一種基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的魯棒波束形成方法

鄧成晨，謝少彪，鄒興，倪濤（.上海衛(wèi)星工程研究所 上海 0040；.上海航天技術(shù)研究所 上海009）

一種基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的魯棒波束形成方法

鄧成晨1，謝少彪2，鄒興1，倪濤1
（1.上海衛(wèi)星工程研究所 上海 200240；2.上海航天技術(shù)研究所 上海201109）

針對(duì)魯棒Capon波束形成算法中采用牛頓迭代求解對(duì)角加載因子時(shí)，運(yùn)算量大且算法旁瓣增益高的問(wèn)題，提出了一種改進(jìn)的穩(wěn)健波束形成算法。首先對(duì)干擾協(xié)方差矩陣進(jìn)行重構(gòu)，然后將重構(gòu)的協(xié)方差矩陣投影到噪聲子空間，使期望信號(hào)導(dǎo)向矢量在噪聲子空間投影最優(yōu)，最后精確求解對(duì)角加載因子。該方法的運(yùn)算量低于RCB算法中牛頓迭代和最差性能最優(yōu)（WCPO）算法中凸規(guī)劃運(yùn)算，并且提高了加載因子的計(jì)算精度。實(shí)際仿真結(jié)果表明，改進(jìn)算法有效克服了信號(hào)方向估計(jì)誤差，具有更低且穩(wěn)定的旁瓣增益，輸出信干噪比性能優(yōu)于現(xiàn)有其他方法。

魯棒波束形成；協(xié)方差矩陣重構(gòu)；對(duì)角加載；導(dǎo)向矢量誤差；方向圖畸變

常規(guī)波束形成算法在導(dǎo)向矢量和協(xié)方差矩陣準(zhǔn)確已知的條件下，可以得到最優(yōu)的輸出信干噪比，但在實(shí)際情況下，導(dǎo)向矢量和采樣協(xié)方差矩陣往往都存在一定的誤差。而較小的誤差便會(huì)引起波束形成性能的嚴(yán)重下降，特別是在訓(xùn)練數(shù)據(jù)中含有目標(biāo)信號(hào)時(shí)，這種現(xiàn)象更為明顯［1-2］。目前其解決辦法多數(shù)集中在針對(duì)訓(xùn)練序列中改善數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣特性，而這類方法的代表則是對(duì)角加載技術(shù)。對(duì)角加載技術(shù)發(fā)展至今已經(jīng)涌現(xiàn)了大量的自適應(yīng)求解加載因子方法。其中，以Jian.L［3-5］為代表，首次提出了基于信號(hào)方向矢量球面不確定集約束的魯棒波束形成（RCB）算法，這給穩(wěn)健波束形成算法提供了新的求解思路。該類算法將期望信號(hào)導(dǎo)向矢量約束于各種不確定集中，包括多錐面不確定集［6］、球形不確定集［7-9］、橢球體不確定集［10-13］等，然而諸多方式要么采用牛頓法進(jìn)行反復(fù)迭代，要么借助數(shù)學(xué)工具——凸規(guī)劃來(lái)求解，使得算法計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，計(jì)算量大大增加，不利于工程實(shí)現(xiàn)。

針對(duì)上述問(wèn)題，本章提出了一種新的穩(wěn)健波束形成方法，首先對(duì)干擾協(xié)方差矩陣進(jìn)行重構(gòu)，并將重構(gòu)協(xié)方差矩陣投影到噪聲子空間，使期望信號(hào)導(dǎo)向矢量在噪聲子空間投影最優(yōu)，并精確求解對(duì)角加載因子λ。該方法的運(yùn)算量低于現(xiàn)有的牛頓迭代法和凸規(guī)劃法，提高了加載量λ的計(jì)算精度。

1　魯棒Capon波束形成（RCB）算法

Capon波束形成器的最優(yōu)權(quán)重向量為

式（1）RX表示采樣協(xié)方差矩陣，a為期望信號(hào)導(dǎo)向矢量，ωopt表示輸出權(quán)矢量。從式（1）可知，權(quán)重向量的求解需要準(zhǔn)確的知道信號(hào)的方向向量，但在實(shí)際的環(huán)境中，信號(hào)方向向量往往會(huì)存在偏差，波束形成器的性能會(huì)急劇下降［1］。魯棒Capon波束形成算法代價(jià)函數(shù)為［3］

式（2）的最優(yōu)解是利用Lagrange因子的方法求解得到方向向量的估計(jì)值為

式（3）中，λ為L(zhǎng)agrange因子，且λ＞0。從上式可以看出，求取最優(yōu)導(dǎo)向矢量a?的關(guān)鍵在于加載因子λ的求解。為此，把式（3）代入式（2）的約束條件中，可得

對(duì)R進(jìn)行特征分解RX=UΛUH，其中U為特征向量矩陣，Λ為特征值矩陣，令

將式（3）、式（5）代入式（4）可得

式（6）給出了λ的求解方程，λ的求取采用牛頓迭代法。然而，這一運(yùn)算過(guò)程收斂速度較慢，增加了計(jì)算復(fù)雜度。下面本文將提出一種新的穩(wěn)健方法，精確自適應(yīng)計(jì)算加載因子。

2　改進(jìn)的穩(wěn)健Capon波束形成算法

2.1改進(jìn)算法的基本原理

眾所周知，當(dāng)接收數(shù)據(jù)中包含期望信號(hào)分量時(shí)，自適應(yīng)波束形成器主瓣性能將會(huì)降低，如果能將期望信號(hào)分量從接收數(shù)據(jù)中濾除，就可以提高算法的魯棒性?；谶@一思想，文獻(xiàn)［14］提出了一種干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)方法。干擾加噪聲協(xié)方差重構(gòu)矩陣表示如下

式中，RX為采樣數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，a（θ）為導(dǎo)向矢量，R?i+n為重構(gòu)后的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，Ω為波束旁瓣區(qū)間 （保證主瓣不在此區(qū)域）。這樣通過(guò)重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，期望信號(hào)得到濾除，降低了大信噪比下波束主瓣增益的損失。但對(duì)于導(dǎo)向矢量誤差，算法的性能并沒(méi)有得到改善。為此，本文將引入不確定集約束的思想，基于RCB算法約束方程來(lái)求解最優(yōu)導(dǎo)向矢量。首先，利用式（7）求解重構(gòu)后的協(xié)方差矩陣R?i+n代替約束方程式（2）中的RX，那么最優(yōu)化問(wèn)題可描述成如下

在進(jìn)行分析之前，假定天線陣接收端總共有p+1＆lt;M個(gè)信號(hào)源，對(duì)重構(gòu)的協(xié)方差矩陣R?i+n進(jìn)行矩陣特征分解，則有

式（9）中，γ1≥γ2≥…γP+1≥γP+2≈…γM=δ2M表示R?i+n對(duì)應(yīng)的M個(gè)特征值，ΛS=diag（γ1，γ2，…γP+1）和ΛN=diag（γP+2，…γM）分別為對(duì)應(yīng)的特征值組成的對(duì)角陣US=［u1，u2，…uP+1］，UN=［uP+2，…uM］分別為信號(hào)子空間和噪聲子空間，ui表示對(duì)應(yīng)的特征向量。

根據(jù)矩陣特征分解理論，實(shí)際上信號(hào)導(dǎo)向矢量aˇ由信號(hào)子空間生成。因此aˇ可以表示成信號(hào)子空間Us的各列向量的線性組合

上式中a表示組合系數(shù)組成的列向量。把上式代入式（9）中，可得

由于UHSUS=I，而由于γ1≥式（11）中，ΛN=δM2I。這樣上述最優(yōu)化問(wèn)題可以進(jìn)一步描述成如下形式

其中，δ2M表示噪聲功率。由于真實(shí)的導(dǎo)向矢量aˇ模值為根據(jù)矩陣與向量范數(shù)相容性理論，‖USα‖V滿足‖USα‖V=‖US‖F(xiàn)×‖α‖2。由于‖US‖F(xiàn)等價(jià)Tr（UHSUS）1/2，因此向量α的范數(shù)滿足這里值得注意的是僅僅與陣列天線陣元數(shù)目相關(guān)，因此式（13）可以描述成如下形式

采用Lagrange因子的方法求解上式，可得最優(yōu)導(dǎo)向矢量如下

這樣問(wèn)題的關(guān)鍵就轉(zhuǎn)變成Lagrange因子的求取。將式（14）代入式（13）中的約束方程，則

由于信號(hào)子空間US和噪聲子空間UN滿足UNUHN+USUHS= I，因此，對(duì)式（15）中進(jìn)行變換

將（16）代入（15），求解λ得：

這樣便得到了不確定約束集下λ的準(zhǔn)確閉式解，將式（17）代入式（14）求得最優(yōu)導(dǎo)向矢量ˇ。至此，干擾加噪聲協(xié)方差矩陣R?i+n及最優(yōu)導(dǎo)向矢量都得到求解。將其代入Capon波束形成器權(quán)值表達(dá)式，最終求得改進(jìn)算法的最優(yōu)權(quán)值。

從改進(jìn)算法的推導(dǎo)過(guò)程可知，改進(jìn)算法首先需要對(duì)干擾協(xié)方差矩陣進(jìn)行重構(gòu)，并將重構(gòu)協(xié)方差矩陣投影到噪聲子空間，使期望信號(hào)導(dǎo)向矢量在噪聲子空間投影最優(yōu)，并采用式（17）精確求解對(duì)角加載因子。顯然，該方法的運(yùn)算量低于牛頓法，提高了加載量λ的計(jì)算精度。

2.2改進(jìn)算法實(shí)現(xiàn)步驟

既然改進(jìn)算法已經(jīng)得到了準(zhǔn)確的閉式解，因而很容易得出其計(jì)算步驟，這里需要注意的是，新的穩(wěn)健算法需要準(zhǔn)確知道噪聲子空間的維數(shù)。因此當(dāng)干擾信號(hào)功率較強(qiáng)時(shí)，可以由協(xié)方差矩陣特征值的大小來(lái)準(zhǔn)確分離出信號(hào)子空間和噪聲子空間；當(dāng)干擾信號(hào)功率較弱時(shí)，由于協(xié)方差矩陣特征值差異模糊，無(wú)法直接判斷，這時(shí)則可以通過(guò)信源估計(jì)方法［15］。改進(jìn)的穩(wěn)健算法實(shí)現(xiàn)步驟如下

3）利用式（17）求解Lagrange因子λ；

3　數(shù)字仿真及分析

仿真中，采用50陣元的均勻線陣，并設(shè)定陣元間距固定為半波長(zhǎng)。兩個(gè)干擾信號(hào)來(lái)波方向分別為-60°和40°，其干噪比分別為40 dB和50 dB，假定期望信號(hào)來(lái)波方向?yàn)?°。改進(jìn)算法中設(shè)定期望信號(hào)主瓣區(qū)間Ψ=［-3°，3°］，干擾區(qū)間Ω=［-90°，-3°］∪［3°，90°］。以下所有仿真結(jié)果均是基于200次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)一：最優(yōu)導(dǎo)向矢量估計(jì)對(duì)波束主瓣影響分析

首先，假定期望信號(hào)真實(shí)來(lái)波方向?yàn)棣?2°，這樣也就意味著導(dǎo)向矢量方向誤差為2°。將本文算法和標(biāo)準(zhǔn)Capon算法（SCB）、WCPO算法、RCB算法進(jìn)行對(duì)比，如圖1所示。其中圖1為4種不同算法波束方向圖，圖2為圖1中主瓣區(qū)域局部放大圖。圖中可以看到，SCB方法在真實(shí)期望信號(hào)方向θ=2°上形成凹陷，而最差性能最優(yōu)（WCPO）方法、RCB算法和本文算法均在此方向上形成峰值。這主要原因是SCB算法并未采取任何對(duì)協(xié)方差矩陣補(bǔ)償措施，而其他3種方法均采用自適應(yīng)對(duì)角類優(yōu)化方法，可以較好地估計(jì)最優(yōu)導(dǎo)向矢量，從而在真實(shí)期望信號(hào)方向上形成主瓣峰值，以保證期望信號(hào)最大化被保留。

圖1　指向誤差為θ=2°時(shí)波束圖對(duì)比

圖2　圖1中主瓣局部放大

實(shí)驗(yàn)二：快拍數(shù)、輸入信噪比、主瓣寬度對(duì)波束旁瓣的影響

圖3　輸入信噪比對(duì)波束旁瓣的影響

將采樣快拍數(shù)固定為L(zhǎng)=50，輸入信噪比分別設(shè)為-10 dB、0 dB、10 dB、20 dB的條件下，對(duì)比本文算法在不同輸入信噪比下波束方向圖幫幫性能的變化情況，如圖3所示。從仿真結(jié)果可以看到，隨著輸入信噪比的增加，波束旁瓣增益略微有所變化，但基本維持在相對(duì)穩(wěn)定的較低增益。這表明本文算法的波束旁瓣對(duì)輸入信噪比的變化并不敏感，從而針對(duì)較大輸入信噪比時(shí)，仍具有良好的低旁瓣增益。

圖4　快拍數(shù)對(duì)波束旁瓣的影響

圖4為固定輸入信噪比為0 dB時(shí)，快拍數(shù)分別為10，20，50，100情況下，本文算法的波束方向圖對(duì)比。仿真結(jié)果可以看到，波束方向圖的旁瓣隨著快拍數(shù)增加而趨于穩(wěn)定，且維持較低的增益。當(dāng)快拍數(shù)不足時(shí)，旁瓣增益明顯較大，然而隨著快拍數(shù)增加到50時(shí)，波束旁瓣增益已經(jīng)趨于穩(wěn)定?？炫臄?shù)不足時(shí)，由于采樣點(diǎn)數(shù)的缺失，而采樣數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣得不到有效補(bǔ)償，從而波束圖旁瓣增益較大。

固定輸入信噪比0 dB、快拍數(shù)50時(shí)，針對(duì)協(xié)方差矩陣重構(gòu)中波束主瓣區(qū)域選擇不同的主瓣寬度進(jìn)行仿真，如圖5所示。如圖所示，實(shí)驗(yàn)中，對(duì)采樣協(xié)方差矩陣重構(gòu)時(shí)，分別選擇主瓣寬度為2、4、6、8。從仿真結(jié)果可以看出，隨著波束主瓣寬度變寬，波束旁瓣增益降低，旁瓣逐漸變小。因此可以通過(guò)改變主瓣寬度來(lái)優(yōu)化旁瓣特性。

圖5　主瓣寬度對(duì)旁瓣的影響

實(shí)驗(yàn)三：輸入信噪比、波束指向偏差、快拍數(shù)對(duì)輸出信干噪比（SINR）的影響

實(shí)驗(yàn)中，將本文算法與SCB、常規(guī)對(duì)角加載（LSMI）、WCPO、RCB算法進(jìn)行對(duì)比。圖6為輸入不同SNR對(duì)輸出SINR影響。仿真中固定采樣快拍數(shù)50，并考慮指向誤差θ=2°。本文算法選擇波束旁瓣區(qū)間Ω=［-90°，-3°］∪［3°，90°］。LSMI算法中采用常用對(duì)角因子λ=10δ2M，其中δ2M=1表示噪聲方差。

圖6　輸入SNR對(duì)輸出SINR的影響

從圖6仿真結(jié)果可以看出，所有5種算法在低輸入信噪比時(shí)，性能接近或一致，尤其是在輸入SNR為 0 dB以下時(shí)，更為明顯。當(dāng)輸入信噪比逐漸增大時(shí)，SCB算法輸出SINR最先下降，主要原因期望信號(hào)的存在對(duì)波束性能造成嚴(yán)重影響。LSMI算法采用固定的對(duì)角載入因子作為對(duì)協(xié)方差矩陣的補(bǔ)償，性能要優(yōu)于SCB，但隨著信噪比增大，其補(bǔ)償因子不能實(shí)時(shí)調(diào)整，因而造成輸出信干噪比性能也急劇下降。WCPO算法和RCB算法均采用基于球形不確定約束方法，對(duì)指向偏差進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)，因而克服了波束指向誤差帶來(lái)的問(wèn)題，從而其輸出 SINR性能相對(duì)較好，均優(yōu)于傳統(tǒng)的 SCB和WCPO方法。本文算法基于不確定集約束的思想上，實(shí)現(xiàn)采樣數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的重構(gòu)，因而去除了期望信號(hào)對(duì)波束性能的影響，從而獲取了最好的輸出信干噪比性能。

圖7　采樣快拍數(shù)對(duì)輸出SINR的影響

圖7給出了采樣快拍數(shù)對(duì)波束輸出信干噪比的影響。仿真中固定輸入信噪比SNR=0 dB，其他條件不變。從仿真結(jié)果中可以看到，當(dāng)采樣快拍數(shù)不足（快拍數(shù)小于50）時(shí)，5種算法性能均較差，此時(shí)，本文算法與RCB、WCPO算法性能接近一致，并優(yōu)于LSMI和SCB方法。隨著快拍數(shù)的增加，5種算法輸出SINR性能均有所增加，其中WCPO和RCB性能接近，且均優(yōu)于LSMI和SCB算法，緣于二者都采用了自適應(yīng)補(bǔ)償對(duì)角加載因子，而本文算法輸出SINR性能均優(yōu)于其他4種方法，且接近于理想值。

圖8　波束指向誤差對(duì)輸出SINR影響

圖8反映了波束指向偏差對(duì)輸出SINR性能影響。仿真中固定輸入信噪比SNR=0 dB，采樣快拍數(shù)50，指向誤差由0°至6°。觀察仿真結(jié)果，可知隨著波束指向誤差的增大，5種算法輸出SINR均有所下降；但就整體趨勢(shì)來(lái)講，SCB性能下降最陡峭，對(duì)波束指向誤差最為敏感；其次是LSMI算法，雖然采用固定對(duì)角載入因子作為補(bǔ)償，但不能實(shí)時(shí)跟蹤并估計(jì)最優(yōu)導(dǎo)向矢量；緊接著WCPO和RCB算法對(duì)指向誤差具有較好的魯棒性，這依然歸功于其自適應(yīng)最優(yōu)導(dǎo)向矢量估計(jì)；而本文算法性能雖然有所下降，但下降很緩慢，且始終優(yōu)于其他幾種算法，因而對(duì)指向誤差具有很強(qiáng)的魯棒性。

4　結(jié)　論

針對(duì)信號(hào)方向估計(jì)誤差波束方向圖畸變問(wèn)題，提出了一種基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健波束形成算法。該方法首先對(duì)干擾協(xié)方差矩陣進(jìn)行重構(gòu)，并將重構(gòu)協(xié)方差矩陣投影到噪聲子空間，使期望信號(hào)導(dǎo)向矢量在噪聲子空間投影最優(yōu)，并精確求解對(duì)角加載因子。該方法的運(yùn)算量低于RCB和WCPO，因而比RCB和WCPO方法具有更簡(jiǎn)單的處理流程，運(yùn)算量也大大減少。最后，針對(duì)新的穩(wěn)健算法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)仿真。仿真結(jié)果表明新的穩(wěn)健算法性能優(yōu)于現(xiàn)有的其他主流算法。

［1］張曉飛.陣列信號(hào)處理理論和應(yīng)用［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2010.

［2］Hongtao L I，Chen C，Zeng W，et al.Steering vector estimation based robust adaptive beamforming algorithm［J］.Chinese Journal of Radio Science，2015.

［3］Li J and Stoica P.On robust capon beamforming and diagonal loading［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51（7）:1702-1715.

［4］Stoica P，Wang Z，Li J.Robust Capon beamforming［J］.IEEE Signal Processing Letters，2002，1（6）:172-175.

［5］Li J，Stoica P，Wang Z S.Doubly constrained robust capon beamformer［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2004，52（9）:2407-2423.

［6］Wu S Q，Zhang J Y.A new robust beamforming method with antenna calibration errors［C］.IEEE Wireless Communications and Networking Conference，New Orleans，L A，USA，1999，2:869-872.

［7］Vorobyov S A，Gershman A B，Luo Z Q.Robust Adaptive beamforming using worst-case performance optimization via second-order cone programming［C］.In Proc.ICASSP Orlando，F(xiàn)L，2002:2901-2904.

［8］Vorobyov S A，Gershman A B，Luo Z Q.Robust adaptive beamforming using worst case performance optimization:Asolution to the signal mismatch problem［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51（2）:313-323.

［9］林靜然，彭啟琮，邵懷宗.一種具有雙重魯棒性的自適應(yīng)波束形成算法［J］.電子測(cè)量與儀器學(xué)報(bào)，2007，21（2）:10-14.

［10］Robert G L，Stephen P B.Robust minimum variance beamforming［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2005，53 （5）:1684-1696.

［11］Amir B，Yonina C E.Doubly constrained robust Capon beamformer with ellipsoidal uncertainty sets［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2007，55（2）:753-758.

［12］劉聰鋒，廖桂生.基于模約束的穩(wěn)健Capon波束形成算法［J］.電子學(xué)報(bào)，2008，36（3）:440-445.

［13］林靜然，彭啟琮，邵懷宗，等.最壞情況下的魯棒自適應(yīng)波束形成算法性能分析［J］.電子學(xué)報(bào)，2006，34（12）:2161-2166.

［14］Kim Y L，Pillai S U，Guerci J R.Optimal loading factor for minimal samplesupport space-timeadaptiveradar［A］. Proceedings of the 1998 IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing，USA，1998:12-15.

［15］莊學(xué)彬，陸明泉，馮振明.一種數(shù)值穩(wěn)健且低復(fù)雜度的信號(hào)子空間估計(jì)新方法［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2011，33（1）:90-94．

A robust beamforming algorithm based on covariance matrix reconstruction

DENG Cheng-chen1，XIE Shao-biao2，ZOU Xing1，NI Tao1
（1.Shanghai Institute of Satellite Engineering，Shanghai 200240，China；2.Shanghai Academy of Spaceflight Technology，Shanghai 201109，China）

In view of the robust Capon beamforming algorithm，the Newton iterative method is utilized to obtain the diagonal loading factor，which leads to problems of large amount of computation and high side lobe gain.This paper propose new robust beamforming algorithm.Firstly，the interference covariance matrix is reconstructed，and then the reconstructed covariance matrix is projected to the noise subspace，so that the optimum projection of the desired signal steering vector in the noise subspace can be achieved，and the diagonal loading factor is accurately solved.The computation of the proposed algorithm is less than RCB and WCPO method，which improve calculation accuracy of the load factor.Practical simulation results show that the proposed method overcomes the problem of signal direction estimation errors effectively，has a lower beam side-lobe gain than RCB and WCPO algorithm，and outcomes other existing methods.

robust beamforming；covariance matrix reconstruction；diagonal loading；steering vector error；beam pattern distortion

TN911

A

1674－6236（2016）11-0021-05

2016-03-03稿件編號(hào)：201603032

航天科技創(chuàng)新基金（CASC2015021）

鄧成晨（1986—），男，江蘇鹽城人，碩士，工程師。研究方向：衛(wèi)星總體方案設(shè)計(jì)。