互易定理教學研究

沈一騎 ，萬　凱

(1. 南京大學 電子科學與工程學院，江蘇 南京　210093；2. 南京大學 金陵學院 信息科學與工程學院，江蘇 南京　210089)

?

互易定理教學研究

沈一騎1,2，萬凱2

(1. 南京大學 電子科學與工程學院，江蘇 南京210093；2. 南京大學 金陵學院 信息科學與工程學院，江蘇 南京210089)

為幫助學生理解和應用互易定理，從純線性電阻二端口網絡的T型或Π型等效電路和定理的4種端口形式出發(fā)，指出理解電路互易和翻轉后不同二端口電路在同一激勵下的響應相等是掌握互易定理內涵的關鍵；提出“互易定理口訣”，以便于采用互易定理分析實際電路．

互易定理；互易定理內涵；互易定理口訣；實際電路分析

互易定理(Reciprocity theorem)[1]是電路理論中的一個重要定理，其本質是特勒根定理2(Tellegen’s theorem)[1]，成立的條件是線性電阻網絡僅為純電阻電路，或由電阻和受控源構成的特殊電路[2]．大一學生在學習互易定理時往往會對電路互易和電路翻轉后的兩個不同二端口電路中出現同一激勵下響應相等感到困惑．又由于互易定理有3(4)種形式，常見習題又比較抽象和單一，學生在學習和應用時容易混淆，尤其是在采用互易定理分析實際電路時困難較大．對此，我們經過多年研究和教學實踐，提出了解決這些難點的教學方法，以供同行參考和指正．

1　“互易定理口訣”

為清楚描述互易定理的4種形式并便于應用，表1給出了4種形式互易前后電路端口、激勵和響應的形式及位置，以及由此推出的“互易定理口訣”．

以互易定理第三形式(“流短開壓”)為例進行說明．第三形式的電路如圖1所示．“流短開壓”的第一字“流”表示互易前端口1的激勵為電流源；第二字“短”表示互易前端口2的響應為短路電流；第三字“開”表示互易后端口1的響應為開路電壓；第四字“壓”表示互易后端口2的激勵為電壓源；中間兩字所代表的響應短路電流和開路電壓在數值上相等．定理其它形式的口訣不難由此類比解釋．

表1　互易前后電路激勵和響應的形式及位置以及“互易定理口訣”

圖1　互易定理第三形式

2　電路互易和翻轉后響應相等的討論

特勒根定理2也即特勒根擬功率定理，但不同理論教材的稱謂各異，如特勒根第二定理[3]、特勒根定理[4]等，它表示在兩個具有相同拓撲的電路中，一個電路的支路電流和另一電路的支路電壓之間的相互關系．對于純線性電阻電路，可由此直接推出互易定理，因而互易定理的本質是特勒根擬功率定理，這在理論上很容易理解，但對為什么會出現電路互易后在同一激勵下響應相等、尤其是電路互易和電路翻轉后不同二端口電路的響應也相等，理論教材[1, 3，4]未多作闡述．學生除了泛用特勒根擬功率定理來理解外，實際上仍是存疑的，這顯然對理論教師和學生來說都是一個需要解決的重要課題．為把問題表述清楚，我們不妨先研究圖2(a)所示的電路．圖3(a)是原電路(圖2(a))的互易電路，根據互易定理第一形式(“壓短短壓”)有I=I互易；而圖3(b)是圖2(a)的翻轉電路，有I=I翻轉，因此數學上有I互易=I翻轉．

圖2　電路互易和翻轉討論示例

圖3　原電路的互易電路和翻轉電路

引出的問題是，如果不考慮圖3(a)、3(b)的端口標記，由于兩圖端口內的電路完全不同，為什么在其右側端口加相同電壓源后能得到左側端口短路電流相等？而此時也難以直接采用特勒根擬功率定理，這正是學生在直覺上感到疑惑的地方．當然，如果端口內是具體電路，也不難通過計算得到I互易=I翻轉；但如果端口內不是具體電路，則就難以計算了．此時如果再回到用“圖3(a)是圖2(a)的互易電路、圖3(b)是圖2(a)的翻轉電路，因而I互易=I翻轉”來解釋；實際上并沒有真正解答疑問．或許換一角度來理解更為合適．當然此問題實際上與為何有I=I互易等價，但因圖2(a)、3(a)端口內電路相同可直接應用特勒根擬功率定理，故不易理解互易定理的內涵，也即為什么會有互易定理．

我們認為引入純線性電阻二端口網絡可等效為T型或Π型電路[1]的概念，對于理解這一問題較為有益．大一學生在學習互易定理時已熟悉一端口可等效為1個電阻，對于接受純線性電阻二端口可等效為3個電阻的T型或Π型電路不會有太大困難．但如果直接采用純線性電阻二端口的轉移導納相等進行解釋，一則因(采用教材[1, 4]學習的)學生尚未學到二端口性質，二則又過于抽象而不易理解．況且互易定理與轉移導納相等的關系，即轉移導納相等是互易定理的結論還是成因，本身就是一個眾說紛紜值得深究的問題.為直觀明了起見，我們不妨將圖2(a)等效為Π型電路(圖2(b))，其互易和翻轉電路仍為Π型電路，但端口內的電路是不同的(R1、R3的位置不同)，如圖4(a)、4(b)所示．

圖4　原電路Π形等效電路的互易電路和翻轉電路

由于此時為互易定理第一形式(“壓短短壓”)和Π型電路，圖4(a)互易電路中的R1被“第一形式”中端口1的短路線所短路、R3在與“第一形式”中端口2的電壓源并聯等效中被舍去，即有I互易=US/R2；同理，圖4(b)翻轉電路中的R3被短路、R1被舍去，有I翻轉=US/R2，故I互易=I翻轉．因此，互易電路和翻轉電路端口內的不同支路被互易定理的具體端口形式或短路或等效，真正起作用的僅是端口內互易或翻轉前后不變的同一支路(圖4中的不變支路為R2)，也即互易電路和翻轉電路的最終電路形式是相同的，這便是I互易=I翻轉的最直觀的解釋．當然，如果將圖2(a)等效為T型電路，則需通過計算才能得到I互易=I翻轉，不如等效為Π型電路來得直觀，而實際上T型和Π型電路本身即可進行等效變換．此外，對于互易定理的其他形式，也不難用類似的方法作出說明．因此，電路互易和電路翻轉后不同二端口電路在同一激勵下響應相等的原因，進而互易定理的內涵，完全可用純線性電阻二端口的等效電路和定理的四種端口形式的具體組合進行解釋，這或是理解的關鍵之一．由此可見，引入無源線性電阻二端口等效為T型或Π型電路的概念，方法雖然簡單，但確能對理解互易定理、解答學習互易定理后產生的疑惑有所幫助．

3　互易定理在實際電路分析中的應用

一些理論教材[1]互易定理的習題比較抽象，學生往往不善于將互易定理應用于實際電路分析．下面通過示例介紹應用“互易定理口訣”的方法及其他要點．圖5所示為雙電源激勵電路，如果用互易定理求解電流I，則須先應用疊加定理將電路化為單電源激勵．

圖5　互易定理應用示例

圖6　4 V電壓源作用時的互易(“壓短短壓”)

圖7　1 A電流源作用時的互易(“流短開壓”)

4　結束語

為幫助學生理解和應用互易定理，我們從純線性電阻二端口網絡的T型或Π型等效電路和定理的4種端口形式出發(fā)，分析了電路互易和電路翻轉后不同二端口電路在同一激勵下的響應相等的原因，這或是互易定理的內涵所在和理解的關鍵．提出了“互易定理口訣”，以方便將互易定理應用于實際電路分析．從多年的教學實踐看，教學效果是比較理想的．

[1]邱關源．電路[M]．4版．北京：高等教育出版社，1999：96-99，99-102，379-384．

[2]嚴利芳，郎文杰，劉朝陽．由一個特勒根定理例題的求解而引發(fā)的思考[J].電氣電子教學學報，2008，30(4)：19-20．

[3]陳洪亮．電路分析基礎[M]．北京：清華大學出版社，2009：174-177．

[4]江緝光．電路原理[M]．2版．北京：清華大學出版社，2007：64-67．

2. School of Information Science and Engineering，Nanjing University Jinling College，Nanjing, Jiangsu 210089, China)

Teaching research on reciprocity theorem

SHEN Yi-qi1,2， WAN Kai2

(1. School of Electronic Science and Engineering，Nanjing University，Nanjing, Jiangsu 210093, Chian;

To help the students have a better understand and usage of reciprocity theorem, in this paper, we propose a reciprocity theorem table． Based on the four forms of the ports at reciprocity theorem and the equivalent circuit of two port network with pure linear resistance, we study the reciprocity theorem．It has been shown the instinct property of the theorem is the equivalent response between the reciprocity circuit and the reciprocal circuit.

reciprocity theorem; instinct property of the reciprocity theorem；reciprocity theorem table; circuit analysis

2015-06-29；

2015-10-13

江蘇省高等學校教改研究課題(2013JSJG169)資助

沈一騎(1957—)，男，浙江杭州人，南京大學電子科學與工程學院副教授，主要從事電路理論和實驗的教學與研究工作.

教學經驗交流

O 441.4

A

1000- 0712(2016)03- 0050- 04