L-雙拓撲空間的LFα-p連通性的若干性質(zhì)

徐小玲， 　馬保國 ，　孫軍娜

(延安大學西安創(chuàng)新學院 ，西安710100)

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L-雙拓撲空間的LFα-p連通性的若干性質(zhì)

徐小玲1， 馬保國2，孫軍娜2

(延安大學西安創(chuàng)新學院 ，西安710100)

文[1]首先提出了L-拓撲空間中的p-開集、p-閉集等概念，本文以此為基礎(chǔ)，引入了L-雙fuzzy拓撲空間的α-p連通性的概念，并研究了其若干基本性質(zhì).

L-雙fuzzy拓撲空間； α-p隔離集； α-p連通集

1　引　　言

自從Kelly1963年在文[2]中討論了雙拓撲空間后，許多作者從不同的角度出發(fā)，提出了各種各樣的連通性，在文獻[3]中，鄭崇友研究了L-雙fuzzy拓撲空間中的連通性，本文在文[3]的基礎(chǔ)上，利用p-開集、p-閉集，引入了L-雙fuzzy拓撲空間中若干新的連通性——α-p連通性、弱配α-p連通性、配α-p連通性，討論了它們之間的關(guān)系與性質(zhì)，進一步推廣和豐富了L-雙fuzzy拓撲空間中的連通性理論.

2　預備知識

定義1[1]設(shè)(LX,δ)是L-fts，A∈LX稱為p-開集當且僅當存在開集U，使得A≤U≤A-；若A是p-開集，則稱A′是p-閉集.

L-fts(LX,δ)中的所有p-開集記作LPO(LX)，所有的p-閉集記作LPC(LX).

L-fts中的閉集一定是p-閉集，反之一般不成立.

定理1[1]設(shè)(LX,δ)是L-fts，則

δ?LPO(LX)，δ′?LPC(LX).

定義2[1]設(shè)(LX,δ)是L-fts，A，B∈LX，

(a) 包含于A的一切p-開集的并叫做A的LF-p內(nèi)部，記作AΔ，即

AΔ=∨{B∈LPO(LX)|B≤A}.

(b) 包含于A的一切p-閉集的交叫做A的LF-p閉包，記作A←，即

A←=∧{B∈LPO(LX)|A≤B}.

定理2[4]設(shè)(LX,δ)是L-fts，A，B∈LX，則

(a) A°≤AΔ≤A≤A←≤A-；(b) 若A∈δ∩LPC(LX)，則A∈δ′；

(c) 若A∈δ′∩LPO(LX)，則A∈δ；(d) 若A≤B，則A←≤B←，AΔ≤BΔ；

(e) (A∨B)←=A←∨B←，(A∧B)Δ=AΔ∧BΔ；

(f) p-閉集的任意交是p-閉集，p-開集的任意并是p-開集.

定義3設(shè)(LX,δ)是L-fts，A，B∈LX，α∈L-{0}，若A←∧B≤α′且A∧B←≤α′，則稱A，B在(LX,δ)中是α-p隔離的.

定義4設(shè)(LX,δ)是L-fts，S∈LX，則不存在A，B∈LX，使得A，B在(LX,δ)中是α-p隔離的，且A∨B=S，A≤ α′，B≤ α′，則稱S是(LX,δ)中的α-p連通集；特別的，當L中最大的L-fuzzy集1是(LX,δ)中的α-p連通集時，則稱(LX,δ)為α-p連通空間；否則稱(LX,δ)為α-p不連通空間.

定義5設(shè)(LX,δ)是L-fts，α∈L-{0}，A∈LX，當β≥α′時，若lβ(A←)=lβ(A)，則稱A為α-p閉集，其中l(wèi)α(A)={x∈X|A(x)≤ α}；若A′是α-p閉集，則稱A為α-p開集.

定義6設(shè)δ1，δ2都是LX上的L-fuzzy拓撲，則(LX,δ1,δ2)稱為L-雙fuzzy拓撲空間，簡稱L-bfts.

注1若對任意的α1，α2∈L-{0}，都有α1∧α2≠0，則稱L是正則的，本文中始終考慮L是正則的情形.

定義7設(shè)(LX,δ1,δ2)是L-bfts，S∈LX，α1，α2∈L-{0}，若S既是(LX,δ1)中的α1-p連通集，又是(LX,δ2)中的α2-p連通集，則稱S是(LX,δ1,δ2)中的(α1,α2)-p連通集.特別當α1=α2=α時，則稱S是(LX,δ1,δ2)中的α-p連通集.若LX中的最大元1是α-p連通的，則稱(LX,δ1,δ2)是α-p連通空間.

定義8設(shè)(LX,δ1,δ2)是L-bfts，A，B∈LX，αi∈L-{0} (i=1,2)，若

(1)

或

(2)

則稱A與B在(LX,δ1,δ2)中是弱配(α1,α2)-p隔離的.若(1)，(2)同時成立，則稱A與B在(LX,δ1,δ2)是配(α1,α2)-p隔離的.

定義9設(shè)(LX,δ1,δ2)是L-bfts，S∈LX，α1，α2∈L-{0}，若不存在A，B∈LX，使得A與B在(LX,δ1,δ2)中是弱配(α1,α2)-p隔離的，且

A∨B=S，A≤ α′1∨α′2，B≤ α′1∨α′2，

則稱S是(LX,δ1,δ2)中弱配(α1,α2)-p連通集；特別，當α1=α2=1時，則稱S是(LX,δ1,δ2)中的弱配p連通集；若最大元1是弱配(α1,α2)-p連通的，則稱(LX,δ1,δ2)是弱配(α1,α2)-p連通空間.

若不存在A，B∈LX，使得A與B在(LX,δ1,δ2)中是配(α1,α2)-p隔離的，且

A∨B=S，A≤ α′1∨α′2，B≤ α′1∨α′2，

則稱S是(LX,δ1,δ2)中配(α1,α2)-p連通集；特別，當α1=α2=1時，則稱S是(LX,δ1,δ2)中的配p連通集；若最大元1是配(α1,α2)-p連通的，則稱(LX,δ1,δ2)是配(α1,α2)-p連通空間.

2　α-p連通的性質(zhì)

定理3設(shè)(LX,δ1,δ2)為雙滿層的L-bfts，S，D∈LX，D≤S，D是弱配(α1,α2)-p連通集，α1，α2∈M(L)，且

則S是(LX,δ1,δ2)中的弱配(α1,α2)-p連通集.

證假設(shè)S不是(LX,δ1,δ2)中的弱配(α1,α2)-p連通集，則存在A，B∈LX，A與B為弱配(α1,α2)-p隔離的，使得

A∨B=S，A≤ α′1∨α′2，B≤ α′1∨α′2

且

令A1=D∧A，B1=D∧B，則

D=D∧S=(D∧A)∨(D∧B)=A1∨B1，

且

所以A≤α′1∨α′2，與A≤α′1∨α′2矛盾.

因此，S是(LX,δ1,δ2)中的弱配(α1,α2)-p連通集.

定理4設(shè)(LX,δ1,δ2)為雙滿層的L-bfts，S，D∈LX，D≤S，D是配(α1,α2)-p連通集，α1，α2∈M(L)，且

則S是(LX,δ1,δ2)中的配(α1,α2)-p連通集.

證與定理3類似，略去.

證假設(shè)S不是(LX,δ1,δ2)中的配(α1,α2)-p連通集，則存在A，B∈LX，A與B為配(α1,α2)-p隔離的，使得

A∨B=S，A≤ α′1∨α′2，B≤ α′1∨α′2

且

令A1=D∧A，B1=D∧B，則

D=D∧S=(D∧A)∨(D∧B)=A1∨B1，

且

又D是配(α1,α2)-p連通集，所以A1≤α′1∨α′2，B1≤α′1∨α′2，則由(LX,δ1,δ2)是雙滿層的，知

因此

=α′1∨α′2，

與A≤ α′1∨α′2矛盾.

A∨B=f(D)，A≤β′1∨β′2，B≤β′1∨β′2，

且

則

令E=f-1(A)，F(xiàn)=f-1(B)，故

D≤f-1f(D)=f-1(A∨B)=E∨F，

令G=D∧E，H=D∧F，則G∨H=D，且

又D是(LX,δ1,δ2)中的配(α′1,α′2)-p連通集，因此，G≤α′1∨α′2，H≤α′1∨α′2，所以

D=G∨H≤(α′1∨α′2)∨H，

f(D)≤f(α′1∨α′2)∨f(H)=f(α′1∨α′2)∨ff-1(B)≤f(α′1∨α′2)∨f(α′1∨α′2)∨B，

A=A∧f(D)≤f(α′1∨α′2)∨(A∧B)≤f(α′1)∨f(α′2)∨β′1∨β′2=β′1∨β′2，

與A≤ β′1∨β′2矛盾！

(b) 與(a)類似，略去.

(a) 若D是(LX,δ1,δ2)中的配p連通集，則f(D)是(LX,δ1,δ2)中的配p連通集；

(b) 若D是(LX,δ1,δ2)中的弱配p連通集，則f(D)是(LX,δ1,δ2)中的弱配p連通集.

證(a) 取α1=α2=1，則D是(LX,δ1,δ2)中的配p連通集，即為配(1,1)-p連通集，且

由定理6，f(D)是(LX,δ1,δ2)中的配(β1,β2)-p連通集，其中

則f(D)是(LX,δ1,δ2)中的配(1,1)-p連通集，所以f(D)是(LX,δ1,δ2)中的配p連通集.

(b) 與(a)類似，略去.

定理7設(shè)(LX,δ1,δ2)是L-bfts，α1，α2∈L-{0}，則

(a) (LX,δ1,δ2)中各配(α1,α2)-p連通分支之并為1；

(b) 若S1，S2為(LX,δ1,δ2)中的兩個不同的配(α1,α2)-p連通分支，則D1∧D2≤α′1∨α′2；

(c) 若S是(LX,δ1,δ2)中的配(α1,α2)-p連通分支，則S∈δ′1∧δ′2.

證(a) 任取xα∈M*(LX)，則α∈M(L)，α′≠1，故存在β∈M(L)，β≤ α′.

令?(xα)={A∈LX|xα≤A，且A為配(β1,β2)-p連通集}，故A(xα)=∨?(xα).

(b) 假設(shè)D1∧D2≤α′1∨α′2，由推論2.2知，D1∨D2為弱配(α1,α2)-p連通集，與D1與D2的極大性矛盾，所以，D1∧D2≤α′1∨α′2.

[1]馬保國，王延軍，姜金平.L-拓撲空間中的p-良緊性[J].重慶師范大學學報，2006，23(4)：10-14.

[2]Kelly J C.Bitopological spaces[J].Proc.London Math.Soc，1963，13(3)：71-89.

[3]鄭崇友.L-雙fuzzy拓撲空間論的連通性[J].北京師院學報，1990，11(4)：1-6.

[4]馬保國，王延軍，車雨紅.L-拓撲空間中的p-連通性[J].紡織基礎(chǔ)科學學報，2008,21(4)：438-441.

[5]徐國華.L-雙fuzzy拓撲空間的α連通性[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學，1994，18(1)：209-215.

[6]王國俊.L-fuzzy拓撲空間論[M].西安：陜西師范大學出版社，1988.

[7]徐小玲，馬保國，馬海紅.L-雙fuzzy拓撲空間的α-p連通性(Ⅰ)[J].西安：西安工程大學學報，2008,22(2)：220-225.

[8]楊海龍，李生剛.L-拓撲空間的δ連通性[J].紡織基礎(chǔ)科學學報，2006,19(3)：189-192.

[9]徐小玲，馬保國.L-fuzzy拓撲空間的α-p連通性(Ⅱ) [J]. 紡織高?；A(chǔ)科學學報. 2011，24(2)：180-184.

Some Properties of LF α-p Connectedness on L- Bitopological Spaces

XUXiao-ling，MABao-guo，SUNJun-na

(Xi’an Innovation College of Yan’an University, Xi’an 710100,China)

In the paper[1]，p-open sets and p-closed sets are firstly introduced in L-topological spaces.In this paper based on the notions，the concept of α-p connectedness is given in L-fuzzy bitopological spaces.Moreover，its basic properties are studied.

L-fuzzy bitopological space；α-p separated sets；α-p connected sets

2016-03-12；[修改日期]2016-04-28

徐小玲(1984-)，女，碩士，講師,從事格上拓撲學的研究.Email:17113525@qq.com

O189.1

A

1672-1454(2016)03-0044-05