模糊數(shù)的聚類

步驟(1)：令計數(shù)器r=0，A′=A.

步驟(3)：令r=r+1，A′=A′-Cr-1，若A′=φ，則聚類結束，否則轉(zhuǎn)入步驟(2).

3　密度加權向量

密度權重反映了決策者對各組信息規(guī)模的偏好程度.文獻[6]、[8]和[9]通過主觀賦權法或主客觀相結合的方法來確定密度權重，下面提出一種密度權重客觀賦權方法.

按照元素個數(shù)從多到少的順序?qū)1,A2,…,Al進行降序排列，得到序化后的聚類組.為了方便，仍記為A1,A2,…,Al，各組元素個數(shù)滿足kj≥kj+1(j=1,2,…,l).

4　區(qū)間直覺模糊數(shù)密度算子

則稱UIFDWA為線性區(qū)間直覺模糊數(shù)密度加權平均中間算子，也稱為IIFDWA算子.若

則稱UIFDWGA為積性區(qū)間直覺模糊數(shù)密度加權平均中間算子，也稱為IIFDWGA算子.

其中，密度加權向量為ε=(ε1,ε2,…,εl)T，Θ(Aj)為已有的信息集結算子.將UIFDWA算子和IIFDWGA算子統(tǒng)稱為區(qū)間直覺模糊數(shù)的密度算子.

稱函數(shù)UIFDWAε,WAA為線性區(qū)間直覺模糊數(shù)密度加權算術平均算子，也稱為IIFDWAε,WAA算子.

區(qū)間直覺模糊數(shù)密度中間算子也可以與Max算子、Min算子、OWA算子等合成為新的信息集結算子，這里不一一贅述.

5　決策應用

區(qū)間值直覺模糊密度算子的多屬性決策方法步驟如下：

步驟(1) 將決策矩陣A=(aij)m×n的每一行根據(jù)區(qū)間值直覺模糊集聚類方法進行聚類；

步驟(3) 利用區(qū)間值直覺模糊密度算子對每行進行集結, 得到αi=IIFDM(ai1,ai2,…,am).

步驟(4) 計算每個αi的得分函數(shù)值，如果得分函數(shù)值s(αi)相等，需要計算精確函數(shù)值H(αi)；

步驟(5) 根據(jù)得分函數(shù)值s(αi)和精確函數(shù)值H(αi)的大小進行排序；

例2某單位在對干部進行考核選拔時，首先制定了6項考核指標：思想品德(G1)，工作態(tài)度(G2)，工作作風(G3)，文化水平和知識結構(G4)，領導能力(G5)，開拓能力(G6).指標權重向量為ω=(0.2,0.1,0.25,0.1,0.15,0.2)T.然后，由群眾推薦并評議，確定了5位候選人.假設每個候選人在各指標下評估信息，經(jīng)過處理后可表示為區(qū)間直覺模糊數(shù)，如表1所示.

表1　決策矩陣

(1)根據(jù)聚類方法，計算每個區(qū)間值直覺模糊數(shù)所對應的隸屬度期望值和非隸屬度期望值，見表2.

表2　隸屬度與非隸屬度的期望值

根據(jù)上述對進行分類，得到聚類組如下：

A1的分組為 B1={x12,x13,x16}，B2={x11,x15}，B3={x14}，

A2的分組為B1={x21,x22,x23,x24,x26}，B2={x25}，

A3的分組為B1={x31,x33,x35,x36}，B2={x32}，B3={x34}，

A4的分組為B1={x42,x44,x45}，B2={x42,x46}，B3={x41}，

A5的分組為B1={x53,x54,x55}，B2={x51,x56}，B3={x52}，

其中，xij為表1中的區(qū)間直覺模糊數(shù).

(2)密度加權向量的確定.

假設決策者對信息沒有偏好,求得每個聚類的密度加權向量分別為

(3)利用區(qū)間值直覺模糊密度算子對每行進行集結，得到候選人的綜合屬性值.

<[0.491 2,0.624 5],[0.206 5,0.333 3]>=α1.

<[0.437 7,0.537 1],[0.268 6,0.395 0]>=α2.

<[0.586 5,0.696 4],[0.131 6,0.281 6]>=α3.

<[0.595 8,0.708 3],[0.126 0,0.252 1]>=α4.

<[0.480 8,0.595 1],[0.208 4,0.395 5]>=α5.

(4)計算每個αi得分函數(shù)值,s(α1)=0.288 05,s(α2)=0.155 6,s(α3)=0.434 85,s(α4)=0.463,s(α5)=0.236.

(5)按得分函數(shù)值s(αi)的大小進行排序,顯然s(α4)>s(α3)>s(α1)>s(α5)>s(α2).

[1]YAGERRR.Onorderedweightedaveragingaggregationoperatorsinmulti-criteriadecisionmaking[J].IEEETransactionsonSystems,ManandCybernetics:partB,1998(18):183-190.

[2]CHICLANAF,HERRERAF,HERRERAE.Theorderedweightedgeometricoperator:propertiesandapplications[C]∥Proceeding8thInternationalConferenceonInformationProcessingandManagementofUncertaintyinKnowledgeBasedSystems:Madrid:[s.n.].2000:985-991.

[3]XUZS,DAQL.Theorderedweightedgeometricaveragingoperator[J].InternationalJournalofIntelligentSystems,2002(17)：709-716.

[4]陳華友，劉春林，盛昭瀚.IOWHA算子及其在組合預測中的應用[J].中國管理科學，2004,12(5):35-40.

[5]易平濤，郭亞軍，張丹寧.密度加權平均算子在多屬性決策中的應用[J].控制與決策，2007,22(5)：515-519.

[6]易平濤，郭亞軍，張丹寧.意見分歧特征下多評價結論協(xié)商組合方法[J].東北大學學報(自然科學版)，2006，27(12):1289-1392.

[7]易平濤，郭亞軍.多元密度集結算子及其性質(zhì)分析[J].系統(tǒng)管理學報,2008,17(4):401-408.

[8]易平濤，郭亞軍.廣義實型密度加權平均中間算子及其應用[J].系統(tǒng)工程學報,2010,25(2):190-195.

[9]易平濤，高立群，郭亞軍.基于多元密度集結算子的組合評價方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術，2009，31(12):2882-2887.

[10]易平濤，李偉偉，郭亞軍,等.誘導密度算子及其性質(zhì)分析[J].系統(tǒng)管理學報，2011，20(5):527-532.

[11]易平濤.多元信息密度集結算子理論及應用[M].北京：科學出版社，2012.

[12]張小紅，裴道武，代建華.模糊數(shù)學與Rough集理論[M].北京：清華大學出版社，2013.

[13]LIUXW,CHENLH.OnthepropertiesofparametricgeometricOWAoperator[J].InternationalJournalofApproximateReasoning,2004(35)：163-178.

[14]LIUXW.AgeneralmodelofparameterizedOWAaggregationwithgivenornesslevel[J].InternationalJournalofApproximateReasoning,2008(48)：598-627.

Interval valued intuitionistic fuzzy number density weighted operator and its application in decision making

DU Yingxue, CHANG Juan, LIU Weifeng

(School of Science, Zhengzhou University of Aeronautics,Zhengzhou 450015, China)

In multiple attribute decision-making when the attribute value is interval valued intuitionistic fuzzy numbers, we consider the density degree of attribute information distribution, the interval valued intuitionistic fuzzy set data clustering problem. We propose new operator: linear interval valued intuitionistic fuzzy number density weighted averaging middle operator (IIFDWA) and the product of interval value intuitionistic fuzzy number density weighted averaging middle operator (IIFDWGA), which is referred to as the interval valued intuitionistic fuzzy density operator. Finally, the IIFDWA operator and the WAA are applied to the multiple attribute group decision making problems.

multi-attribute decision-making; interval valued intuitionistic fuzzy numbers; Interval valued intuitionistic fuzzy number density operator; clustering

2016-04-06

國家自然科學基金(11501525)；河南省基礎前沿研究計劃項目(152300410126)；河南省教育廳科學技術研究重點項目(14A630017)；鄭州航空工業(yè)管理學院青年科研基金(2014113001)

杜迎雪(1979-)，女，河南許昌人，講師，主要從事應用數(shù)學研究.

C934

A

1674-330X(2016)03-0075-05