郭麗君

(蘭州交通大學(xué)博文學(xué)院，甘肅 蘭州　730101)

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非線性微分方程三階三點邊值問題兩個正解的存在性

郭麗君

(蘭州交通大學(xué)博文學(xué)院，甘肅 蘭州730101)

考慮以下三階三點邊值問題：u?(t)+a(t)f(u(t))=0，t∈(0，1)；u(0)=u″(0)=0，u′(1)-αu(η)=λ，其中0<η<1，0<α<1/η，λ∈(0，),通過建立相關(guān)線性邊值問題的格林函數(shù)得到解的形式，運用不動點指數(shù)理論建立了上述邊值問題至少兩個正解的存在性準(zhǔn)則.

三階三點邊值問題；正解；存在性；錐；格林函數(shù)；不動點指數(shù)理論

【引用格式】郭麗君.非線性微分方程三階三點邊值問題兩個正解的存在性[J].北華大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2016，17(5)：566-571.

1　引　　言

近年來，微分方程三階三點邊值問題受到了廣泛的關(guān)注[1-13]，所用的方法有各類不動點定理：文獻[1-2]運用了Leggett-Williams不動點定理，文獻[3-5]運用了Guo-Krasnoselskii不動點定理，文獻[6-8]運用了Leray-Schauder不動點定理，文獻[9]運用了Avery-Henderson不動點定理，文獻[10]運用了Avery-Peterson不動點定理.本文運用不動點指數(shù)理論研究了下列邊值問題至少有兩個正解的存在性準(zhǔn)則：

其中0<η<1，0<α<1/η，λ∈(0，).

文獻[1]討論了當(dāng)邊值問題(1)-(2)中參數(shù)λ=0時的特殊情況，但在文獻[1]及文獻[2-7，9-10]中相關(guān)的格林函數(shù)形式較復(fù)雜，沒有得到更好的性質(zhì).本文的目的是進一步研究當(dāng)參數(shù)λ>0時的邊值問題(1)-(2)，構(gòu)造了新的格林函數(shù)，且形式上較簡單，得到了新的性質(zhì)，通過運用不動點指數(shù)定理，在非線性項f滿足一定條件的情況下得到了邊值問題(1)-(2)至少兩個正解的存在性準(zhǔn)則.

假設(shè)以下條件始終成立：

(C1)f∈C([0，+)，[0，+))；

(C2)a∈C([0，1]，[0，+))且在[τ，1]上a(t)不恒為零，其中τ為(0，1)上任意常數(shù).

2　預(yù)備引理

引理1設(shè)0<α<1/η，則對任意給定的y∈C[0，1]，邊值問題

(5)

稱為Green函數(shù).

證明：事實上，如果u(t)是邊值問題(3)-(4)的解，則可令

由u(0)=u″(0)=0，可得A=C=0.再由u′(1)-αu(η)=λ，可得

因此，邊值問題(3)-(4)有唯一解

證畢.

對本文格林函數(shù)(5)，有如下兩個引理.

引理2對任意(t，s)∈[0，1]×[0，1]，有0≤G(t，s)≤1-s.

證明：首先考慮0≤s≤t的情況.此時

如果t≤s≤1，則有

0≤G(t，s)=t(1-s)≤1-s.

因此

0≤G(t，s)≤1-s，(t，s)∈[0，1]×[0，1].

證畢.

證明：如果0≤s≤t，則有

如果t≤s≤1，則有

因此，對任意(t，s)∈[0，1]×[0，1]，均有

證畢.

3　主要結(jié)果

以下假定0<α<1/η，參數(shù)λ>0且條件(C1)和(C2)滿足.記

定理2假設(shè)下述條件成立：

(a) f0=f=0；

顯然K?E是錐.對u∈K，t∈[0，1]定義

由引理2可知，對任意t∈[0，1]，都有

故

(6)

由引理3和式(6)可得，當(dāng)t∈[τ，1]時有

首先，由于f0=0，故存在00且滿足

(7)

從而

故由定理1的(ⅰ)可知

i(A，ΩH1，K)=1.

(8)

其次，由于f=0，故存在，使得當(dāng)時， f(u)≤μu,其中μ>0滿足

(9)

下面分兩種情形考慮：

f(u)≤f(H2)，0≤u≤H2.

(10)

i(A，ΩH2，K)=1.

(11)

從而

故由定理1的(ⅱ)可知

i(A，ΩH，K)=0.

(12)

由式(8)，(11)，(12)以及不動點指數(shù)的可加性可得

證畢.

[1] SUN J P，GUO L J，PENG J G.Multiple nondecreasing positive solutions for a singular third order three point bvp[J].Communications in Applied Analysis，2008，12： 91-100.

[2] 吳紅萍.一類非線性三階三點邊值問題的多個正解[J].貴州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014，31(2)：4-6.

[3] 孫建平，張小麗.非線性三階三點邊值問題正解的存在性[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012，48(3)： 29-31.

[4] GUO L J，SUN J P，ZHAO Y H.Existence of positive solution for nonlinear third-order three-point boundary value problem[J].Nonlinear Analysis，2008，68： 3151-3158.

[5] 孫建平，曹珂.一類非線性三階三點邊值問題正解的存在性[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2010，36(2)： 123-124.

[6] 呂學(xué)哲，裴明鶴.一類三階三點邊值問題正解的存在性[J].北華大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014，15(5)： 577-580.

[7] 白婧，李永祥.含一階導(dǎo)數(shù)項的三階周期邊值問題解的存在唯一性[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2015，38(6)： 834-837.

[8] 姚志健.非線性三點邊值問題正解的新的存在性定理[J].數(shù)學(xué)雜志，2014，34(1)： 173-178.

[9] 張立新，孫博，張洪.三階三點邊值問題的兩個正解的存在性[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，38(10)： 30-33.

[10] 張立新.三階邊值問題的3個正解的存在性[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2011，34(4)： 466-470.

[11] 裴明鶴.三階非線性常微分方程兩點與三點邊值問題解的存在性與惟一性[J].北華大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2003,4(1):5-11.

[12] 沈建和，余贊平，周哲彥.非線性三階常微分方程的非線性三點邊值問題解的存在性[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2007,23(3):355-360,365.

[13] 高永馨，汪鳳琴.三階非線性微分方程三點邊值問題解的存在性[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2015,32(4)：421-427.

[14] GUO D，Lakshmikantham V.Nonlinear problems in abstract cones[M].New York： Academic Press，1988.

【責(zé)任編輯：伍林】

Existence of Two Positive Solutions for Third-Order Three-PointBoundaryValueProblemsofNonlinearDifferentialEquations

Guo Lijun

(Bowen College of Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730101，China)

Weconcernedwiththefollowingthird-orderthree-pointboundaryvalueproblem

third-orderthree-pointboundaryvalueproblem；positivesolution；existence；cone；Greenfunction；fixedpointindextheorem

1009-4822(2016)05-0566-06

10.11713/j.issn.1009-4822.2016.05.002

2016-05-30

甘肅省高等學(xué)校科研項目教育廳立項(項目編號：2015B-214).

郭麗君(1980-)，女，講師，主要從事非線性分析研究，E-mail：5148806@qq.com.

O175.8

A

where0<η<1，0<α<1/η，λ∈(0，)isaparameter.ByestablishingGreenfunctionfortheassociatedlinearboundaryvalueproblem，thesolutionfortheaboveboundaryvalueproblemisobtained.Thentheexistencecriterionofatleasttwopositivesolutionsfortheaboveboundaryvalueproblemisobtainedbyusingfixedpointindextheorem.