Lebesgue-Stieljes積分理論的教學(xué)設(shè)計(jì)

讓光林，　夏鵬程

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢430072)

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Lebesgue-Stieljes積分理論的教學(xué)設(shè)計(jì)

讓光林，夏鵬程

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢430072)

針對L-S積分理論作了一個4課時(shí)較完整的教學(xué)設(shè)計(jì).教學(xué)內(nèi)容包括R-S積分、L-S積分、分部積分公式(鏈?zhǔn)椒▌t)和L-S積分在利率模型中的應(yīng)用，同時(shí)統(tǒng)計(jì)了相應(yīng)的教學(xué)反饋信息.

L-S積分； 分部積分公式(鏈?zhǔn)椒▌t)； 利率模型

1　引　　言

目前，專業(yè)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)面臨著改革的艱巨的任務(wù).過去十年隨著在校人數(shù)的絕對增加，數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)能力相對下降，數(shù)學(xué)教學(xué)的各個教學(xué)環(huán)節(jié)、教材編撰等都隨之做了較大的改變.這一現(xiàn)象可以從復(fù)旦大學(xué)的《概率論》與中山大學(xué)的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》兩套教材的變遷可見一斑，它們都在原來的基礎(chǔ)上不同程度地降低了學(xué)習(xí)的難度，對學(xué)習(xí)難度較大的材料或者刪減或者僅加以適當(dāng)?shù)慕忉尪唤o出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.這樣處理毫無疑問是對的.另外一方面，隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展、國民對教育投入的比例不但加大以及師資力量的增強(qiáng)，具有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)領(lǐng)悟和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的學(xué)生數(shù)目與80、90年代相比絕對增加.這就要求我們必須在數(shù)學(xué)通識教育和數(shù)學(xué)精英教育之間進(jìn)行平衡.一個好的辦法是在普通生源里面通過二次(多次)選拔將非常有數(shù)學(xué)潛力的學(xué)生集中起來，為他們制定專門的教學(xué)大綱、配備優(yōu)秀的師資，小班上課，因材施教.如武漢大學(xué)的數(shù)學(xué)基地班、弘毅班就具有鮮明的特色，我們充分利用自身的優(yōu)勢和國家層面的支持培養(yǎng)出了優(yōu)秀的數(shù)學(xué)專業(yè)人才.具體到課堂教學(xué)，特別是高年級學(xué)生的課堂教學(xué)，他們己經(jīng)具備了基本的分析和解決問題的能力.要充分利用選修課程課堂教學(xué)的靈活性，對教學(xué)材料進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜∩?、合理設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，以達(dá)到增加學(xué)生的知識點(diǎn)、拓寬學(xué)生的思維界限、幫助學(xué)生梳理已獲得的知識線條，從而激發(fā)他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的興趣.

2　R-S積分

設(shè)X是定義在某概率空間(Ω,F,P)上的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為

F(t)=P(X(w)≤t),?t∈R，

(1)

注1極限(1)給出的積分區(qū)域并不包含0，如考慮積分區(qū)域?yàn)?[0，T]，則要加上一項(xiàng)h(0)(F(0)-F(0-)).很顯然當(dāng)F連續(xù)時(shí)，由于任意一點(diǎn)的測度為0，這時(shí)0點(diǎn)是否包含并不改變積分的值.

3　L-S積分

現(xiàn)設(shè)F是 [0，T]上的右連左極有限變差函數(shù)，(a,b]?[0,T]，定義μF((a,b])=F(b)-F(a)，則μF可以擴(kuò)張成波雷爾域B([0,T])上的符號測度，并稱之為由F生成的符號測度.對任意可測集A∈B([0,T])的示性函數(shù)1A，定義積分

例2設(shè)F是在內(nèi)只取[0,T]有限多個值的某離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，

其中0 0,i=0,1,…n-1.由L-S積分定義知

(2)

有

定理1設(shè)A,B均為[0,T]上的右連左極非降函數(shù)，則對任意t∈[0,T]有

(3)

證為了避免使用乘積測度空間，不妨假設(shè)A,B分別為獨(dú)立隨機(jī)變量X,Y的分布函數(shù)，其聯(lián)合分布函數(shù)為A(u)B(v).根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)知

A(t)B(t)-A(t)B(0)-A(0)B(t)+A(0)B(0)=P(0

整理即得此定理得結(jié)論.

注2(3)式可以寫成對稱的形式

(4)

其中，ΔA(s)=A(s)-A(s-)表示A在s處的跳，而且上式最后一項(xiàng)和式至多只有可數(shù)多項(xiàng).任意一個有限區(qū)間上右連左極有限變差函數(shù)A可以分解成兩部分的和A =Ac+Aj，其中

(5)

定理2[2]設(shè)f是C1函數(shù)， A是有限變差函數(shù)，則f(A)也是有限變差，且下式成立

(6)

證顯然f(x)=x結(jié)論成立.現(xiàn)設(shè)結(jié)論對f成立，并令g(x)=xf(x)由分部積分公式(3)知

對最后一行進(jìn)行簡單的整理即得定理對也是成立g(x)的.由此，我們知對所有的多項(xiàng)式定理結(jié)論成立.最后利用多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)知結(jié)論對一切f∈C1均成立.

4　一個應(yīng)用

首先用純跳增過程r={r(t)∶t∈[0,T]},r(0)=0來表示一無風(fēng)險(xiǎn)利率，r(ti)表示在時(shí)間區(qū)間[ti,ti+1)上的利率，i=0,1,…,n-1,0=t0

(7)

上式是中學(xué)生(甚至小學(xué)生)都知道的一個復(fù)利存款公式，實(shí)際上它是如下函數(shù)方程的唯一解:

(8)

注意到，由非降函數(shù)r生成的測度只在{t1,t2,…,tn}諸點(diǎn)上有負(fù)荷，分別為

r(ti)-r(ti-1),i=1,2,…,n.

且Y(t2-)=1+r(t1), 而

=(1+r(t1))(l+r(t2)-r(t1))=(1+Δr(t1))(1+Δr(t2)).

(9)

重復(fù)遞推可知(7)是(8)的解.

接下來設(shè)r在[0,T]上連續(xù)變化，仍然用Y(t)表示初始存入1元到t時(shí)刻的資產(chǎn).我們用逼近的方法計(jì)算Y(t).為此，將區(qū)間[0,r(T)]等分，對應(yīng)區(qū)間的 [0,T]一個劃分0=t0

(10)

由(7)知當(dāng)

(11)

的解.實(shí)際上取f(x)=ex，則f′=ex，使用定理1有

(12)

由此知er(t)是方程(11)的解，后者即為連續(xù)復(fù)利模型，由此可知連續(xù)復(fù)利可以通過分段計(jì)利來逼近.具體的逼近性見定理3的證明.

一般情況下，利率函數(shù)不連續(xù)連續(xù).這時(shí)可將r分解成純跳和連續(xù)兩部分的和，即(5)成立.設(shè)初始存入1元，X(t)表示t時(shí)刻本金加復(fù)利利息收入的和，結(jié)合方程(8)及(11)，我們知X(t)應(yīng)該滿足如下積分方程

(13)

定理3方程(13)存在唯一解，且解可表示如下形式

(14)

證先證唯一性，設(shè)X1,X2是上述方程的兩個有界解，則Z(t)=X1(t)-X2(t)滿足方程

(15)

其中最后一個不等式使用了分部積分公式.反復(fù)利用上式，可得

|Z(t)|≤M(t)rn(t)/n!，

令n→∞由右連左極性質(zhì)知對任意t∈[0,T],Z(t)=0.

對U,V使用分部積分公式得

5　總　　結(jié)

本教案兩次在武漢大學(xué)數(shù)學(xué)基地班、弘毅班選修課程——隨機(jī)過程的教學(xué)中使用過，兩次選課人數(shù)有25人.該課程安排在第7學(xué)期，從教學(xué)效果來看，4學(xué)時(shí)的教學(xué)內(nèi)容對他們前期的積分理論的梳理有非常大的幫助，并澄清了一些模糊的概念，如積分的區(qū)間端點(diǎn)問題;對兩種積分的區(qū)別的認(rèn)識進(jìn)一步加深;從課后反饋的信息得知很多學(xué)生對利率模型非常感興趣，覺得很有趣.教學(xué)內(nèi)容完成后，給每個學(xué)生發(fā)了一張類似[1]的muddiest卡片，讓學(xué)生自行填寫最迷糊的知識點(diǎn)和最有意思的知識點(diǎn)，其中有2人未填寫.以下是相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)，后面的數(shù)字表示人次.

1.最迷糊的知識點(diǎn):區(qū)間端點(diǎn)問題3; 例2. 1的R-S積分的存在性2；分部積分公式的左極限問題5；鏈?zhǔn)椒▌t右邊第三項(xiàng)的求和4；公式(6)3；U,V的分部積分公式的使用2.

[1]Mosteller F.The Muddiest point in the lecture. On teachingand Learning, Harvard-Danforth Teaching Center Newsletter (April)[M]. Cambridge, MA：Harvard University, 1989.

[2]Prottert P. Sochastic Integration and Differential Equations[M]. Berlin: Heidelberg Springer, 2005.

[3]Yor M, Revue D.Continuous Martingale and Brownian Motion Series: Vol 293 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften[M]. Hongkong: Springer, 1999.

A Lecture for L-S Integration

RANG Guang-lin,XIA Peng-cheng

(School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

An L-S integration is given in detail, which is usually omitted in undergraduate courses. It contains R-S integration, L-S integration, integration by parts, chain rules and an application in interest rate model. Also some feedbacks from students for this lecture are listed.

R-S integration; L-S integration; integration by parts; interest rate model

2015-11-09；[修改日期]2016-03-24

武漢大學(xué)2015教學(xué)改革項(xiàng)目(2015JG26)

讓光林(1970-),男，博士，副教授，從事隨機(jī)分析研究.Email:glrang.math@whu.edu.cn

O211.1

C

1672-1454(2016)04-0085-06