賀勤斌

（臺州學(xué)院　數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江　臨海　317000）

關(guān)于微積分極限思想的具體教學(xué)探討

賀勤斌

（臺州學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江臨海317000）

極限理論是微積分的基礎(chǔ)。極限概念在微積分中占有極其重要的地位和作用，該思想貫穿整個微積分的始終。微積分極限概念教學(xué)是非常重要的。學(xué)生對極限部分實質(zhì)掌握，影響隨后的其它概念和理論的掌握與理解。極限理論也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點，對該部分的教學(xué)探討有助于學(xué)生掌握極限理論培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。

微積分；極限；導(dǎo)數(shù)

大學(xué)高等數(shù)學(xué)即微積分主要由二部分組成，即微分學(xué)和積分學(xué)。同時，微分部分也是積分部分的基礎(chǔ)，而微分的核心思想就是極限理論。因此，極限在微積分中占有極其重要的地位和作用［1］。在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，新生一開始就會遇到極限的理論、定義。極限的定義有三種情況，即數(shù)列極限的ε-N定義、函數(shù)極限的ε-X定義和ε-δ定義。新生初次接觸這些概念往往一頭霧水，在學(xué)習(xí)以及教學(xué)上也造成一定壓力?？紤]到非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生只強調(diào)應(yīng)用性、計算性，而不強調(diào)理論性，因此老師在極限的教學(xué)上就面臨二種處理，一種處理是極限部分的教學(xué)一筆帶過，而另一種處理就是花大量的時間認真仔細介紹該理論。而當(dāng)今微積分教學(xué)中，大部分的教師處理該部分的方法就是第一種方法，即一筆帶過。而該部分的教學(xué)是一筆帶過，還是需要花時間認真介紹呢？這在教學(xué)上引起了一些討論。結(jié)合本人多年的大學(xué)微積分教學(xué)經(jīng)驗，我認為對極限部分的理論教學(xué)應(yīng)該認真講解，而不該是一筆帶過。我們知道數(shù)學(xué)是一門具有嚴謹邏輯性的科學(xué)，所有的知識都是環(huán)環(huán)相扣、緊密聯(lián)系的，對該理論一筆帶過的教學(xué)會對其后的一系列理論教學(xué)和學(xué)習(xí)造成大量的問題。

下面談?wù)剬O限部分的教學(xué)思想和方法。

1　歷史介紹增加興趣

極限的樸素思想和應(yīng)用可追溯到古代哲學(xué)名著《莊子》中“截杖問題”以及我國3世紀的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”。在17世紀，由于科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展促使數(shù)學(xué)家們研究變量的無窮小量。17世紀后半葉，牛頓和萊布尼茨在前人研究的基礎(chǔ)上，分別獨立地建立了微積分學(xué)，給出了極限的初步概念。雖然，當(dāng)時微積分給數(shù)學(xué)界帶來了革命性變化，在各個科學(xué)領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用，但是由于當(dāng)時不嚴謹?shù)臉O限思想也引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第二次危機［2］。后來，19世紀由法國數(shù)學(xué)家柯西、德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯等建立嚴密的極限理論，使得微積分這門學(xué)科才得以嚴密化［3-4］。

微積分作為一種數(shù)學(xué)工具，也是其它相應(yīng)學(xué)科的基礎(chǔ)，因此對于微積分的教學(xué)往往安排在新生的第一個學(xué)期。作為微積分的基礎(chǔ)——極限的教學(xué)，就有必要詳細深入介紹，使學(xué)生了解極限產(chǎn)生的歷史、產(chǎn)生的原因以及極限思想的發(fā)展過程。在這一部分的教學(xué)可以適當(dāng)增加一些數(shù)學(xué)史，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2　循序漸進引出定義

對于極限的教學(xué)要循序漸進，首先從數(shù)列的極限入手創(chuàng)建教學(xué)情境。例如，使學(xué)生通過直觀觀察數(shù)列的變化趨勢：

很明顯，同學(xué)們觀察得出上述數(shù)列（1－4）當(dāng) n→∞時，分別有，這些結(jié)果是正確的。但是，絕大部分同學(xué)對數(shù)列（5）會得到不正確結(jié)果：.直觀在數(shù)學(xué)的發(fā)展和創(chuàng)造中有著積極的角色，但數(shù)學(xué)絕對不能停留在直觀的認識階段。數(shù)學(xué)中僅憑直觀甚至?xí)贸鑫ｋU的錯誤結(jié)論。必須指出數(shù)列（5）的極限為因此，也教育了學(xué)生必須認識到將憑借直觀產(chǎn)生的定性描述轉(zhuǎn)化為用規(guī)范化的數(shù)學(xué)語言表達數(shù)學(xué)問題的定量描述的重要性。通過上面的分析，從而也自然引出了數(shù)列極限的ε-N定義。

3　對比引導(dǎo)加深概念

數(shù)列 xn≈ ≈極限的ε-N定義有著準(zhǔn)確的、完美的、精練的數(shù)學(xué)表達，即：Aε＞0，E N，當(dāng)n＞N時，成立，則稱數(shù)列 xn≈ ≈極限為a，記作

對于數(shù)列 xn≈ ≈極限有必要對于學(xué)生進行教學(xué)引導(dǎo)。比如，分析數(shù)列ε-N定義的原因與提法，引導(dǎo)學(xué)生自己對極限的理解，提出學(xué)生自己的極限定義，從而對比數(shù)列ε-N定義，找出不足，加深對數(shù)列ε-N定義的理解。

相對數(shù)列極限，由于函數(shù)f（x）的自變量有二種變化趨勢，即x→∞和x→x0，所以函數(shù)的極限有兩種情況，即ε-X定義和ε-δ定義。而函數(shù)ε-X定義完全類似于數(shù)列 xn≈ ≈極限，通過理解與對比學(xué)生自己完全可以得出該定義：，E X，當(dāng)x＞X時，成立，，則稱函數(shù)f（x）當(dāng)x→+∞時的極限為A，記作.同時，也自然也得出x→-∞以及x→∞時的函數(shù)極限情況。因此，函數(shù)極限的教學(xué)順序安排也是重要的，一個好的順序安排就會使學(xué)生學(xué)習(xí)有一個自然過渡，更好掌握與理解相關(guān)概念。當(dāng)然也適當(dāng)解釋給出函數(shù)另一種情況極限—函數(shù)ε-δ定義：當(dāng)δ時，成立，則稱函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0時的極限為A，記作

4　圖解解釋加深理解

圖解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法，可以從根本上提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解力，徹底搞清楚抽象的數(shù)學(xué)概念、定理和公式，讓深奧的數(shù)學(xué)知識變得通俗易懂，喚起學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。在具體的極限教學(xué)過程，不論是數(shù)列極限的ε-N定義還是函數(shù)極限的ε-X定義和ε-δ定義，圖解解釋是必要的。

圖1　數(shù)列極限的ε-N定義圖解　

圖2　函數(shù)極限的ε-δ定義圖解

對于數(shù)列極限的ε-N定義可以用圖1加以說明，指出該定義實質(zhì)就是給定任意小的量ε，能不能找一個N，使得數(shù)列xn在N項之后全部落在圖1的陰影帶域中。對于函數(shù)ε-δ定義同樣有必要圖解分析，一方面詳細解釋x→x0時的函數(shù)變化趨勢，說明函數(shù)極限與函數(shù)f（x）在x0的定義無關(guān)；另一方面解釋該定義的實質(zhì)是給定任意小的量ε，能不能找一個量δ（>0），使得在x0的去心鄰域U（x0，δ）內(nèi)f（x）圖像全部落在圖2的陰影帶域中。

通過接合圖解教學(xué)可以使學(xué)生完全掌握這種抽象的極限數(shù)學(xué)定義，從而為以后進一步深入學(xué)習(xí)微積分其它知識打下扎實基礎(chǔ)。

5　總結(jié)

極限概念教學(xué)是非常重要的，一個好的開端會得到一個好的結(jié)果，而往往這個極限部分學(xué)生沒有實質(zhì)掌握，而影響隨后的其它概念和理論的掌握與理解，使得學(xué)生的微積分學(xué)習(xí)變成了背公式解題目。微積分教學(xué)與學(xué)習(xí)絕對不是背公式。微積分的相關(guān)概念前后緊密聯(lián)系、環(huán)環(huán)相扣的。只有從本質(zhì)上理解掌握極限概念才能使學(xué)生對隨后的其它知識有更進一步的理解，從而對微積分學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣。

［1］王 庚．?dāng)?shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育［M］.北京：科學(xué)出版社，2004.

［2］霍華德·伊夫斯.數(shù)學(xué)史概論［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2013.

［3］張國楚，徐本順，王立冬，等.大學(xué)文科數(shù)學(xué)［M］.（2版）.北京：高等教育出版社，2007.

［4］同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.（7版）.北京：高等教育出版社，2014.

［5］劉玉璉，傅沛仁．?dāng)?shù)學(xué)分析講義［M］.（3版）.北京：高等教育出版社，1992.

Discussion on Lim it Thought in Calculus Teaching

HE Qinbin
（School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,China）

Lim it theory is the basis of calculus.The concept of lim it thought has a very im portant position and role in the calculus,and the thought has always been penetrated throughout the calculus.It is very im portant of the lim it teaching in calculus.The virtual mastering of lim it theory w ill affect students to further understand other subsequent concepts and theories of calculus.The lim it theory is also a difficult point for students.The discussion on teaching lim it thought w ill help students to catch the lim it theory and develop mathematical thought.

calculus;lim it;derivative

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2016.03.013

（責(zé)任編輯：耿繼祥）

2015-12-13；

賀勤斌（1972－）,男,浙江臺州人，副教授,研究方向:非線性動力系統(tǒng)。