尺度比穩(wěn)健估計(jì)及參考橢球參數(shù)確定

李祖鋒

(中國(guó)電建西北勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司,陜西 西安 710065)

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尺度比穩(wěn)健估計(jì)及參考橢球參數(shù)確定

李祖鋒

(中國(guó)電建西北勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司,陜西 西安 710065)

短程精密測(cè)距精度一般優(yōu)于GNSS測(cè)量精度，工程中常用GNSS測(cè)量與精密測(cè)距方法聯(lián)合建立高精度工程測(cè)量控制網(wǎng)，對(duì)兩者所存在的尺度差異，常采用尺度比進(jìn)行統(tǒng)一，其關(guān)鍵是尺度比的合理選擇。文中參照精密測(cè)距邊長(zhǎng)確定的實(shí)測(cè)尺度比相對(duì)于理論尺度比的殘差，建立空間分布與尺度殘差線性關(guān)系，對(duì)尺度差異進(jìn)行估計(jì)并確定合理的尺度比，再在投影層面將尺度比等價(jià)轉(zhuǎn)換成參考橢球參數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)歸算，從而實(shí)現(xiàn)GNSS與精密測(cè)距成果的高度融合，得到高精度工程測(cè)量控制網(wǎng)的可靠成果。

尺度比殘差；尺度比差異估計(jì)；綜合投影變形；橢球參數(shù)

短程精密測(cè)距精確度一般優(yōu)于GNSS測(cè)量精度，所以工程中常用GNSS測(cè)量與精密測(cè)距方法聯(lián)合建立工程測(cè)量控制網(wǎng)。由于受到大氣折射等因素的影響，以及大部分項(xiàng)目三維平差所引入的位置基準(zhǔn)一般采用測(cè)站單點(diǎn)定位坐標(biāo)，精度不高，這些因素在GNSS測(cè)量及數(shù)據(jù)處理環(huán)節(jié)都會(huì)導(dǎo)致尺度發(fā)生變化，對(duì)于GNSS成果反算邊長(zhǎng)與精密測(cè)距邊長(zhǎng)所存在的尺度差異，應(yīng)以精密測(cè)距邊長(zhǎng)作為尺度基準(zhǔn)，將GNSS解算邊長(zhǎng)與精密測(cè)距邊長(zhǎng)的尺度進(jìn)行統(tǒng)一。

由于高斯投影變形量是一個(gè)以至中央子午線距離為自變量的二次冪函數(shù)，其投影后的邊長(zhǎng)變形量沿橫向呈二次曲線變化，本文將地面實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)(為簡(jiǎn)化計(jì)算，地面實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)不做投影)與GNSS投影至平面的邊長(zhǎng)比值定義為尺度比，理論上尺度比應(yīng)符合二次冪函數(shù)分布特征，但由于受測(cè)量誤差的影響，并不符合以上分布特征。測(cè)距邊在空間上分布一般是不均衡的，生產(chǎn)中采用尺度比算數(shù)平均值沒有考慮到測(cè)距邊長(zhǎng)在空間分布上的不均衡對(duì)其權(quán)重的影響，在文獻(xiàn)[1]中提出加權(quán)尺度比的計(jì)算方法，對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行考慮，文中尺度比計(jì)算采用的兩組邊長(zhǎng)精度信息是可以估計(jì)的，并可據(jù)誤差傳播定律求出尺度比誤差，但文獻(xiàn)[1]中尺度比計(jì)算沒有顧及尺度比自身的精度，僅按照分布特征及其可代表的范圍進(jìn)行確權(quán)。本文參照精密測(cè)距邊長(zhǎng)確定的實(shí)測(cè)尺度比相對(duì)于理論尺度比的殘差，通過顧及測(cè)量邊長(zhǎng)空間分布及邊長(zhǎng)誤差因素的影響對(duì)尺度差異進(jìn)行估計(jì)，從而確定合理的尺度比，然后在投影層面將尺度比等價(jià)轉(zhuǎn)換成參考橢球參數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)歸算，從而實(shí)現(xiàn)GNSS解算邊長(zhǎng)與精密測(cè)距成果的高度融合，通過聯(lián)合平差，得到高精度工程測(cè)量控制網(wǎng)的可靠成果。

1　尺度比殘差分析

以高斯投影為例進(jìn)行尺度比殘差分析，其高斯投影變形部分可簡(jiǎn)化

(1)

式中:D1為邊長(zhǎng)在參考橢球面長(zhǎng)度;Ym為所選邊端點(diǎn)橫坐標(biāo)平均值;Rm系參考橢球面選定邊長(zhǎng)中點(diǎn)平均曲率半徑。

已知邊的參考橢球面邊長(zhǎng)為D1ab,其投影到高斯投影面上的邊長(zhǎng)為D2ab，在小范圍內(nèi)，可以近似認(rèn)為D1ab為平距，則計(jì)算理論尺度比Lt為

(2)

設(shè)己知GNSS控制網(wǎng)a，b兩點(diǎn)的反算邊長(zhǎng)為DGab, 精密測(cè)距平距為Dab,實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)與GNSS成果反算邊長(zhǎng)計(jì)算尺度比為

(3)

由式(2)、式(3)確定尺度比殘差，則

(4)

式中:Lir做為測(cè)量值;Lit被認(rèn)為真值。

如果測(cè)量數(shù)據(jù)不存在系統(tǒng)性偏差，則E(ΔL)=0，即ELr=Lt。

2　尺度比差異值的確定

2.1尺度比差異最小二乘線性回歸分析

考慮到參與尺度比計(jì)算的邊長(zhǎng)沿空間分布是不均衡的，尺度差異僅采用算數(shù)平均計(jì)算，并沒有考慮到測(cè)距邊長(zhǎng)在空間分布不均衡對(duì)其權(quán)重的影響，為了估算出測(cè)區(qū)尺度比殘差值，應(yīng)按照各個(gè)區(qū)域的尺度比所代表的范圍進(jìn)行定權(quán)，用橫坐標(biāo)Yi來表達(dá)測(cè)距邊長(zhǎng)的空間分布，借助線性回歸方程進(jìn)行尺度差異的分析，以測(cè)區(qū)中央部位回歸直線的數(shù)值作為最終的尺度差異結(jié)果。

由此確定殘差ΔLi與Yi的線性關(guān)系為

(5)

式中：Yi為選定邊長(zhǎng)距離中央子午線距離；Δ，ε為系數(shù)；ei為隨機(jī)誤差。

通過線性相關(guān)系數(shù)ρ判斷尺度殘差數(shù)據(jù)中是否存有異常數(shù)據(jù)，即

(6)

令

(7)

由最小二乘求解算式[2-4]，得

(8)

求解法方程組得

(9)

系數(shù)Δ為尺度差異的常數(shù)量，當(dāng)ε近似于0時(shí)，各個(gè)時(shí)段的尺度是一致的，但普遍情況下，多時(shí)段觀測(cè)受外界因素的影響而存在系統(tǒng)性的尺度差異，ε數(shù)值的大小可部分反映這種差異的量級(jí)，但不完全。

殘差值

(10)

中誤差

(11)

中誤差可反映出項(xiàng)目隨機(jī)誤差的規(guī)模。

對(duì)于存在大誤差的數(shù)據(jù)，應(yīng)采用穩(wěn)健的估計(jì)方法進(jìn)行參數(shù)解算。

2.2尺度比殘差穩(wěn)健估算方法

設(shè)GNSS測(cè)量邊長(zhǎng)誤差為σG，實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)誤差為σ，據(jù)誤差傳播率得尺度比誤差算式知

(12)

由式(12)可看出，所求尺度比精度與邊長(zhǎng)及邊長(zhǎng)測(cè)量精度相關(guān)，較大的誤差以及較短的邊長(zhǎng)均會(huì)導(dǎo)致參數(shù)解算誤差增大，對(duì)于這部分?jǐn)?shù)據(jù)有必要采用更穩(wěn)健的方法進(jìn)行估算。下邊建議兩個(gè)穩(wěn)健的估計(jì)方法，對(duì)于測(cè)距邊數(shù)量較多的項(xiàng)目采用最小二乘穩(wěn)健估計(jì)方法，對(duì)于測(cè)距邊較少的項(xiàng)目采用最小一乘估算方法，最小一乘和二乘的使用界定，以試算結(jié)果作為參考，一般建議邊長(zhǎng)少于5條，采用最小一乘方法。

最小二乘穩(wěn)健估計(jì)方法將殘差作為統(tǒng)計(jì)量，在所選定的顯著水平下，判斷其是否滿足所設(shè)定的期望，對(duì)異常數(shù)據(jù)降權(quán)或者剔除處理?？共钭钚《朔椒ㄈ缦拢?/p>

Ρ函數(shù)為ρ(u)=|u|，相應(yīng)的權(quán)因子為

(13)

(14)

現(xiàn)在討論計(jì)算中實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)較少的情況，邊長(zhǎng)較少時(shí)，最小二乘方法會(huì)放大尺度比異常偏差影響[3]，雖然穩(wěn)健估計(jì)對(duì)異常尺度差異進(jìn)行了降權(quán)或者剔除，但有時(shí)這種異常數(shù)據(jù)恰好反映某些區(qū)域的尺度信息，不應(yīng)該隨意降權(quán)或者剔除。最小一乘方法可以克服最小二乘的上述缺點(diǎn)。其要求實(shí)測(cè)點(diǎn)到回歸直線的縱向距離的絕對(duì)值之和為最小，針對(duì)小樣本，“穩(wěn)健性”好于最小二乘法。求出Δ，ε,使得不同位置的尺度差異沿y軸到直線ΔLi=Δ+εYi的偏差絕對(duì)值和最小 ,即

(15)

最小一乘線性回歸參數(shù)估計(jì)算法：

(16)

最小一乘線性回歸系數(shù)β的估計(jì)，需要了解無約束不可微最優(yōu)化問題，即

(17)

即要求超定矛盾線性方程組

(18)

的l1范數(shù)極小解。

(19)

(20)

最小一乘系數(shù)計(jì)算采用 MATLAB實(shí)現(xiàn) 。

3　基于尺度比殘差確定參考橢球參數(shù)

當(dāng)測(cè)區(qū)尺度比一致時(shí)，確定的系數(shù)ε應(yīng)該是一個(gè)很小的數(shù)值，可以忽略，所求出的Δ一般就是所求的總體尺度差異ΔL=Δ，則修正后的尺度比為

(21)

若ε較大，存在沿測(cè)區(qū)分布不一致的系統(tǒng)誤差，應(yīng)查找數(shù)據(jù)問題，如果認(rèn)為這個(gè)數(shù)值可接受，則計(jì)算測(cè)區(qū)中央回歸線偏離值，并修正到ΔL上，即

(22)

式中：YM為測(cè)區(qū)中央橫坐標(biāo)，YM=(Ymin+Ymax)/2。

為了便于尺度參數(shù)在數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換中的實(shí)現(xiàn)，將尺度差異代入抵償投影算式，Hm為基于尺度比殘差所確定的抵償投影面高程值。

(23)

橢球不同位置半徑可通過橢球參數(shù)確定。標(biāo)準(zhǔn)參考橢球面子午圈為長(zhǎng)半徑為a,短半徑為b的橢圓,設(shè)橢圓的參數(shù)方程為

(24)

則橢圓上任意點(diǎn)處的半徑為

(25)

(26)

將b=(1-α)a代入式(26)得

(27)

則工程區(qū)域選定投影面的平均地球曲率半徑rE為

(28)

保持原有的參考橢球扁率等不變，通過膨脹參考橢球長(zhǎng)軸a對(duì)高斯投影變形進(jìn)行抵償，設(shè)工程參考橢球的長(zhǎng)半軸為rE，可以建立關(guān)系式

(29)

4　結(jié)束語

為解決精密測(cè)距邊長(zhǎng)與GNSS測(cè)量尺度不一致的問題，參照精密測(cè)距邊長(zhǎng)確定實(shí)測(cè)尺度比相對(duì)理論尺度比的殘差關(guān)系，分析尺度比殘差特征，借助線性回歸方程，建立空間分布(距離中央子午線距離)與尺度差異線性回歸關(guān)系，抑制測(cè)距邊長(zhǎng)在空間上分布不均衡對(duì)尺度比計(jì)算結(jié)果的影響。對(duì)于邊長(zhǎng)過短或者誤差過大的測(cè)距邊，采用穩(wěn)健的估計(jì)方法進(jìn)行參數(shù)估算，減小測(cè)量誤差對(duì)參數(shù)估算的干擾，可較好解決測(cè)區(qū)總體GNSS與精密測(cè)距邊長(zhǎng)尺度差異問題[8-10]。為便于尺度差異參數(shù)在數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換中的實(shí)現(xiàn)，在抵償投影層面，將尺度比等價(jià)轉(zhuǎn)換成抵償投影高程面，并通過確定測(cè)區(qū)地球曲率半徑，將抵償投影高程值轉(zhuǎn)換成參考橢球參數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)歸算，實(shí)現(xiàn)GNSS測(cè)量成果與精密測(cè)距邊長(zhǎng)的高度融合。

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[責(zé)任編輯：張德福]

Robust estimation on scaling-ratio and determination of reference ellipsoid parameters

LI Zufeng

(Powerchina Xibei Engineering Corporation Limited, Xi’an 710065, China)

The precision under precision measurement with short distance is higher than that under GNSS. So generally, combining GNSS with precision measurement, this paper proposes a high precision engineering surveying control network for project. For the scale difference between the two, scale ratio is used to unify, and the key is the reasonable choice of scale ratio. Based on the residual of actual scale ratio to theory scale ratio referring to the precision measurement length, the paper establishes the linear relationship between the spatial distribution and the scale residuals, and estimates the scale difference and determined the reasonable scale ratio.Then at the projection level, the scale ratio is equivalently conversed into reference ellipsoid parameters for data imputation, so as to realize the high integration of GNSS and precision measuring results, and to receive reliable results of high precision engineering survey control network.

scaling-ratio residual; difference estimation; integrated projection deformation; ellipsoid parameter

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2016.12.001

2015-05-28

中國(guó)水電工程顧問集團(tuán)科技項(xiàng)目 (GW-KJ-2012-21)

李祖鋒(1981-)，男，高級(jí)工程師.

P221

A

1006-7949(2016)12-0001-04