羅素的替代理論

鄭偉平

廈門大學(xué)哲學(xué)系

zhengweiping@xmu.edu.cn

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羅素的替代理論

鄭偉平

廈門大學(xué)哲學(xué)系

zhengweiping@xmu.edu.cn

在1903年到1908年間，羅素提出、發(fā)展并最終放棄了一種悖論解答方案——替代理論。羅素從摹狀詞理論中得到啟示：悖論源自虛假抽象。替代理論的基本概念“替代”可以避免虛假抽象，通過使用替代運(yùn)算來定義類和自然數(shù)，替代理論在一定程度上獲得了成功。然而替代悖論的發(fā)現(xiàn)促使羅素最終放棄了替代理論，并走向了分支類型論。

羅素悖論；替代理論；類型論

在1901年羅素悖論被發(fā)現(xiàn)以后的十年時間里，羅素一直致力于解決羅素悖論，以實現(xiàn)其邏輯主義理想。在1903年出版的《數(shù)學(xué)原則》一書中，羅素提出了解決羅素悖論的最初方案——簡單類型論。在1910年出版的《數(shù)學(xué)原理》一書中，羅素又提出了著名的分支類型論。鮮有人知的是，在1903到1910年間，羅素還提出了一個替代理論。與類型論強(qiáng)調(diào)變元有類型區(qū)分不同，替代理論中變元是沒有類型區(qū)分的。羅素這一思想進(jìn)程（“簡單類型論—替代理論—分支類型論”）遵循了“正反合”的規(guī)律，體現(xiàn)了羅素在解決悖論問題時思想的一波三折。是什么原因促使羅素最終放棄替代理論而發(fā)展出分支類型論？替代理論與羅素同時期的摹狀詞理論有何關(guān)系？這些都是羅素研究和邏輯史研究的重要主題。

羅素采用和放棄替代理論的關(guān)鍵都是邏輯悖論的存在。本文致力于提供一副羅素替代理論的基本圖景1在羅素研究領(lǐng)域，國外學(xué)者已經(jīng)對此主題進(jìn)行了一些研究。但是國外學(xué)者，例如蘭蒂尼，在討論羅素替代理論的時候缺乏足夠的羅素文本支持，導(dǎo)致不易區(qū)分研究者觀點與羅素觀點，且理論出發(fā)點不同導(dǎo)致他們的敘述方式對于接受標(biāo)準(zhǔn)邏輯教科書訓(xùn)練的國內(nèi)讀者是不容易掌握的。具體可以參見［3］。，擬分為三部分：第一部分介紹羅素替代理論的背景——命題悖論的產(chǎn)生導(dǎo)致羅素放棄簡單類型論；第二部分描述替代理論的基本理念和核心概念，以及羅素對類和自然數(shù)的定義，力圖闡明替代理論能夠回避導(dǎo)致悖論產(chǎn)生的虛假抽象；第三部分根據(jù)羅素手稿和現(xiàn)代邏輯的標(biāo)準(zhǔn)記法給出替代悖論的形式證明，并指出替代悖論的出現(xiàn)是導(dǎo)致羅素最終放棄替代理論的根本原因。

1　命題悖論與虛假抽象

羅素認(rèn)為一個令人滿意的悖論解決方案必須滿足以下三個條件：“第一是絕對必要的，那就是這些矛盾必須消失。第二個條件最好具備，雖然在邏輯上不是必需的，那就是，這個解決應(yīng)該盡可能使數(shù)學(xué)原封不動。第三個條件不容易說得正確，那就是，這個解決仔細(xì)想來應(yīng)該契合一種東西，我們姑且稱之為‘邏輯的常識’，那就是說它最終應(yīng)該是我們一直期待的?！保ǎ?］，第70頁）簡單類型論之所以不是一個令人滿意的悖論解答方案，就在于它無法滿足第一個條件——解決悖論。

在《數(shù)學(xué)原則》附錄B中，羅素提出了一個簡單類型論所無法解答的悖論——“命題悖論”（［4］，第527頁）。對于每一個實體x，我們可以合法地得到一個命題x=x，也就是說我們可以在實體和命題之間建立一種一一對應(yīng)關(guān)系，由此我們可以說命題的數(shù)目和實體的數(shù)目一樣多。但是在《數(shù)學(xué)原則》中，羅素把命題看作是一種單獨(dú)的類型，我們可以把所有的命題收集起來構(gòu)成一個類。根據(jù)康托爾的觀點，集合冪集的基數(shù)要大于該集合的基數(shù)，即一個集合中元素的數(shù)目要小于該集合子集的數(shù)目。由于在《數(shù)學(xué)原則》中類是實體，所以命題冪集的數(shù)目總是等于命題類的數(shù)目，這就違反了康托爾定理。

這個“命題悖論”可以表述如下：

假設(shè)M是一個命題類，那么命題“M中的每一個m是真的”或者是M的一個元素，或者不是M的一個元素。

考察一個類W，W由這樣一些命題組成，這些命題斷定了某個特定的命題類中所有命題的真，但這些命題自身又不是該命題類的元素。W的形式化表述如下：

在這個式子中，值得注意的是，“M 中所有的命題皆為真”就是用?m((m∈M)?m)來表述的。

(1)考察命題p，p斷定了W中所有的命題都是真的，即p=?r((r∈W)?r)，我們可以問p是W中的一個元素嗎？

(2)如果p是W中的一個元素，那么根據(jù)W的定義，p不是W中的一個元素。

(3)如果p不是W中的一個元素，那么p滿足了W的定義，p是W中的一個元素。矛盾！

1906年，羅素發(fā)表文章《論超窮數(shù)理論和有序類型理論的某些困難》（［7］）。在文中，羅素拋棄了簡單類型論，并給出了他為解決悖論所提供的三個方案：1、曲折理論（Zigzag Theory，也稱為“之字形理論”）2羅素在1906年三月十五日給尤爾丹的信中給出了“曲折理論”這個提法，但是唯一討論到這個理論的已出版文獻(xiàn)就是1906年的《論超窮數(shù)理論和有序類型理論的某些困難》這篇文章。；2、限制大小理論（The Theory of Limitation of Size）；3、無類理論（The No-Class Theory）。正如哥德爾指出的，“羅素自己后來關(guān)于解決悖論的工作，并沒有按照自己指出的第一和第二個方向去做，而在很大程度上是建立在更激進(jìn)的想法，即‘無類理論’之上的。”（［1］，第453頁）羅素之所以選擇無類理論，一個簡單的思路是：類引發(fā)了悖論（例如“那個由不包含自身的類所組成的類”就是羅素悖論根源），那么只要我們不再把類當(dāng)作對象，而是當(dāng)作某種邏輯構(gòu)造，就可以排除此類悖論。但是由于無類理論也未能逃脫悖論的困擾，羅素不得不重新反思悖論的起源問題，并放棄了悖論源自“虛假抽象”的最初觀點。在彭加萊提出了悖論來自于“自我指稱”（self-reference）這個觀點之后，羅素開始承認(rèn)類型區(qū)分的必要性，并最終走向了分支類型論。

羅素在1906年3月給尤爾丹（Jourdain）的一封信中寫道：

在1904年六月左右，我努力要來構(gòu)造一個與現(xiàn)有理論類似的替代理論。但我由于缺少指謂理論而失敗了，另外我也未能區(qū)分開用一個常項去替代一個常項，以及用一個常項來對一個變元進(jìn)行賦值……在去年秋天，作為一個新指謂理論的影響，我最終發(fā)現(xiàn)替代依然是有效的，并且所有一切都變得豁然開朗起來。（［2］，第79頁）

從1903年到1906年，羅素都在認(rèn)真考慮如何在沒有變元限制的情況下構(gòu)造出一種可用以推出數(shù)學(xué)的邏輯，同時這種邏輯又能避免羅素悖論。在《數(shù)學(xué)原則》出版之后，羅素開始認(rèn)真研究其邏輯主義的共同戰(zhàn)友弗雷格的著作。從羅素在1903到1904年期間寫作的手稿的命名3這些手稿包括《函數(shù)與對象》、《論意義與指謂》、《論語詞的意義與指謂》，它們都被編入來看，羅素很重視弗雷格的工作。這一時期甚至可以稱為是羅素的“弗雷格主義時期”。這一時期羅素的工作重點是希望從弗雷格的邏輯主義中尋找到一些解決羅素悖論的啟示。

雖然羅素反對弗雷格在《函數(shù)與對象》一文所持有的觀點，即函數(shù)是不完全的，但是羅素同樣受到了這種不完全的函數(shù)觀念的重要影響，其直接結(jié)果就是羅素提出了“不完全符號”（Incomplete Symbol）概念。而1905年的《論指稱》一文4關(guān)于1905年的《論指謂》一文，有兩點評論：第一、國內(nèi)的研究大多只是就文談文，沒有把《論指謂》放在羅素悖論研究和邏輯主義規(guī)劃的大背景下來理解，導(dǎo)致了《論指謂》的出現(xiàn)成為一個很突兀的事情；第二、《論指謂》一文的腳注表明該文的主題延續(xù)了《數(shù)學(xué)原則》一書中的相關(guān)主題的研究，因此該文是羅素邏輯主義研究的一個發(fā)展階段。對此主題的討論詳見［11］。也正是這種思路影響下的產(chǎn)物。

在“四的平方根是偶數(shù)”這個命題中，主項是“四的平方根”，但是這個命題實際上是關(guān)于2的一個命題。根據(jù)弗雷格的觀點，“四的平方根”起到了專名的作用，它的意謂是2。羅素反對這種觀點，羅素的研究成果是“四的平方根”表達(dá)了比2的專名“2”更多的東西，或者說它并不是一個專名。羅素進(jìn)一步的結(jié)論是“四的平方根”是一個不完全符號。不完全符號的出現(xiàn)給了羅素解決悖論的全新思路：除了摹狀詞，類、關(guān)系和函數(shù)也被看作是不完全符號。羅素從摹狀詞理論中學(xué)到的教訓(xùn)是：

在任何句子中，一個單一的語詞，或者一個單一的短語，當(dāng)它從語境中被分離出來時，它往往就失去了意義。在這種情況下，如果一個語詞或短語被錯誤地當(dāng)作擁有一個獨(dú)立意義，我們稱之為“虛假抽象”（False Abstraction），悖論和矛盾就是這么來的。（［7］，第165頁）

我所提倡的理論是類、關(guān)系、數(shù)，以及數(shù)學(xué)處理的幾乎所有東西，都是虛假抽象。（［7］，第166頁）

羅素的這一段論述應(yīng)加以足夠的重視，因為它實際上給出了替代理論的哲學(xué)依據(jù)，也給出了悖論形成的原因。這段論述的觀點總結(jié)如下：

(1)離開語境的語詞或短語是沒有意義的；

羅素的這種觀點和弗雷格的語境原則如出一轍，這也是分析哲學(xué)的重要方法論。語境原則中的“語境”一般指的是命題，或者句子。羅素的這種觀點其實是對其1900年把命題分析作為哲學(xué)研究起點的觀點的進(jìn)一步發(fā)展，隨著羅素邏輯思想的成熟，以命題為核心的思考方式也愈發(fā)完善。

《羅素全集》第四卷，詳見［9］。

為什么羅素會認(rèn)為單獨(dú)出現(xiàn)的語詞沒有意義呢？因為羅素通過考察摹狀詞得出結(jié)論：日常專名并不是一個實體的名字，與此同時一個語詞的意義就是該語詞的指稱。在《論指稱》一文中，羅素還得出了重要結(jié)論——“這就是我想提倡的指稱理論的原則：指稱詞組本身絕不具有任何意義，但在語詞表達(dá)式中出現(xiàn)指稱詞組的每個命題都有意義”（［6］，第480頁）。因此在羅素看來，語詞只有在命題語境下加以考察才是有意義的，否則是無意義的。

(2)一個語詞或短語如果被錯誤地當(dāng)作擁有一個獨(dú)立意義，則將導(dǎo)致“虛假抽象”；

一個語詞或短語被當(dāng)作擁有一個獨(dú)立意義即表明該語詞或短語的指稱是對象，或?qū)嶓w。對于這一觀點，羅素在《論指稱》中已經(jīng)給予了激烈的批評，因為這種觀點會引起空專名問題，或者空摹狀詞問題，甚至是悖論問題。按照羅素的觀點，語詞或短語是沒有指稱的，羅素的依據(jù)是：任何不完全符號都是沒有獨(dú)立意義的。這種立場在日常語言下很難被察覺，例如，人們很難看出，為什么“柏拉圖的老師”這個摹狀詞沒有意義，而不指向某個被稱作“蘇格拉底”的實體？對此，羅素在《論指稱》中為我們提供了答案：日常命題在翻譯為邏輯命題之后，原先日常命題中的摹狀詞都消失了。

(3)矛盾和悖論的來源是虛假抽象；

羅素清晰地表述了矛盾和悖論的來源就在于我們把一個短語或語詞當(dāng)作擁有獨(dú)立意義，即擁有某個指稱。而這顯然不同于羅素1908年所承認(rèn)的“自我指稱”是悖論的起因的觀點。在羅素看來，悖論和矛盾之所以會出現(xiàn)，就在于我們單獨(dú)地考察了某些會引發(fā)悖論的類或函數(shù)。如果我們認(rèn)識到它們只是“虛假抽象”，認(rèn)識到它們出現(xiàn)在其中的句子的真實意義，那么便能避免悖論的出現(xiàn)，進(jìn)而實現(xiàn)邏輯主義目標(biāo)。如果假設(shè)一個短語或語詞都擁有一個獨(dú)立意義，即都有一個實體作為其指稱，那么該語詞所指示的實體便可以作為變元的值出現(xiàn)在某些命題函數(shù)之中。當(dāng)我們使用“那個由所有不屬于自身的類所組成的類”這個短語時，按照虛假抽象的觀點，人們認(rèn)為它有一個實體作為其意義。

(4)類、關(guān)系、數(shù)以及數(shù)學(xué)處理的幾乎所有東西，都是虛假抽象。

羅素認(rèn)為一個完善的悖論解答方案應(yīng)該滿足三個條件：1、悖論必須消失；2、數(shù)學(xué)原樣不動；3、符合邏輯常識。（［5］，第70頁）而觀點(4)表明了數(shù)學(xué)在實質(zhì)上是構(gòu)造出來的，更具體地說是邏輯構(gòu)造出來的，因為類、關(guān)系、函數(shù)和數(shù)等這些數(shù)學(xué)處理的對象在羅素看來都是邏輯可構(gòu)造的。例如在羅素的替代理論中，類被看作是一種不完全符號p/a，它是沒有單獨(dú)意義的，它只有作為一個整體的一部分才獲得了意義。這種構(gòu)造數(shù)學(xué)的想法遭致了很多人的批評，因為它改變了數(shù)學(xué)的涵義。例如幾何學(xué)的直觀意義看上去就被改變了。哥德爾批評道，“為了實施這個方案，人們勢必預(yù)設(shè)算術(shù)，而這種算術(shù)不過證明了甚至這種有限的邏輯都不能建立在無物之上?！保ǎ?］，第457頁）

從以上論述和引文中，我們很清楚地看到了羅素的思想進(jìn)程：發(fā)現(xiàn)命題悖論——放棄簡單類型論——發(fā)展指謂理論——創(chuàng)立不完全符號理論——尋找替代理論。

2　替代理論的基本理念

在替代理論中，羅素首先區(qū)分了兩個重要的概念：對應(yīng)于命題函數(shù)的指派（Determination）和對應(yīng)于替代理論的替代（Substitution）。前者把一個常項指派為一個變元的值，后者用一個常項去替代另一個常項或變元。羅素認(rèn)為這兩者適用于不同的問題。指派適用于回答“當(dāng)x=3時，x2+x+2的值是什么”或者“假設(shè)x=蘇格拉底，我們能從‘如果x是人，那么x是有死的’得到什么樣的命題”（［7］，第167頁）這類問題，顯然指派指的是對命題函數(shù)中的變元進(jìn)行賦值。而替代則適合于回答“柏拉圖是一個哲學(xué)家，并且蘇格拉底也是一樣的”（［7］，第167頁）這樣的問題。當(dāng)羅素說“蘇格拉底也是一樣的”時，意思是蘇格拉底是一個哲學(xué)家。這是用“蘇格拉底”去替換命題“柏拉圖是一個哲學(xué)家”中的“柏拉圖”得到的新命題?？梢娞娲ǔＪ侵冈谝粋€命題中用一個常項去替代另一個常項，但它同樣適于用常項去替代一個命題函數(shù)中的變元。羅素認(rèn)為指派與替代之間的區(qū)分在面對命題函數(shù)的時候不是很清楚。例如，對于“x是一個哲學(xué)家”，在對x指派蘇格拉底或x指派柏拉圖時都是真的；并且用蘇格拉底或柏拉圖替換x后得到的新命題也都是真的。正如羅素所說“指派和替代一般都會導(dǎo)致相同的結(jié)果，并且出于這個理由作為一個規(guī)則，它們之間的區(qū)分并不是很清楚的。”（［7］，第167）

在羅素看來，賦值與替代之間的差別可以通過下述情況表現(xiàn)出來。

考察函數(shù)x=a，它是一個x的函數(shù)，而且它只對指派a為真，也就是說如果我們把a(bǔ)賦予到x之上，所得到的結(jié)果是一個其值為真的命題a=a。但如果我們考慮這個命題函數(shù)的值a=a并且用b替代a，我們得到了b=b，而它并不是那個命題函數(shù)的值。因此雖然a=a是命題函數(shù)x=a的值，然而通過在a=a替代a并不能得到該函數(shù)的其他值。（［7］，第168頁）

羅素認(rèn)為我們可以看出指派和替代的重要差別：當(dāng)變元在函數(shù)中有多次不同的出現(xiàn)，替代運(yùn)算可以統(tǒng)一地處理這些變元，而指派則被限制在變元的某些出現(xiàn)中。在面對多元命題函數(shù)時，指派與替代之間的區(qū)別更加明顯。對于命題函數(shù)?(x，x)，指派有多種結(jié)果。如果我們只對該命題函數(shù)中的變元x的一次出現(xiàn)進(jìn)行指派，那么所得到的結(jié)果仍然是一個命題函數(shù)，只不過它從二元命題函數(shù)變成了一個一元命題函數(shù)。在替代下只有一種結(jié)果，那就是用一個常項去替代該命題函數(shù)中變元x的全部出現(xiàn)，得到的總是一個命題。

至此我們可以看到替代與指派是不同的。由于羅素已經(jīng)把命題函數(shù)視作一種虛假抽象，羅素在放棄命題函數(shù)概念的同時也放棄了指派概念，并采用了與替代概念相對應(yīng)的替代運(yùn)算。

替代理論中最基本的概念就是“替代運(yùn)算”，即p/a；b！q5羅素對替代運(yùn)算的記法并不統(tǒng)一，有時替代運(yùn)算也被記為p(b/a)！q或者pab！q，它們都表示“用a去替代p中的b得到了q”，詳見［7］，第168頁。但是對羅素來說，這些不同的記法表現(xiàn)了替代運(yùn)算不同的特性。，讀作“在p中用b替代a在p中所有的出現(xiàn)而得到q。”（［7］，第168頁）替代運(yùn)算可以被看作是羅素替代理論中的邏輯常項，是不可定義的。如果p是“蘇格拉底是人”，a是“蘇格拉底”，而b是“柏拉圖”，p/a；b！q便是“用柏拉圖替代‘蘇格拉底是人’中的蘇格拉底而得到‘柏拉圖是人’”（［7］，第168頁）。替代理論的一個基本原則是：在一個替代運(yùn)算中出現(xiàn)的“p”、“q”、“a”、“b”并不是像“當(dāng)今法國國王”一樣的摹狀詞，而應(yīng)該是真正實體的名字（［7］，第168頁）。替代運(yùn)算也被看作適用于所有實體。

基于替代概念，羅素定義了替代理論的一些基本概念。

p/a；x！q中的q我們可以記作p/a；x，因此可以得到：

p/a；x.=.用x替代p中的a所得到的產(chǎn)物。（［7］，第169頁）

如果a并不出現(xiàn)在p，那么替代運(yùn)算p/a；b！q也是有一個值的。羅素認(rèn)為如果a不出現(xiàn)在p中，那么用任何實體替換p中的a產(chǎn)生的結(jié)果都是p自身。羅素把這種情況定義為：

a在p之外 .=：(x).p/a；x！p。（［7］，第169頁）

它讀作：a在p之外，當(dāng)且僅當(dāng)對于x的所有值而言，用x去替換p中的a產(chǎn)生的結(jié)果仍然是p。

相應(yīng)地，“a在p中”可以定義為：

a在p中 .=.～｛a在p之外｝。（［7］，第169頁）

在替代理論中，否定被看作是一個命題聯(lián)結(jié)詞，或者說是命題算子，因為否定運(yùn)用于其上的實體是有真假的。6羅素的否定定義恰恰表明羅素在1906年還沒有清晰的句法語義區(qū)分，一個命題的否定表明該命題是假的。按照羅素的這種思路，～～q.=.～(q是假的)，那么在替代理論中p單獨(dú)出現(xiàn)時即表明p是真的。羅素很快意識到這種觀點是很難令人信服的，在隨后的手稿中，羅素采用了新的否定定義：～a=df(x)(a?x)。這個新定義繼承了《數(shù)學(xué)原則》中的否定定義。因此《數(shù)學(xué)原則》中的連接詞并不如同蘭蒂尼和格里芬所認(rèn)為的那樣是一種項聯(lián)結(jié)詞，詳見［10］。當(dāng)羅素使用一個字母p來表示一個命題時，該命題是真的，與此同時，羅素認(rèn)為一個命題的否定是：

～q.=.q是假的。（［7］，第169頁）

因此“a在p中”表明“a在p之外是假的”。

另外對于兩個實體p和q，除了“…在…之中”，還有另一種關(guān)系：p獨(dú)立于q表明p和q沒有共同的組成部分。羅素將其定義為：

p獨(dú)立于q.=.(x).～(x在p中.x在q中)。7羅素在這個定義中用“.”來表示括號，“x在p中.x在q中”等同于“(x在p中)(x在q 中)”，它表現(xiàn)了一個邏輯合取。這種表現(xiàn)方式跟《數(shù)學(xué)原則》中的表現(xiàn)方式是相同的。（［7］，第169頁）

羅素將實體間的同一關(guān)系理解為如果用y去替換x中的x，得到的結(jié)果是x，同一關(guān)系被羅素定義為：

x=y.=.x(y/x)！x。（［7］，第169頁）

這一定義表明羅素對同一和等價不做區(qū)分。那么替代理論中的“…在…之中”和“…獨(dú)立于…”是否也是項聯(lián)結(jié)詞？答案是肯定的，替代理論中的聯(lián)結(jié)詞都是項聯(lián)結(jié)詞8經(jīng)典邏輯中并沒有項聯(lián)結(jié)詞這一提法，但是在替代理論中，羅素把同一就看作是一種實體之間關(guān)系，=也被看作是一種項聯(lián)結(jié)詞，不過否定、蘊(yùn)涵等聯(lián)結(jié)詞仍然是命題聯(lián)結(jié)詞。格里芬和蘭蒂尼等人的解讀是錯誤的，詳見［10］。，因為在替代理論中的符號“a”、“b”、“q”、“p”等都是實體符號。

在p(x/a)中，羅素稱x/a為一個“一元替代”，當(dāng)然我們也可以得到“二元替代”(x，y)/(a，b)，依照這種方法，還可以得到多元替代。類似地，在p/a；x中，羅素稱p/a為一個方程式（Matrix）。羅素認(rèn)為“替代或方程式都不是實體，而僅僅是一個類似于d/dx的運(yùn)算；也就是說，符號x/a和p/a自身都是完全沒有意義的，并且只有作為合法命題的一部分才是有意義的?！保ǎ?］，第167頁）基于這一觀點，羅素認(rèn)為：

我所要提倡的理論是，這個模糊的符號p/a代表了一個類。類似的，p/(a，b)代表一個二元關(guān)系，p/(a，b，c)代表一個三元關(guān)系，諸如此類。它們之中沒有一個是實體，并且因此不存在諸如類或關(guān)系這樣的實體。（［7］，第170頁）

在替代理論中，類或關(guān)系不是實體，因而也避免了虛假抽象。類表達(dá)式“p/a”表示的是“用…去替代p中的a得到的結(jié)果”，“用…去替代p中的a得到的結(jié)果”這個短語是不完全的而且是無意義的，即它是一個不完全符號。而p/a；b代表一個確定的摹狀詞，它表達(dá)的意思是“那個獨(dú)一無二的滿足p/a；b！x 的x”，根據(jù)羅素的摹狀詞理論，這是一個不完全符號，而一個不完全符號自身是沒有意義的，不可能代表一個實體。

對于作為邏輯主義基礎(chǔ)的替代理論來說，它必須提供一個關(guān)于“類”的完整說明，并且用這個“類”來定義自然數(shù)。雖然根據(jù)羅素的觀點，類表達(dá)式是不完全符號，它表明了類不是實體。

羅素用p/a來表示一個類。羅素認(rèn)為“‘x是類p/a的一個元素’意味著‘用x替代p中的a所得到的結(jié)果’是真的”（［7］，第170頁），即p/a；x是真的，使用替代理論的記法將其表示為：

為了定義自然數(shù)，除了類這個概念之外，他還需要解釋類的類這個概念。羅素把“類的類”定義為：

q/(p，a)是一個類的類 .=.(r)(c)(r′)(c′)(r/c=r′/c′.?：q/(p，a)；(r，c).=.q/(p，a)；(r′，c′)

在這個定義中，r/c=r′/c′表示的是兩個類等同，它的意思是“無論x是什么，用x去替代r中的c所得到的結(jié)果等值于用x去替代r′中的c′所得到的結(jié)果?！保ǎ?］，第169頁）在上述類的類定義中，我們可以認(rèn)為當(dāng)q/(p，a)；(r，c)為真時，r/c是類的類q/(p，a)的一個元素，即一個類。以此類推，羅素得到了“類的類的類”的定義等。

有了類定義和類的類的定義，羅素便有了定義自然數(shù)的基礎(chǔ)。

為了得到所有空集的類，也就是羅素定義下的“零”，羅素考慮了這樣一個命題：

它的意思是：無論x是什么，用x去替代p中的a所得到的結(jié)果都是假的。羅素指出：“0是一個命題與一個實體之間的關(guān)系——無論我們把命題之中的那個實體替代為什么東西，其結(jié)果總是為假?！保ǎ?］，第175頁）根據(jù)羅素的這種觀點，0可以定義為：

對于1，羅素的理解是“如果p/a只有一個元素，那么如果c就是那個元素，(p/a)；c是真的，并且當(dāng)x不等于c時(p/a)；x是假的”（［7］，第176頁）。因此根據(jù)羅素的這種論述，1可以定義為：

上述給出了自然數(shù)0和1在替代理論中的定義，有了最基本的自然數(shù)和定義自然數(shù)的方法，羅素的替代理論在一定程度上獲得了成功。

3　替代悖論與替代理論的終結(jié)

在發(fā)現(xiàn)替代悖論之前，羅素曾經(jīng)預(yù)見到：“到目前為止，唯一的致命危險就是從命題是實體的假設(shè)中我們可能發(fā)現(xiàn)悖論；但是我尚未發(fā)現(xiàn)這種悖論?！保ǎ?］，第171頁）遺憾的是，羅素最終發(fā)現(xiàn)了一個悖論，這就是p0/a0悖論，正是這個悖論讓羅素最終放棄了替代理論而走向了分支類型論。p0/a0悖論的完整表述是：

羅素對替代悖論是這樣描述的（［8］，第7頁）：

羅素認(rèn)為這個悖論摧毀了替代理論，這個悖論的出現(xiàn)最終促使羅素走上了類型論之路。在原手稿中，羅素并沒有解釋和論證這個悖論。依據(jù)第二部分給出的基本定義，本節(jié)將為這個悖論提供一個解釋。

(3)假設(shè)s為假，根據(jù)否定定義和存在量詞定義，可得下式為真

(4)根據(jù)全稱概括規(guī)則，可用p0代替上式中的p，可用a0替代上式中的a，我們可以得到

(5)根據(jù)否定定義，我們可以看到下式為假

(6)由于第一個合取支為真，所以第二個合取支必然為假，即下式為假

(7)由于r的取值范圍是全體實體，所以令r=s，可得下式為假

(8)由于蘊(yùn)涵前件正是s的定義，所以前件為真，后件畢為假，即s為真，矛盾！

(10)根據(jù)全稱消去規(guī)則，令r=s，可得下式為真：

(11)根據(jù)s的定義，此蘊(yùn)涵前件為真，因此后件也為真，即s為假，矛盾。

雖然羅素對替代理論的哲學(xué)內(nèi)涵討論的不多，但是通過以上分析，我們還是得出兩點重要結(jié)論。第一、在羅素的不完全符號理論中，類、函數(shù)、摹狀詞等不完全符號都沒有單獨(dú)的意義，但是命題是完全的，因此命題可以合法地出現(xiàn)在替代運(yùn)算之中。第二、由于羅素堅持變元是非受限的，命題也是一種實體，也可以成為變元的值，他的替代理論最終仍然未能逃脫悖論的糾纏。羅素在手稿中也表達(dá)了對替代悖論產(chǎn)生原因的反思：“回避這個怪物的唯一方式就是針對命題創(chuàng)造一個類型學(xué)說，以至于在p0ba0！q，b和a都是在類型上低于p 和q?！保ǎ?］，第7頁）

替代悖論的發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生了重要的影響：它不僅極大地影響了羅素的形而上學(xué)——羅素不再把命題當(dāng)做實體，而且也摧毀了羅素關(guān)于悖論來自虛假抽象的觀點。由于悖論的完全消失是羅素的悖論解答方案的“絕對必要”條件，一個依然存有悖論的理論顯然是羅素?zé)o法接受的。這也導(dǎo)致了羅素開始重新思考悖論的統(tǒng)一形式問題，最終羅素接受了彭加萊的觀點，即所有的悖論都具有自我指稱的特點，并重新走向了類型論。

［1］ K.G?del，1944，“Russell’smathematicallogic”，inP.BenacerrafandH.Putnam(eds.)，Philosophy of Mathematics，pp.447-469，Cambridge：Cambridge University Press.

［2］ I.Grattan-Guinness，1997，Dear Russell，Dear Jourdain:A Commentary on Russell’s Logic，Based on His Correspondence with Philip Jourdain，New York：Columbia University Press.

［3］ G.Landini，1998，Russell’s Hidden Substitutional Theory，Oxford：Oxford University Press.

［4］ B.Russel，1903，The Principles of Mathematics，London：George Allen and Unwin Press.

［5］ B.Russel，1959，My Philosophical Development，London：George Allen and Unwin Press.

［6］ B.Russell，1905，“On denoting”，Mind，14(56)：479-493.

［7］ B.Russell，1906，“On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order types”，in D.Lackey(ed.)，Essays in Analysis，pp.135-164，London：George Allen and Unwin Ltd.

［8］ B.Russell，1906，“Onsubstitution”，RussellArchiveofMcMasterUniversity，Manuscript (RA 220.010950).

［9］ B.Russell，1994，“The foundations of mathematics”，in A.Urquhart(ed.)，The Collected Papers of Bertrand Russell，Vol.4，London and NewYork：Routledge.

［10］ 鄭偉平，“論羅素《數(shù)學(xué)原則》中的聯(lián)結(jié)詞”，哲學(xué)研究，2009年第4期。

［11］ 鄭偉平，“羅素《論指稱》研究的一個教條”，廈門大學(xué)學(xué)報（哲學(xué)社會科學(xué)版），2012年第3期。

（責(zé)任編輯：崔建英）

Abstract

From 1903 to 1908，Russell developed the substitutional theory as a solution of paradoxes，and finanlly abandoned it.What Russell learned from his theory of definite description is that paradoxes are caused by false abstraction.The fundamental concept “substitution”may be applied to avoid false abstraction.By using it to define classes and functions，the substitutional theory was proved to be successful in some sense.Unfortunately，the emergence of the substitutional paradox made Russell give up the theory of substitution and embrace the ramified thoery of type.

Russell’s Substitutional Theory

Weiping Zheng
Department of Philosophy，Xiamen University
zhengweiping@xmu.edu.cn

B81

A

2015-01-19