帶有延遲的無限服務(wù)臺(tái)（DIS）的逼近

莊苗苗++楊雯++劉建民

[摘 要]本文給出了研究模型的一種新方法，將其分解成兩個(gè)無限服務(wù)臺(tái)（IS）設(shè)施的串聯(lián)來進(jìn)行模型逼近，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，得到研究模型的相關(guān)性能指標(biāo)。

[關(guān)鍵詞]無限服務(wù)臺(tái) 串聯(lián) 性能指標(biāo)

中圖分類號(hào)：TN916.8+2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-914X（2016）19-0330-02

我們探討如何將IS模型用到一種新的研究方法中。以前用模型[1]代替模型，即可忽略顧客的放棄過程?，F(xiàn)在給定一種新的研究方法，將該模型表示為兩個(gè)IS設(shè)施的串聯(lián)：

其中和對(duì)每個(gè)均是相互獨(dú)立的泊松隨機(jī)變量；三個(gè)流出過程是泊松過程。

假設(shè)每個(gè)到達(dá)后未放棄的顧客在進(jìn)入服務(wù)前的等待時(shí)間是.為了實(shí)現(xiàn)逼近過程中的假設(shè)條件，設(shè)定等待空間無限，要求外來顧客先進(jìn)入等待空間且在經(jīng)過了固定時(shí)間后才可進(jìn)入服務(wù)設(shè)施接受服務(wù)。（這種假設(shè)實(shí)現(xiàn)于逼近過程而非實(shí)際系統(tǒng)中。）然而在等待空間中，顧客可以選擇放棄而非進(jìn)入服務(wù)設(shè)施接受服務(wù)，這種現(xiàn)象稱為顧客的流失。如同初始模型，假設(shè)連續(xù)到達(dá)顧客的放棄時(shí)間是i.i.d.的隨機(jī)變量且累計(jì)分布函數(shù)為.由此產(chǎn)生的模型是近似的DIS模型。

DIS模型帶有參數(shù)，顧客進(jìn)入系統(tǒng)后，若顧客沒有中途放棄，則顧客必須在等待時(shí)間后才可進(jìn)入服務(wù)設(shè)施接受服務(wù)。這個(gè)假設(shè)實(shí)現(xiàn)的前提是服務(wù)設(shè)施中有無限個(gè)服務(wù)臺(tái)。假定在時(shí)刻系統(tǒng)是空的，在時(shí)刻讓第一個(gè)到達(dá)的顧客進(jìn)入服務(wù)設(shè)施接受服務(wù)。因此，對(duì)于時(shí)刻，顧客以速率進(jìn)入服務(wù)設(shè)施，其中是到達(dá)率函數(shù)，.

因此所有到達(dá)后中途未放棄的顧客在接受服務(wù)前必須等待時(shí)間，顧客的放棄概率是.因此，我們可以最初指定目標(biāo)放棄概率或目標(biāo)延遲.如果是連續(xù)的，對(duì)于任一給定的，恒有成立。如果是嚴(yán)格遞增的，則.假設(shè)函數(shù)是連續(xù)且嚴(yán)格遞增的。故在DIS模型中用參數(shù)或是刻畫均可。

對(duì)圖1中的DIS模型逼近過程中的各項(xiàng)指標(biāo)作詳細(xì)描述，規(guī)定目標(biāo)等待時(shí)間為，初始模型為，到達(dá)率函數(shù)為，服務(wù)時(shí)間的累計(jì)分布函數(shù)是而放棄時(shí)間的累積分布函數(shù)是.定義和分別是服務(wù)時(shí)間和放棄時(shí)間的隨機(jī)變量；即，對(duì)于，有和.假定.（不需假定，因在我們的逼近過程中顧客的放棄只發(fā)生在時(shí)刻之前。）因是連續(xù)的，且在處無點(diǎn)集，即，因此，在隊(duì)列中等待時(shí)間后的顧客行為是沒有歧義的。

這個(gè)逼近模型可看成兩個(gè)隊(duì)列[2]的串聯(lián)。等待空間的到達(dá)率函數(shù)是且服務(wù)時(shí)間是，但對(duì)于服務(wù)設(shè)施而言，其到達(dá)率函數(shù)是，其中，，且服務(wù)時(shí)間的累積分布函數(shù)是.定義是截?cái)嚯S機(jī)變量的累積分布函數(shù)，即

在處有點(diǎn)概率集，因.

假設(shè)系統(tǒng)開始運(yùn)行的時(shí)刻是，且滿足到達(dá)系統(tǒng)后未放棄的顧客在等待時(shí)間后才進(jìn)入服務(wù)。如果要求在0時(shí)刻系統(tǒng)是空的，則可設(shè)定對(duì)于所有的有.

我們將到達(dá)過程分解成兩個(gè)相互獨(dú)立的泊松過程，一個(gè)的統(tǒng)計(jì)對(duì)象是最終被服務(wù)的顧客，另一個(gè)的統(tǒng)計(jì)對(duì)象是最終放棄的顧客。每個(gè)顧客最終被服務(wù)的概率是。我們通過進(jìn)一步修正這兩個(gè)泊松過程可得到顧客進(jìn)入服務(wù)的計(jì)數(shù)過程和顧客放棄服務(wù)的計(jì)數(shù)過程。（這兩個(gè)計(jì)數(shù)過程也是相互獨(dú)立的泊松過程。）每一個(gè)過程均可用隊(duì)列的離開過程來描述。對(duì)顧客進(jìn)入服務(wù)的計(jì)數(shù)過程而言，顧客的服務(wù)時(shí)間是常數(shù)；對(duì)顧客放棄服務(wù)的計(jì)數(shù)過程而言，顧客的服務(wù)時(shí)間是.通過這種構(gòu)造，證明顧客進(jìn)入服務(wù)設(shè)施的過程是速率為的非齊次泊松過程。

表示時(shí)刻隊(duì)列中顧客放棄前的剩余時(shí)間大于的顧客數(shù)，表示時(shí)刻隊(duì)列中的顧客總數(shù)。隨機(jī)變量的刻畫詳見圖2.平面內(nèi)的點(diǎn)表示顧客在時(shí)刻到達(dá)且放棄時(shí)間為.在時(shí)間段的即為圖中的陰影區(qū)域。假設(shè)所有放棄時(shí)間大于的顧客均可被服務(wù)，在時(shí)刻前到達(dá)且放棄時(shí)間大于的顧客均可在時(shí)刻前進(jìn)入服務(wù)設(shè)施。

表示時(shí)刻服務(wù)設(shè)施中顧客的剩余服務(wù)時(shí)間大于的顧客數(shù)，表示時(shí)刻服務(wù)設(shè)施中的顧客總數(shù)。表示時(shí)刻系統(tǒng)中的顧客總數(shù)。是時(shí)刻的潛在等待時(shí)間，即在時(shí)刻到達(dá)且有無限耐心的顧客在進(jìn)入服務(wù)前的虛等待時(shí)間。

對(duì)于這種逼近，我們總結(jié)如下：隨機(jī)變量非負(fù)，，其累積分布函數(shù)是，表示剩余時(shí)間的累計(jì)分布函數(shù)為的隨機(jī)變量，定義

的矩可用的矩來表示，具體如下：

和是模型參數(shù)為的函數(shù)，.

定理 上述對(duì)于模型[3]的DIS逼近，假設(shè)開始時(shí)刻，延遲參數(shù)，放棄概率.此逼近使得依概率為1成立，對(duì)于所有的到達(dá)顧客的放棄概率為.此外，和對(duì)于任一均是相互獨(dú)立的泊松隨機(jī)變量且對(duì)于每一個(gè)都有，均值為

和分別是時(shí)刻隊(duì)列和服務(wù)中的顧客總數(shù)，它們是相互獨(dú)立的泊松隨機(jī)變量，均值為

其中，是隨機(jī)服務(wù)時(shí)間。

因此，，即時(shí)刻系統(tǒng)中的顧客總數(shù)，是一個(gè)泊松隨機(jī)變量，均值為.顧客的放棄過程（放棄率為）和顧客進(jìn)入服務(wù)的過程（服務(wù)率為）是兩個(gè)相互獨(dú)立的泊松過程，其中

顧客離開過程（完成服務(wù)的顧客總數(shù)）也是一個(gè)泊松過程，顧客離開率為

參考文獻(xiàn)：

[1]Eick，S.G.，W.A.Massey，W.Whitt.1993a.The physics of the queue.Oper.Res.41 731-742.

[2]Eick，S.G.，W.A.Massey，W.Whitt.19993b.queue with sinusoidal arrival rates.Management Sci.39 241-252.

[3]Liu，Y.，W.Whitt.2012a.The many-server fluid queue.Queueing Systems 71 405-444.