倪迎鴿， 侯　赤， 萬小朋， 趙美英

(西北工業(yè)大學 航空學院，西安　710072)

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具有結構非線性的折疊機翼氣動彈性分析

倪迎鴿， 侯赤， 萬小朋， 趙美英

(西北工業(yè)大學 航空學院，西安710072)

分析了具有鉸鏈間隙的折疊機翼的非線性氣動彈性響應。首先采用模態(tài)綜合法建立了折疊機翼的結構動力學模型，其次基于偶極子非定?？諝鈩恿δＰ?，由最小狀態(tài)法有理函數近似獲得了時域下氣動力近似表達式，最后通過Runge-Kutta法獲得了時域的氣動彈性響應。分析表明：由于鉸鏈處間隙的存在改變了折疊機翼氣動彈性性能，使得結構在一定的速度范圍內產生極限環(huán)運動，但是內外鉸鏈對間隙大小的敏感程度有所不同;通過加入鉸鏈間的摩擦來改善鉸鏈間隙對氣動彈性性能的影響，計算表明摩擦能夠有效地降低振動幅值，是有益的非線性。

折疊機翼；結構非線性；非定常氣動力；有理函數近似；氣動彈性響應

折疊機翼的機身與翼面以及翼面之間通常為鉸鏈連接，不可避免地存在間隙與摩擦，改變了機翼的氣動彈性性能。LEE等[1]運用ZAERO和MSC.NASTRAN軟件，采用數值積分的方法分析了具有雙線性間隙非線性的折疊機翼的氣動彈性響應，獲得了折疊機翼產生極限環(huán)振蕩的條件。BAE等[2-3]和LEE等[4-5]結合虛質量法和描述函數法對具有操縱面的機翼結構的間隙非線性氣動彈性響應進行了分析，結果表明非線性的存在改變了機翼結構的顫振特性，在不同的速度區(qū)間會產生極限環(huán)振蕩。楊智春[6]分析了二翼段的結構非線性顫振現象，并進行實驗研究，結果表明：描述函數、數值積分等方法的計算結果與實驗相吻合。同樣，針對摩擦非線性也有不少研究[7-9]，MIGNOLET等研究表明摩擦可以作為穩(wěn)定因子，在一定條件下，可以減弱極限環(huán)運動。

但是對于間隙非線性的的氣動彈性分析均采用簡單的工程結構進行理論分析，摩擦非線性同樣也是基于二元翼模型[10]。因此對于多自由度具有間隙非線性的折疊機翼的氣動彈性分析，其重點在于如何建立多自由度非線性氣動彈性模型，以及利用非線性模型預測折疊機翼的氣動彈性現象。與線性模型相比，非線性模型的氣動彈性現象比較復雜，這給折疊機翼的強度設計也帶來了嚴重的問題。因此，即使利用非線性模型預測到折疊機翼的氣動彈性響應，如何解決折疊機翼的強度設計也是有待解決的問題。

本文基于固定界面模態(tài)綜合法，將折疊機翼的內部自由度轉換到模態(tài)空間中，界面處非線性自由度仍保留在物理空間中，結合有理函數近似得到的時域氣動力模型，建立了折疊機翼結構的間隙非線性氣動彈性表達式。在獲得間隙非線性氣動彈性現象基礎上，通過在鉸鏈處增加摩擦力矩來抑制間隙非線性對折疊機翼的氣動彈性響應的影響。

1　折疊機翼非線性氣動彈性模型的建立

圖1　折疊機翼有限元模型(圖中X代表鉸鏈所處的位置)Fig.1　Finite element model of a folding wing(x represents the position of hinges)

1.1結構模型的建立

對于具有鉸鏈間隙的折疊機翼，隨著間隙位移的變化，結構的動力學特性也發(fā)生變化。雖然間隙非線性自由度占結構總自由度的小部分，但其卻影響整個結構的動力學特性，同時相應的非定常氣動力也需要重新計算。因此在建立折疊機翼非線性模型時，本文采用模態(tài)綜合法建立結構模型，將非線性自由度即界面處通過扭轉彈簧耦合的θx自由度仍保留在物理空間。

折疊機翼的子結構無阻尼的動力學方程如下所示：

(λ=A,B,C)

(1)

式中：Mλ，Kλ分別為各個子結構質量矩陣與剛度矩陣，uλ為各個子結構的位移。fλ為子結構界面處的約束力。

為了方便模態(tài)綜合法[11-12]的應用，將各個子結構的節(jié)點位移分為內部節(jié)點位移和界面節(jié)點位移，對質量矩陣和剛度矩陣進行相應的分塊。在本文的模型中，界面處的鉸鏈是通過MPC和扭轉彈簧來模擬，所以將將界面節(jié)點位移分成了兩部分，即MPC耦合的節(jié)點位移和扭轉彈簧耦合的節(jié)點位移。以子結構A為例，其動力學方程為：

(2)

式中：i代表內部節(jié)點位移;m代表MPC耦合的節(jié)點位移;s代表扭轉彈簧耦合的節(jié)點位移。

對于子結構A進行模態(tài)分析，引入模態(tài)坐標pA以及模態(tài)矩陣φA，則：

(3)

類似地，引入模態(tài)坐標pB,pC以及模態(tài)矩陣φB,φC，對于子結構B和子結構C進行相應的模態(tài)分析。此時，整體的折疊機翼結構動力學方程可以寫成如下形式：

(4)

式中：

M=diag(φATMAφA,φBTMBφB,φCTMCφC)

K=diag(φATKAφA,φBTKBφB,φCTKCφC)

a代表子結構A與B的邊界，即內鉸鏈，b代表子結構B與C的邊界, 即外鉸鏈。

此時，p中各個分量并不獨立，對各個子結構進行綜合，消去非獨立的模態(tài)坐標便可以得到整體結構的動力學方程。值得注意的是，界面處的位移協調條件與固接的協調條件有所不同，其位移協調條件如下所示：

(5)

式中：θa，θb為各個子結構界面處扭轉角θx差值，即內鉸鏈和外鉸鏈處的廣義位移。在本文的模型中共有4組鉸鏈，(見圖1)。引入獨立模態(tài)坐標變換矩陣Π，并左乘ΠT，則獨立模態(tài)坐標下整體的動力學方程為：

(6)

式中：

此時，對于界面處MPC耦合的自由度，其約束力是作用力與反作用力，綜合之后為零；而對于界面處扭轉彈簧耦合的自由度，其非線性約束力fa，fb是鉸鏈處廣義位移的非線性函數。

1.2氣動力模型

偶極子網格法作為亞音速非定常氣動力的計算方法，不僅適用于復雜幾何形狀的升力面，而且可以考慮多翼面的相互干擾、翼身組合體等問題，因此得到了廣泛的應用。同時，對于存在間隙的這種局部非線性問題，該模型也可以準確地描述其氣動力。本文采用偶極子網格法獲得了折疊機翼的氣動力模型。此時作用在結構網格節(jié)點的等效力：

(7)

式中：ρ為空氣密度;V為速度;Q為氣動力影響系數矩陣，通常是馬赫數Ma和減縮頻率k的函數。

將結構的位移u轉換到模態(tài)坐標p時，則廣義的氣動力可以表達成：

(8)

1.3氣動彈性方程的狀態(tài)空間形式

對氣動力進行獨立模態(tài)坐標變換，得到整體的氣動彈性方程的狀態(tài)空間形式為：

(9)

圖2　間隙非線性[2]Fig.2　Freeplay nonlinearity

其表達式為：

(10)

式中：δ為間隙量；α為剛度系數。當間隙量δ=0時，則力矩變?yōu)棣鹊木€性函數。

為了建立狀態(tài)空間的氣動彈性模型，需要進行有理函數近似來獲得時域的氣動力，如Roger 法，最小狀態(tài)法等。在最小狀態(tài)法中，引入的氣動力狀態(tài)變量數目少，得到的狀態(tài)空間方程的階次較低，并且精度較高[13]。因此這里采用最小狀態(tài)法進行頻域氣動力的有理近似，引入氣動力狀態(tài)變量qa，氣動彈性方程的狀態(tài)空間的形式為：

2　討論與分析

折疊機翼的各個子結構的質量矩陣和剛度矩陣通過DMAP語言獲得。采用偶極子網格法獲得折疊機翼在頻域下的氣動力，通過最小狀態(tài)近似，獲得了氣動彈性方程在狀態(tài)空間的表達形式。采用固定界面模態(tài)綜合法時，對每個子結構均保留了6階內部振動模態(tài)，界面處通過MPC(Multi-Point Constraint)和扭轉彈簧相互耦合10個自由度，保留2個非線性自由度，得到的整體的動力學方程為46階，引入4個氣動力狀態(tài)變量之后，最終得到狀態(tài)空間的氣動彈性方程，即式(11)為96階，最后在MATLAB中采用Runge-Kutta法得到了折疊機翼時域的氣動彈性響應。

2.1模型驗證

表1　固有頻率的對比結果

對比完頻率后之后，對模態(tài)振型進行了相關計算。各階模態(tài)對應的振型對比(見圖3)。本文方法獲得的模態(tài)與MSC.NASTRAN獲得的結果基本保持一致，從而在后面的應用過程中可以得到相關節(jié)點的準確位移。

圖3　典型模態(tài)比較(左:本文方法計算結果,右: MSC.NASTRAN計算結果)Fig.3　Comparison of typical mode shapes (left: using this method; right: using MSC.NASTRAN)

在進行顫振邊界的計算時，ρ=1.226 kg/m3,Ma=0.0。將直接時域的仿真結果與MSC.NASTRAN的結果進行對比(見表2)。顫振邊界的對比結果表明：本文方法是滿足工程精度要求的。

表2　顫振邊界的對比結果

2.2間隙非線性氣動彈性分析

為了明確間隙非線性對于折疊機翼氣動彈性的影響。針對內外鉸鏈，計算了3個間隙量，分別為δ=0.02°，δ=0.2°，δ=1.0°， 對于每個間隙量又分別采用了三種剛度系數，即α=0.0，α=0.1，α=0.2，共9種非線性條件進行分析。鉸鏈處的初始廣義位移均為0.1°，獲得了折疊機翼間隙非線性氣動彈性響應。

2.2.1內鉸鏈有間隙非線性，外鉸鏈無間隙非線性

對于線性氣動彈性響應，當速度小于線性顫振速度時，線性氣動彈性系統(tǒng)表現為衰減運動；當速度大于線性顫振速度時，線性氣動彈性系統(tǒng)表現為發(fā)散運動。而間隙造成的非線性氣動彈性響應表現為極限環(huán)運動，甚至出現混沌運動，并且大多在小于線性顫振速度的情況下出現。通過計算可知，當內鉸鏈具有間隙非線性時，可以出現4種運動形式，其運動形式分布(見圖4)，此時Vf=31.95 m/s(即本文方法獲得的線性顫振速度)。

圖4　運動形式分布圖(內鉸鏈具有間隙非線性)Fig.4　Motion map of folding wing with freeplay at the inboard hinge

從圖4可知，對于δ=0.02°和δ=0.2°均可以出現4種運動形式，即阻尼穩(wěn)定運動，準周期運動(此時運動形式對初始條件敏感，如果初始值較小，運動則會收斂)，極限環(huán)運動(此時運動形式對初始條件不敏感)和發(fā)散運動；而對于δ=1.0°只出現了3種運動形式，沒有出現極限環(huán)運動，從準周期運動直接過渡到發(fā)散運動，且發(fā)散運動所對應的速度范圍明顯增大。當速度較小時，由于空氣動力的阻力作用(本文中的氣動彈性模型沒有考慮結構阻尼)，折疊機翼做阻尼穩(wěn)定運動，最后趨于平衡點；當速度較大時，系統(tǒng)的運動趨于復雜，出現了準周期運動，極限環(huán)運動以及發(fā)散運動。

2.2.2內鉸鏈無間隙非線性，外鉸鏈有間隙非線性

與內鉸鏈間隙非線性對氣動彈性影響類似，外鉸鏈具有間隙非線性時也出現了4種運動形式，其運動形式分布(見圖5)，此時Vf=31.95 m/s(即本文方法獲得的線性顫振速度)。

圖5　運動形式分布圖(外鉸鏈具有間隙非線性)Fig.5　Motion map of folding wing with freeplay at the outboard hinge

通過圖4和圖5可知,即使在間隙量很小的情況下，極限環(huán)運動也會發(fā)生；當外鉸鏈存在非線性時，阻尼穩(wěn)定運動所對應的速度范圍明顯減小，同時準周期運動所對應的速度范圍有所增大；當δ=1.0°時，在兩種非線性狀況下，均沒有出現極限環(huán)運動；隨著間隙量的增加，結構進入發(fā)散運動的速度減小；當間隙量相同時，隨著α的增加，不同運動形式所對應的速度范圍有所減小。

2.3間隙與摩擦非線性氣動彈性分析

對于折疊機翼，鉸鏈連接處不可避免地存在摩擦。在文獻[7]也已證明摩擦可以作為一個穩(wěn)定因子。因此為了減弱折疊機翼在間隙條件下產生各種非線性運動，本文能過摩擦力矩來減弱間隙非線性的影響。本文所采用文獻[10]中的摩擦非線性，其模型見圖6。

圖6　摩擦非線性[10]Fig.6　Friction nonlinearity

其表達式為：

(12)

該非線性特點為：當δ′較小時，摩擦力矩f′(θ)等于摩擦剛度Kθ′與偏轉角θ的乘積；當力矩大于f0時，摩擦剛度Kθ′為0，此時摩擦力矩保持定值。由于非線性氣動彈性運動方程中的4個獨立的非線性自由度均表達在物理空間中，所以只需要將摩擦非線性與間隙非線性進行物理疊加，便可以實現間隙與摩擦非線性氣動彈性響應分析。

以δ=0.02°，α=0.0為例，鉸鏈處的初始廣義位移均為0.1°，圖7給出了V=0.95Vf，f0=0.005 N·m，Kθ′=1 N·m/rad時的響應結果。從圖7可知，摩擦非線性能夠有效地減弱翼尖法向位移，使其從趨于發(fā)散的不穩(wěn)定運動變?yōu)橛邢薹档臉O限環(huán)運動。可以發(fā)現翼尖法向位移響應是以零位置為中心，這是由于間隙非線性和摩擦非線性均是中心對稱的，物理疊加之后仍是中心對稱。

圖7　加入摩擦非線性氣動彈性響應對比Fig.7　Comparison of aeroelastic responses between with and without friction

為了進一步明確摩擦非線性的物理參數對間隙非線性氣動彈性的影響，本文分析了初始力矩f0，摩擦剛度Kθ′對間隙非線性氣動彈性系統(tǒng)的影響(見圖8)。

圖8　摩擦非線性對間隙氣動彈性的影響Fig.8　Effects of friction on aeroelastic responses of freeplay

從圖8可知,隨著初始力矩f0的增大，翼尖法向位移幅值在減小；隨著摩擦剛度Kθ′的增大，翼尖法向位移幅值變化不大。對于圖7(a)，此時Kθ′=1 N·m/rad，隨著初始力矩f0的增大，δ′在增加，當增加到一定的程度時，初始力矩與間隙非線性引起的外力矩的作用是相反的，減弱了間隙非線性。對于圖7(b)，此時f0=0.005 N·m，隨著摩擦剛度Kθ′的增大，δ′在減小。在較小的位移范圍內，Kθ′θ是起主要作用。所以在較大的位移范圍內是初始力矩f0仍起主要作用。該現象說明：與摩擦剛度Kθ′相比，摩擦力矩對于響應幅值的降低有重要的作用。與此同時，當在外鉸鏈處的間隙非線性中加入摩擦非線性時，翼尖法向幅值始終比在內鉸鏈處的間隙非線性中加入摩擦非線性時的幅值要大?？傊?，在一定程度上，摩擦非線性能夠有效地降低振動幅值，是有益的非線性。

3　結　論

本文提出了建立多自由度非線性的折疊機翼的氣動彈性方法，并對該方法進行了準確性驗證，最后分析了具有間隙和摩擦非線性的折疊機翼的氣動彈性特性。可以得出以下結論：

(1) 結合固定界面模態(tài)綜合法與偶極子空氣動力模型，推導了一種具有多自由度非線性的氣動彈性方程。該方法適用于分析具有多自由度氣動彈性系統(tǒng)；另外，氣動力不需要重新計算，簡化了非線性氣動彈性分析過程；

(2) 對于折疊機翼存在的間隙非線性，即使在間隙量很小的情況下，極限環(huán)運動也不可避免；在某些間隙量下，不會出現明顯的極限環(huán)運動；當外鉸鏈具有間隙非線性時，其位移的幅值明顯要大于內鉸鏈具有間隙非線性時的幅值，結構振蕩加劇，對折疊機翼結構不利；

(3) 通過計算證明了摩擦可以抑制間隙非線性氣動彈性的影響。對于間隙非線性的氣動彈性響應，加入摩擦可以有效地減弱折疊機翼的間隙非線性強度；摩擦力矩對于響應幅值的降低有重要的作用，是一種有益的非線性。

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Aeroelastic analysis of a folding wing with structural nonlinearities

NI Yingge, HOU Chi, WAN Xiaopeng, ZHAO Meiying

(School of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

The nonlinear aeroelastic response of a folding wing with freeplay at hinges was investigated. The structural dynamic model of the folding wing was established based on the modal synthesis method. An approximate expression of the aerodynamic force in time domain was obtained by virtue of the minimum state rational function approximation based on a doublet lattice unsteady aerodynamic model. The aeroelastic dynamic equation was solved using the Runge-Kutta method to provide the aeroelastic response in time domain. The results show that the aeroelastic characteristics of the folding wing are changed by the freeplay at hinges, which induces the limit cycle oscillation within a certain velocity range. But the sensitivities of the inboard and outboard hinges to the freeplay are different. The addition of friction to the hinges can improve the effect of the freeplay on the aeroelastic performance. The simulations show that the friction can reduce the oscillation amplitude effectively and is a beneficial nonlinearity.

folding wing; structural nonlinearities; unsteady aerodynamic force; rational function approximation; aeroelastic response

2015-06-24修改稿收到日期：2015-08-18

倪迎鴿 女，博士生，1987年生

萬小朋 男，教授，1962年生

E-mail:wanxp@nwpu.edu.cn

V271.4

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.027