基于單相dq變換與改進PRONY算法的牽引網低頻振蕩檢測方法

（1.中國電力科學研究院，北京100192；2.北京交通大學電氣工程學院，北京100044）

（1.中國電力科學研究院，北京100192；2.北京交通大學電氣工程學院，北京100044）

牽引供電系統(tǒng)中的電氣低頻振蕩現象會引發(fā)機車牽引變流器封鎖，從而造成大面積發(fā)車延誤.為解決這一問題，本文通過大量實測數據分析，給出了振蕩時網壓和網流的數學描述，并結合簡單的車網電氣模型簡要闡明了網壓低頻振蕩發(fā)生機制.根據牽引網單相供電的特點，提出使用網壓信dq分解得到的d軸分量作為低頻振蕩的表征信號和檢測對象，設計了以改進PRONY算法為基礎的辨識低頻振蕩主導模式的檢測方法.利用低頻振蕩案例中的實測數據對該檢測方法進行驗證，結果表明：本文設計的檢測方法可以在1.4 s內對頻率小于30 Hz、幅值大于0.01網壓標幺值的低頻振蕩進行識別、計算出振蕩主導模式并發(fā)出告警信號.

牽引網；低頻振蕩；單相dq變換；改進PRONY算法

電力系統(tǒng)發(fā)生的低頻振蕩現象［1］以往很少出現在單相供電的牽引網中.由于新型交直交傳動動車組與電力機車（下文統(tǒng)一簡稱機車）陸續(xù)投入使用，最近幾年我國電氣化鐵道牽引供電系統(tǒng)中多次出現牽引網電壓低頻振蕩現象：在同一供電區(qū)段內空載整備的某種型號機車超過一定臨界數目時，牽引網電壓出現低頻振蕩，此時該型號機車會發(fā)生因牽引封鎖而無法正常開出的狀況.這種車網低頻振蕩多次造成列車發(fā)車延誤，影響了鐵路運輸秩序.事實上這種現象不僅在我國單相50 Hz、25 kV供電制式牽引網中發(fā)生，國外的單相16.7 Hz、15 kV與單相25 Hz、11 kV供電制式牽引網都曾發(fā)生過類似的問題［2］.針對牽引供電系統(tǒng)發(fā)生的車網低頻振蕩現象，有必要對電壓、電流的振蕩模式進行分析，提出有效的檢測方法，以便在車上或變電所中采取針對性的技術對策.

低頻振蕩的辨識方法有多種，例如FFT分析、小波分析等［3］.FFT算法辨識出的頻率精度受數據窗的限制，例如，大秦線湖東機務段HXD1電力機車引發(fā)的低頻振蕩頻率是3～4 Hz之間的非整數頻率，如果振蕩頻率檢測精度要達到0.01 Hz則需要100 s的數據窗，FFT算法無法實現實時快速檢測.小波分析在低頻部分有較高的頻率分辨能力，不過小波分析的結果是一個頻段而非明確的頻率點，并且小波函數也很難統(tǒng)一構造.PRONY算法則用指數函數的線性組合來擬合實測數據，既可以獲得準確的振蕩頻率，又不需要很長時間的數據窗，并且可以描述振蕩信號是處于過阻尼狀態(tài)、欠阻尼狀態(tài)還是一個相對穩(wěn)定的振蕩狀態(tài)，在電力系統(tǒng)低頻振蕩辨識中已得到廣泛應用［4］.本文的目的是結合牽引網低頻振蕩的特點，對已有的PRONY算法進行針對性的改進，設計出適用的檢測方法.

在第1節(jié)中，基于大量實測數據給出了牽引網低頻振蕩時網壓、網流信號的統(tǒng)一數學描述，并簡要闡述了牽引網低頻振蕩的發(fā)生機制.在第2節(jié)中，對網壓信號使用單相dq變換技術［5-6］分解出d軸分量，提出將其作為低頻振蕩的表征信號.在第3節(jié)中，基于單相dq變換和改進PRONY算法設計出低頻振蕩的檢測方法.在第4節(jié)中，以發(fā)生在青島動車所和湖東機務段的兩次低頻振蕩現象為例，利用現場測試數據驗證了該方法的有效性.

1 牽引網低頻振蕩特征分析

1.1 電氣模型

與電力系統(tǒng)低頻振蕩的負阻尼機理［1］不同，國內發(fā)生的牽引網低頻振蕩與發(fā)電機的勵磁繞組和機械阻尼都沒有直接關系，牽引網作為電力系統(tǒng)的一個終端配電網，在分析低頻振蕩時可以在饋線口處將牽引變電所及高壓電力系統(tǒng)等值為理想無窮大電壓源和阻抗相串聯(lián)的戴維南等效電路［7-8］.使用最簡化的集中阻抗參數模型描述牽引網，因為低頻振蕩現象不涉及高次諧波，牽引網分布電容影響可以忽略.

圖1為含多臺機車的牽引供電系統(tǒng)簡化電氣模型，圖中：ug代表理想電壓源；u為機車處牽引網電壓（網壓）；i是電源供出的總電流（總網流）；i1、i2是機車1和2分別取用的電流（網流）；L為高壓電力系統(tǒng)的系統(tǒng)電感、牽引變電所變壓器漏感和牽引網集中參數模型中的電感之和；R為3者的電阻之和（遠小于電抗，通常在計算中可以忽略）.

圖1 低頻振蕩電氣模型Fig.1 Electrical model used in low-frequency oscillation analysis

1.2 網壓和網流的數學描述

振蕩頻率是車網低頻振蕩的重要參數，表1總結了國內近幾年發(fā)生的低頻振蕩案例［7，9］，根據實測網壓和網流數據，分別給出了振蕩頻率fl.

通過對大量低頻振蕩網壓和網流實測數據的分析及擬合驗證，得出發(fā)生低頻振蕩時網壓的統(tǒng)一數學描述為

網流的統(tǒng)一數學描述為

兩式中均不包括由PWM控制引起的整數次諧波（不影響低頻振蕩分析，不在本文探討范圍之內）.進一步分析表明，式（1）、（2）中（f0+fl）分量和（f0-fl）分量的幅值大小一般不同，往往差別較大甚至其一為0，而式（2）中fl分量幅值一般很小或者為0.附錄A列出了表1中序號1和3案例中的低頻振蕩網壓、網流某時刻的數學表達式.

可以看出，網壓和網流信號中基波頻率附近的間諧波是使二者波形出現振蕩的主要原因.若不考慮幅值較小的低頻fl分量，振蕩波形中基波頻率左右兩側間諧波的頻率關于基波頻率對稱，并且距離恰好都為fl，這可以理解為對基波幅值進行頻率為fl的不對稱調制.這也是把發(fā)生在牽引供電系統(tǒng)中的這種車網低頻率共振現象稱作低頻振蕩的原因.

表1 牽引網低頻振蕩Tab.1 Low-frequency oscillations in traction power supply systems

1.3 網壓低頻振蕩產生機制

初步研究表明，車網低頻振蕩現象一般發(fā)生在電源阻抗較大時，同一供電區(qū)段有多臺同型號機車同時升弓帶電（空載）的條件下，這時，由于交直交機車網側整流器控制參數與電源阻抗的匹配不當，使得機車網流i1除工頻外，還產生了如式（2）所示的（f0+fl）分量、（f0-fl）分量及fl分量.機車產生該間諧波分量的詳細機理［8］不在本文的討論范圍內.

網流i1流經牽引網阻抗時，會形成牽引網壓降.發(fā)生的低頻振蕩實際案例表明，同一區(qū)段的機車在發(fā)生低頻振蕩時，網流是同步的，并且在穩(wěn)定振蕩時不同機車吸取的電流瞬時值基本相等（見附錄B）.振蕩的網流會導致網壓振蕩，多臺機車網流的疊加會導致網壓的較大幅度振蕩，反過來又進一步影響網流，最終呈現相對穩(wěn)定的較大幅值的網壓、網流振蕩.

由圖1可知，忽略電阻時，由多臺機車網流造成的牽引網總壓降為

式中：nl為機車數.

機車處網壓可以通過理想電源電壓與總壓降的差表示

由式（2）、（3）可知，Δu應包含4個頻率分量，但因為Il和fl相對于其他分量較小，所以Δu中可以忽略fl分量.這樣u僅含3個頻率分量，與式（1）中通過實測數據總結出的網壓統(tǒng)一表達式相符.

2 牽引網低頻振蕩表征信號

選取呈現0.2～3.0 Hz波動的三相有功功率或功角曲線進行低頻振蕩模式分析.而對于作為獨特配電網的牽引供電系統(tǒng)而言，不存在功角概念，并且由于單相供電，瞬時功率也存在顯著的2倍工頻振蕩分量，無法直接找到一個能表征低頻振蕩特征的可測電氣量.

單相dq軸控制技術已經廣泛應用在單相整流器中［6-7］.主要思路是以網壓為參考量（α軸），并虛擬出一個滯后參考量90°的分量（β軸），然后采用三相系統(tǒng)中的派克變換將兩相靜止坐標系下的α、β分量轉換為同步旋轉坐標系下的dq軸分量，這樣d軸分量就代表網壓的工頻幅值，見圖2，其中ω0= 2πf0，T=1/f0，e-sT/4表示延時1/4工頻周期.

圖2 單相dq變換Fig.2 Single-phase dq transformation

在發(fā)生低頻振蕩時，盡管網壓含有非工頻分量，但其幅值與工頻分量幅值相比差一個數量級，所以網壓信號的過零點與無振蕩時很接近，故單相鎖相環(huán)輸出sin（ω0t）和cos（ω0t）可以視為幅值為1、頻率為f0的參考正、余弦波.

由式（1）和圖2可以計算出，發(fā)生低頻振蕩時網壓經過單相dq變換后，其d軸分量的近似表達式為

式中：ud為工頻幅值U0的直流分量與頻率為fl的低頻交流分量之和；Ul和δl分別為兩個非工頻分量幅值和相位的合成，

從式（6）和（7）中可以看出，該交流分量的幅值和相位包含了網壓u中的全部非工頻分量的信息，其幅值表示低頻振蕩發(fā)生的劇烈程度，頻率即為前文中定義的低頻振蕩頻率fl，故ud可以作為牽引網低頻振蕩的表征信號用于檢測.

3 牽引網低頻振蕩檢測方法

3.1 PRONY算法原理

在PRONY算法中，信號ud的樣點序列ud［n］由多個具有不同幅值、相位、衰減因子、頻率的指數函數的線性組合［n］來近似描述，

式中：Am為幅值；θm為相位；αm為衰減因子；fm為頻率；Δt為采樣間隔；N為數據窗長；p為模型階數.

經過推導［10］，序列ud［n］與估［n］的誤差可表示為自回歸-滑動平均模型（ARMA（p，p）），并具有相同的AR參數和MA參數.PRONY算法采用最小二乘法進行參數估計，首先構造二階樣本矩R，其元素r表示為

然后解線性方程組：

解得向量A，其中a1，…，ap為ARMA（p，p）模型中的AR參數，則A定義為AR參數向量.通過解以a1，…，ap為常系數的線性齊次差分方程的根得到zm［10］，對照式（9）可得到αm和fm.再由

3.2 檢測流程

PRONY算法在辨識實際含噪聲信號時會受噪聲影響導致計算量增大和精度降低［11］，而PRONY模型中階數p的選擇也會對辨識準確性產生影響［11］.文獻［12］提出的通過數據預處理與定階算法改進PRONY算法很好地控制了計算量與計算精度，故本文基于改進PRONY算法設計檢測流程.

PRONY算法一般在采樣頻率固定的情況下，數據窗長度越大其參數預測的精度就越高.一般至少要包括2個以上完整的波動周期［12］，我國目前出現的牽引網低頻振蕩的頻率在3.0～7.5 Hz之間，經過對大量實測數據的試驗，使用1 s的時間窗可以較為準確地檢測出振蕩頻率.

由第2節(jié)的分析可知，表征信號ud來自牽引網的網壓信號u，該信號可以取自機車上的網壓傳感器，也可以取自牽引變電所的母線電壓互感器.信號經過有限沖擊響應數字濾波器（FIRDF）后通過單相軟件鎖相環(huán)［13］（SPLL）進行dq變換得到網壓d軸信號ud；然后根據選擇的數據窗長建立二階樣本矩R；對R用奇異值分解（SVD）算法定階后采用總體二乘法（TLS）計算PRONY模型中的自回歸（AR）參數，并進一步求解出PRONY模型中的剩余全部參數；最后根據低頻振蕩的合理頻率與幅值范圍篩選出低頻振蕩主導模式并同時輸出振蕩頻率與判斷信號.整體檢測程序流程如圖3所示.

圖3 低頻振蕩檢測流程圖Fig.3 Low-frequency oscillation detection flowchart

（1）數據預處理

因為網壓信號u中包含工頻頻率非整數倍的分量，所以為了數字濾波后的信號中工頻相位不變，并且其他頻率分量能保持可以預計的相位關系，本文采用異步采樣并使用第一類線性相位關系［14］濾波器.設濾波前的原始信號的采樣序列為u［n］，則濾波后的序列uα［n］滿足［15］：

式中：M為濾波器階數；bk為第（n-k）個原始信號對應的濾波器系數.濾波后不同頻率分量的相移關系滿足［14］：

式中：fs為采樣頻率.

經多次試驗發(fā)現低于10 kHz的采樣頻率將會導致表征信號ud的抽樣序列有較大的失真，進而導致PRONY算法無法正確辨識出振蕩模式，故本文取fs=10 kHz.本文使用布萊克曼窗設計濾波器系數，為使工頻無相移并且保證網壓信號的各頻率分量濾波后的幅值基本無變化，階數M取401，系數bk使用Matlab中的fdatool數字濾波器設計工具箱計算，并設置FIR DF實現結構為直接Ⅰ型［14］.

為了實現單相dq變換，uα［n］作為α軸分量，由于（M-1）為兩個工頻周期的采樣點總數，滯后α軸分量1/4工頻周期的β軸分量uβ［n］為

由式（15）可以看出，β軸分量可由α軸分量進行序列延遲后得到.通過SPLL輸出相位序列θ［n］，查表得到參考正余弦信號，再通過派克變換得到dq軸信號，如圖4所示.

圖4 數據預處理流程圖Fig.4 Data preprocessing flowchart

在SPLL中，PI調節(jié)器（比例系數51，積分系數64.56）與積分器是先運用雙線性變換把二者在s域的傳遞函數變換到z域，再將z域傳遞函數表示的差分方程轉為輸入輸出數字信號的關系表達式［13］，本文因為篇幅關系對此不再詳述.值得注意的是，當電網頻率波動時（假設波動范圍為49～ 51 Hz），由于濾波器和延時環(huán)節(jié)參數都是在標準頻率50 Hz下設置的定值，所以派克變換得出的ud會出現誤差.經仿真發(fā)現，當電網頻率為49 Hz時，ud中的fl分量出現最大幅值誤差1.1%，這不會對檢測產生明顯影響.但此時ud中會含有幅值達到fl分量29.7%、頻率為98 Hz的間諧波分量，需要在后續(xù)頻率篩選環(huán)節(jié)中去掉.

由式（5）可知，ud的有效交流分量是頻率fl的低頻分量，辨識其準確頻率無需采樣頻率為10 kHz的序列.根據香農采樣定理，采樣頻率要大于信號最高頻率的2倍，本文在留有一定頻率裕度的情況下選用100 Hz的采樣頻率，即采用0.01 s的0階保持器降低原輸出序列頻率，得到待檢測的離散序列ud［n］.

（2）生成二階樣本矩R

先對數據去直流（減去平均值）處理，為盡量保留全部信息，模型階數p先取最大值pe=N/2（采用1 s數據窗長時N=100）.故R的階數為（pe+1），其元素已在式（10）中定義.

（3）定階

盡管經過濾波處理，信號ud中仍然帶有噪聲，導致PRONY算法會計算出個數多于p的振蕩模式，所以需要定階算法計算階數p，以保證計算結果中只含有實際振蕩模式.

本文采用基于奇異值分解（SVD）的歸一化比值法來確定階數p.確定有效階數p實質上是確定R的有效秩［16］.故對矩陣R進行SVD，得到

式中：U為pe階酉矩陣；V為（pe+1）階酉矩陣；VH為V的轉置共軛矩陣；Σ為（pe+1）階矩陣，其類對角線上元素Σ（i，i）為從大到小排列的矩陣R的奇異值σi，而其余元素全為0.

由于噪聲空間的存在，R的秩大于p，甚至為滿秩pe，所以需要形成一個新矩陣來近似代替R：

式中：Σp為Σ前p個奇異值不變其余均置0的近似.顯然p取值越大，Rp越逼近R.定義為

式中：R為R的秩.i由1向R逐漸靠近的過程中，Dσi漸漸減小，由于奇異值反應了各個分量在動態(tài)過程中所起的作用大小［16］，所以很自然地舍棄起作用小的分量（噪聲）.即設定一個閾值Dt，經試驗本文取0.001，當Dσp＜Dt時得到模型階數p.

（4）計算AR參數

本文采用奇異值分解總體二乘法SVD-TLS方法求解AR參數向量A，可解得［17］

（5）計算PRONY模型參數

已知AR參數后，PRONY模型參數Am、θm、αm和fm可由3.1節(jié)介紹的方法求出.

（6）主導模式篩選

由式（5）可知，對于牽引網的低頻振蕩，主導模式數往往等于1，即只有一種型號的機車引發(fā)低頻振蕩（不過不排除今后出現多種機車引發(fā)低頻振蕩的現象發(fā)生）.然而通過實際計算可知，經過上述5個步驟計算出PRONY模型還是有些幅值很小或者衰減很快的非主導模式分量需要被篩減，根據大量實測數據試驗，并考慮電網頻率波動產生的影響，本文設定篩選的頻率范圍為1～30 Hz，幅值大于0.01（基準幅值為35 355 V的標幺值）可以有效地篩選出牽引網低頻振蕩主導振蕩模式.

根據篩選后的結果，檢測程序設置如果未篩選到符合條件的主導振蕩模式，則檢測程序輸出振蕩判斷信號0，反之則輸出1，并將振蕩頻率同時輸出.

4 實例驗證

4.1 青島動車所低頻振蕩（例1）分析結果

在CRH5型動車組上測得的1 s長的網壓數據經過數據預處理后，得到uα與ud如圖5所示，可以看出ud曲線為uα曲線的包絡線，可以很好地表示網壓低頻振蕩的特征.

圖5 例1 uα和ud（標幺值）Fig.5 uα（p.u.）and ud（p.u.）in case 1

對實際的ud曲線與使用改進PRONY算法擬合的曲線對比如圖6所示，二者的接近程度用相關系數γ為

圖6 例1 ud交流分量（標幺值）Fig.6 AC component of ud（p.u.）in case 1

計算時取1 s的時間窗長（N=100）算得相關系數γ=98.67%，說明了本文算法的擬合精度達到要求.辨識出的振蕩模式結果見表2.

表2 例1主導振蕩模式Tab.2 Dominant oscillation pattern in case 1

4.2 湖東機務段振蕩（例2）分析結果

在HXD1型電力機車上測得的1 s長的網壓數據經過數據預處理后，得到uα與ud如圖7所示.從圖7中可以看出，例2中ud也很好地表征了低頻振蕩.

用改進PRONY算法擬合的ud曲線和實際曲線相關系數γ=99.82%，二者對比見圖8.辨識出的振蕩模式結果見表3.

表3 例2主導振蕩模式Tab.3 Dominant oscillation pattern in case 2

4.3 檢測程序運行結果

本文根據第3節(jié)介紹的檢測方法在Matlab平臺上用m語言編寫了檢測程序，并使用了一段取自車上網壓傳感器的實測數據驗證檢測程序的實時運行效果.試驗數據來自例1，取10 s網壓出現振蕩后平穩(wěn)，又再次振蕩的過程，程序運行結果見圖9.

圖7 例2 uα和ud（標幺值）Fig.7 uα（p.u.）and ud（p.u.）in case 2

圖8 例2 ud交流分量（標幺值）Fig.8 AC component of ud（p.u.）in case 2

圖9 檢測程序實時運行結果Fig.9 Real-time simulation result of detection procedure

因為單相dq變換一開始需要很小的一段緩沖數據來構造uβ的緣故，圖9中的ud曲線在0.1 s左右的沖擊值后到達正常.從圖9中可以看出由于數據窗為1 s的長度，再加上數據傳輸過程中設置的數據重疊等因素，振蕩判斷信號相比實際振蕩有1.4 s的滯后.而振蕩頻率信號也由于開始需要緩沖數據來構造uβ，所以第一次頻率輸出不準，1.4 s后恢復到5 Hz左右的實際振蕩頻率.

5 結 論

（1）牽引網低頻振蕩發(fā)生時，網流的數學表達式除了含有工頻f0分量，還含有非工頻的（f0+fl）分量和（f0-fl）分量，二者幅值不等，同時還可能含有一個低頻fl分量.振蕩的網流流經牽引網時產生壓降，故振蕩的網壓中所含有的非工頻分量是由網流和牽引網阻抗決定的.低頻振蕩發(fā)生時，網壓波形表現為一個低頻信號對正常工頻波形進行不對稱調制.

（2）網壓信號經過單相dq變換后的d軸分量ud為網壓瞬時值的包絡線，當發(fā)生低頻振蕩時，ud中產生的交流分量完全由振蕩網壓中的非工頻分量決定，可以作為低頻振蕩的表征信號.

（3）改進PRONY算法可用于ud交流分量的檢測，其結果可以準確地表示牽引網低頻振蕩的主導振蕩模式.

（4）按本文方法設計的檢測程序可以有效地檢測出網壓低頻振蕩的發(fā)生和停止.該程序可以安裝在機車上或變電所中，對網壓實時監(jiān)測，以便在檢測到低頻振蕩時，對機車的調度運行提供信息支持.

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附錄A

表A1 網壓、網流數學描述Tab.A1 Mathematic description of line voltage and current

附錄B

基于單相dq變換與改進PRONY算法的牽引網低頻振蕩檢測方法

王 暉1，2， 吳命利2， 李文鋒1， 王官宏1， 李 瑩1， 陶向宇1

Detection Method of Low-Frequency Oscillation in Traction Power Supply System Based on Single-Phase dq Transformation and Improved PRONY Algorithm

WANG Hui1，2， WU Mingli2， LI Wenfeng1， WANG Guanhong1， LI Ying1， TAO Xiangyu1
（1.China Electric Power Research Institute，Beijing 100192，China；2.School of Electrical Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China）

Electrical low-frequency oscillation in traction power supply systems causes vehicle traction system shutdown，which results in severe service delay.The mathematical descriptions of the oscillated voltage and current were presented based on the analysis of a large amount of measured data.The line voltage oscillation mechanism was also explained in a brief way through a simple electrical model representing the traction power supply system and locomotives.Considering the features of the singlephase power supply，the d-axis component of the line voltage was obtained by a single-phase dq transformation，and chosen as the characteristic signal and the detection object.Then，a detection method was designed based on the improved PRONY algorithm to identify the dominant pattern of lowfrequency oscillation.The detection method was verified by the measured data from actual lowfrequency oscillation cases.The results show that the designed detection method can identify the lowfrequency oscillation with the frequency lower than 30Hz，magnitude over 0.01（p.u.），and calculate the dominant oscillation pattern and send out an alarm signal.

book=879,ebook=68

traction power supply system；low-frequency oscillation；single-phase dq transformation；improved PRONY algorithm

0258-2724（2016）05-0878-08

10.3969/j.issn.0258-2724.2016.05.009

TM935

A

2014-11-04

鐵路總公司科研計劃重點課題資助項目（2015J008-F）

王暉（1985—），男，博士，研究方向為牽引網低頻振蕩機理及抑制、電力電子化電網超、次同步振蕩機理及抑制，E-mail：09117353@bjtu.edu.cn

吳命利（1971—），男，教授，博士生導師，研究方向為電氣化鐵道供電及城市軌道交通供電，電磁暫態(tài)計算與電力系統(tǒng)數字仿真，電能質量測試、評估與治理，E-mail：mlwu@bjtu.edu.cn

王暉，吳命利，李文鋒，等.基于單相dq變換與改進PRONY算法的牽引網低頻振蕩檢測方法［J］.西南交通大學學報，2016，51（5）：878-885.

表B1 總網流與單車網流幅值的對比Tab.B1 Comparison of total line current amplitude and a single one A

（中文編輯：徐 萍 英文編輯：周 堯）