具有多面體不確定和有界擾動(dòng)的異構(gòu)混沌系統(tǒng)同步控制

張智群，孫學(xué)耕，尚偉科

(1.福建信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子工程系，福州 350003；2.中國電子科技集團(tuán)公司第38研究所預(yù)警探測研發(fā)中心，合肥230088)

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具有多面體不確定和有界擾動(dòng)的異構(gòu)混沌系統(tǒng)同步控制

張智群1，孫學(xué)耕1，尚偉科2

(1.福建信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子工程系，福州 350003；2.中國電子科技集團(tuán)公司第38研究所預(yù)警探測研發(fā)中心，合肥230088)

針對一類具有時(shí)變多面體不確定和有界擾動(dòng)的異構(gòu)混沌系統(tǒng)，研究了其自適應(yīng)同步控制問題。針對主從系統(tǒng)的異構(gòu)特性，采用輔助系統(tǒng)的方法，分別給出了主從混沌系統(tǒng)廣義同步的連續(xù)時(shí)間控制律和非連續(xù)時(shí)間控制律。作為一個(gè)特例，還給出了主從系統(tǒng)完全同步的充分條件。最后，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了結(jié)果的有效性。

多面體不確定；異構(gòu)混沌系統(tǒng)；自適應(yīng)控制同步

0　前言

自從混沌現(xiàn)象在物理學(xué)中被發(fā)現(xiàn)以來，混沌系統(tǒng)得到了廣泛的關(guān)注。而混沌同步在諸如信息科學(xué)、醫(yī)學(xué)、生物工程等各個(gè)領(lǐng)域具有其獨(dú)特的實(shí)用價(jià)值?；煦缦到y(tǒng)的同步控制問題在1990年首次得到研究[1]，自那以后便有大量的同步方法不斷被報(bào)道[2-6]。

混沌系統(tǒng)同步問題根據(jù)系統(tǒng)耦合配置的不同可以分為兩種情況[7]：自同步和主從同步。其中，混沌系統(tǒng)主從同步問題由于其在保密通信中的顯著應(yīng)用價(jià)值，在過去20多年得到了相當(dāng)多的關(guān)注[2，7-12]。因此，大量的主從同步控制方法被提出，包括反步設(shè)計(jì)、脈沖控制、不變流形方法、自適應(yīng)控制、滑?？刂频鹊萚4-5，13-21]。大多數(shù)已有工作都是考慮主從混沌系統(tǒng)具有相同系統(tǒng)結(jié)構(gòu)并且系統(tǒng)參數(shù)精確可知的情況，然而在實(shí)際系統(tǒng)中，有些參數(shù)在先前往往并非精確可知，信息傳輸過程中的外部擾動(dòng)也是不可避免的。參數(shù)不確定在實(shí)際中很容易引起系統(tǒng)震蕩、不穩(wěn)定或者導(dǎo)致系統(tǒng)性能變壞，多面體不確定被廣泛地用來描述各類系統(tǒng)中的參數(shù)不確定[22-24]。例如，用電路搭建的混沌系統(tǒng)，其中電阻等參數(shù)隨著外部環(huán)境的變化便可以嘗試用時(shí)變多面體不確定來描述。由于時(shí)變多面體不確定可能會破壞混沌系統(tǒng)在理想條件下的同步，針對具有時(shí)變多面體不確定的異構(gòu)混沌系統(tǒng)的控制同步問題目前還有待進(jìn)一步研究。另一方面，廣義同步概念包含多種不同的同步形式，例如，反同步、延遲同步、投影同步、全狀態(tài)混合投影同步，等等，因此，研究主從混沌系統(tǒng)的廣義同步更具有實(shí)用價(jià)值。受以上這些因素啟發(fā)，本文研究具有時(shí)變多面體不確定和外部擾動(dòng)的異構(gòu)混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)廣義同步控制問題。

本文的其余部分將按如下組織展開。第1節(jié)將進(jìn)行問題闡述，主要結(jié)論在第2節(jié)給出，然后在第3節(jié)用數(shù)值仿真來驗(yàn)證結(jié)論的有效性，第4節(jié)總結(jié)全文。

1　問題描述

考慮如下具有時(shí)變多面體不確定和有界噪聲的主從混沌系統(tǒng)：

(1)

式中：x，y∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)；u為從端系統(tǒng)的控制輸入；f(·)，g(·)∈C1(Rn，Rn)和F(·)，G(·)∈C1(Rn，Rn×m)都為已知的連續(xù)時(shí)間非線性函數(shù)，分別表示與系統(tǒng)參數(shù)無耦合以及與參數(shù)有耦合的系統(tǒng)非線性特性；αi，βj∈Rm為已知的系統(tǒng)參數(shù)；σi(t)，ηj(t)表示未知的時(shí)變不確定性，且滿足

式中：K，M表示多面體的頂點(diǎn)數(shù)；w1(t)，w2(t)是系統(tǒng)所受到的有界擾動(dòng)，且有|w1(t)|≤L1，|w2(t)|≤L2。

不失一般性，我們可以通過簡單的分析和變換，將上述系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成如下具有統(tǒng)一不確定性形式的主從系統(tǒng)：

(2)

本文中將以系統(tǒng)(2)為研究對象，設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器，使得主從混沌系統(tǒng)達(dá)到同步，并且設(shè)計(jì)自適應(yīng)律來確定系統(tǒng)中的未知參數(shù)。使得主從混沌系統(tǒng)達(dá)到廣義狀態(tài)同步的控制目標(biāo)，可以描述為：

(3)

式中φ(·)：Rn→Rn表示同步映射。

如果主從混沌系統(tǒng)的狀態(tài)滿足上述表達(dá)式，即稱主從混沌系統(tǒng)達(dá)到廣義同步，作為一個(gè)特例，如果φ(x)=x則稱為完全同步；如果φ(x)=-x則稱為反同步。

對于異構(gòu)主從混沌系統(tǒng)，直接設(shè)計(jì)控制器達(dá)到廣義狀態(tài)同步會比較困難。因此，我們考慮采用文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[14]中提出的輔助系統(tǒng)方法，所使用的輔助系統(tǒng)與主端系統(tǒng)具有相同的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。

(4)

式中：θi(t)為待確定的時(shí)變參數(shù)變量；v為待設(shè)計(jì)的輔助系統(tǒng)虛擬控制量。

這里的想法是，我們構(gòu)造一個(gè)上述的輔助系統(tǒng)，與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)或者響應(yīng)系統(tǒng)具有相同的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，但不具有相同的初始條件。輔助系統(tǒng)是虛擬的，但更便于分析和設(shè)計(jì)。如果響應(yīng)系統(tǒng)和輔助系統(tǒng)的同步流形達(dá)到穩(wěn)定，則結(jié)果可以表明驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到了廣義同步。

為了后續(xù)分析過程的方便，我們給出如下著名的引理。

2　主要結(jié)果

在本節(jié)當(dāng)中，我們將給出主從混沌系統(tǒng)(2)的自適應(yīng)廣義同步的充分條件，同時(shí)將分別給出連續(xù)時(shí)間形式和非連續(xù)時(shí)間形式的自適應(yīng)控制律。

(5)

(6)

式中Dφ∈Rn×n是同步映射φ(x)的雅克比矩陣。

由于混沌系統(tǒng)狀態(tài)的有界性，Dφ也是有界的。容易看出，如果e1→0，e2→0，則控制目標(biāo)(3)將得到滿足，即e→0。

2.1非連續(xù)自適應(yīng)律

定理1如果下面條件滿足，則具有時(shí)變多面體不確定和有界擾動(dòng)的主從混沌系統(tǒng)(2)是廣義狀態(tài)同步的。

(7)

(8)

(9)

其中

(10)

且k1>0，k2>0 是用來調(diào)節(jié)收斂速率的正常數(shù)。

對上式兩邊求導(dǎo)數(shù)，則有

考慮到 |w1(t)|≤L1，|w2(t)|≤L2，因此有

代入前面不等式，有

土地是財(cái)富之母，是我國農(nóng)村人口的重要財(cái)富來源與財(cái)富象征；同時(shí)，土地是重要的生產(chǎn)和生活資料。貴州省山多地少，可以利用的土地資源稀缺，因此，充分利用好土地資源，通過政策、工程手段、科學(xué)技術(shù)等發(fā)揮其潛在價(jià)值，對于貴州省實(shí)施精準(zhǔn)扶貧，幫助農(nóng)村地區(qū)貧困人口擺脫貧困，走可持續(xù)發(fā)展的致富之路具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)價(jià)值。

代入自適應(yīng)律(9)，且注意到 0≤ξi(t)，αi(t)≤1，我們有如下不等式：

其中V(0)是V(t)的初始值。因此e1，e2∈L2，因?yàn)閂(0)是有限的。

根據(jù)引理Barbalat’s lemma，我們?nèi)菀椎玫絜1→0，e2→0，當(dāng)t→∞，且‖e‖≤‖e1‖+‖e2‖→0。因此，誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，或者說具有時(shí)變多面體不確定和有界擾動(dòng)的主從混沌系統(tǒng)(2)是漸近廣義同步的。

2.2連續(xù)自適應(yīng)律

一個(gè)非連續(xù)的自適應(yīng)律在工程實(shí)現(xiàn)中可能會帶來麻煩，比如頻繁的切換，因此在下文我們將針對主從混沌系統(tǒng)的廣義狀態(tài)同步給出一個(gè)連續(xù)的自適應(yīng)律。

定理2對于具有時(shí)變多面體不確定和有界擾動(dòng)的異構(gòu)混沌系統(tǒng)(2)，如果下述條件滿足，則主從系統(tǒng)將達(dá)到同步控制目標(biāo)(3)。

(11)

(12)

自適應(yīng)律θi(t)將按下式更新

(13)

證明：選定如下Lyapunov函數(shù)

考慮|w1(t)|≤L1，|w2(t)|≤L2，因此

由式(13)，我們有

定理證畢。

2.3完全狀態(tài)同步控制律設(shè)計(jì)

作為一個(gè)特例，我們將直接給出系統(tǒng)(2)完全狀態(tài)同步的相關(guān)結(jié)果，證明過程將被省略。

推論1具有時(shí)變多面體不確定和有界擾動(dòng)的異構(gòu)混沌系統(tǒng)(2)將達(dá)到完全狀態(tài)同步，如果滿足如下條件：

(15)

(16)

且θi(t)由下式?jīng)Q定

(17)

其中k1，k2是用來調(diào)節(jié)收斂速率的正常數(shù)。

推論2具有時(shí)變多面體不確定和有界擾動(dòng)的異構(gòu)混沌系統(tǒng)(2)將達(dá)到完全狀態(tài)同步，如果滿足如下條件：

(18)

(19)

且自適應(yīng)律θi(t)按下式更新

(20)

其中k1，k2是用來調(diào)節(jié)收斂速率的正常數(shù)。

3　數(shù)值仿真

本節(jié)我們將分別給出完全狀態(tài)同步和投影同步的數(shù)值仿真算例來驗(yàn)證所提同步策略的有效性。為了不失一般性，推論1用來設(shè)計(jì)控制律使得異構(gòu)的主從混沌系統(tǒng)達(dá)到完全狀態(tài)同步；定理2用來設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制律達(dá)到廣義狀態(tài)同步。

考慮Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)

圖1　Lorenz混沌系統(tǒng)的吸引子

圖2　Chen混沌系統(tǒng)的吸引子

考慮系統(tǒng)中的不確定參數(shù)和傳輸信道中的有界擾動(dòng)，我們將主從系統(tǒng)按(2)的形式重寫如下：

以及輔助系統(tǒng)

3.1完全狀態(tài)同步

取k1=50，k2=50。數(shù)值仿真結(jié)果如圖3～圖5所示。誤差曲線漸近收斂。

圖和x之間的完全狀態(tài)同步誤差

圖和y之間的完全狀態(tài)同步誤差

圖5　y和x之間的完全狀態(tài)同步誤差

3.2廣義同步

取k1=10，k2=10，m=80，且有φ(x)=(x1，-x2，x2x3)T，則

自適應(yīng)律θi(t)按下式更新

其中初始值取θ1(0)=0.3，θ2(0)=0.7。數(shù)值仿真結(jié)果如圖6～8所示，結(jié)果表明所提同步方法是有效的。

圖和x之間的廣義狀態(tài)同步誤差

圖和y之間的廣義狀態(tài)同步誤差

圖8　y和x之間的廣義狀態(tài)同步誤差

4　結(jié)語

通過使用輔助系統(tǒng)的方法，本文研究了具有時(shí)變多面體不確定和有界擾動(dòng)的異構(gòu)主從混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)廣義同步控制。分別給出了非連續(xù)自適應(yīng)律和連續(xù)自適應(yīng)律兩種方案。作為特例，文中還給出了完全狀態(tài)同步的相關(guān)條件。數(shù)值仿真算例的結(jié)果表明，所提同步策略是有效的。

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The Synchronization Control for Different Chaotic Systems with Polytopic Uncertainty and Bounded Noise

ZHANG Zhi-qun，etc.

(DepartmentofElectronicEngineering，F(xiàn)ujianPolytechnicofInformationTechnology，F(xiàn)uzhou350003，China)

The topic on adaptive synchronization control for different chaotic systems with time-varying polytopic uncertainty and bounded noise is investigated.For the heterogeneous feature in master-slave system，by using auxiliary system method，the general synchronization continuous-time control laws and non-continuous time control laws have been given in master-slave chaotic systems.As a special case，the sufficient conditions for complete synchronization in master-slave system are also given in this paper.Finally，the effectiveness of the obtained are verified by numerical simulation results.

polytopic uncertainty；heterogeneous chaotic systems；adaptive control synchronization

10.3969/j.issn.1009-8984.2016.03.024

2016-05-23

張智群(1969-)，男(漢)，吉林松原，講師，碩士

主要研究電路與系統(tǒng)。

TP273

A

1009-8984(2016)03-0105-06