苗　菲， 劉之松

(天津財(cái)經(jīng)大學(xué) 珠江學(xué)院 統(tǒng)計(jì)系，天津 301830)

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定時(shí)截尾Weibull分布最小后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)的Bayes分析

苗菲， 劉之松

(天津財(cái)經(jīng)大學(xué) 珠江學(xué)院 統(tǒng)計(jì)系，天津 301830)

基于定時(shí)截尾試驗(yàn)，依照Bayes決策理論，充分利用產(chǎn)品的先驗(yàn)信息，結(jié)合損失函數(shù)對(duì)典型的壽命分布—Weibull分布最小后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)的Bayes分析進(jìn)行研究討論.在實(shí)際應(yīng)用上，解決這類(lèi)問(wèn)題可在產(chǎn)品的壽命試驗(yàn)以及可靠性檢驗(yàn)試驗(yàn)中，達(dá)到節(jié)省時(shí)間，節(jié)省費(fèi)用和減少損失的目的.

Bayes分析；壽命分布；最小后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)；壽命試驗(yàn)；定時(shí)截尾；Weibull分布

Weibull分布，又稱韋伯分布或威布爾分布，是可靠性分析和壽命檢驗(yàn)的理論基礎(chǔ).在可靠性工程中被廣泛應(yīng)用，尤其適用于機(jī)電類(lèi)產(chǎn)品的磨損累計(jì)失效的分布形式，并且它的分布參數(shù)可以利用概率值很容易地推斷出，因此被廣泛應(yīng)用于各種壽命試驗(yàn)的檢驗(yàn).

在定時(shí)截尾試驗(yàn)場(chǎng)合，Sirvance(1984)給出了Weibull分布參數(shù)的矩估計(jì)，并證明了此矩估計(jì)具有相合性.但是對(duì)于Weibull分布定時(shí)截尾下的Bayes分析，國(guó)內(nèi)還未見(jiàn)相關(guān)文章.

1　最小后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則

先驗(yàn)信息和抽樣信息都用的決策問(wèn)題成為Bayes決策問(wèn)題，在這里包括了參數(shù)空間Θ，決策空間A.損失函數(shù)表示為L(zhǎng)(ai，wj)(i=1,2,…,k；j=1,2,…,c),其中L(ai，wj)表示當(dāng)參數(shù)為wj時(shí)，決策者采取行動(dòng)ai所引起的損失.

首先,在Bayes決策問(wèn)題中很容易獲得后驗(yàn)分布，假如已知隨機(jī)變量X的先驗(yàn)概率P(wj)及其條件概率密度P(x|wj),根據(jù)Bayes公式，其后驗(yàn)概率為：

其次,對(duì)于給定的Bayes決策問(wèn)題中A={a(x)}是其決策函數(shù)類(lèi)，則稱：

為決策函數(shù)a=a(x)的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn).

假如在決策函數(shù)類(lèi)A中存在這樣的決策函數(shù)a=ai(x)，它在A中具有最小的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)即：

則稱ai(x)為后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則下的最優(yōu)決策函數(shù)，或稱Bayes決策函數(shù)或Bayes解.

2　先驗(yàn)信息

設(shè)兩個(gè)總體分別為G0和G1，服從參數(shù)為(m0,η)和(m1,η)的截尾Weibull分布，并且m0

總體與樣本X均服從截尾Weibull分布,即

為了節(jié)省試驗(yàn)的時(shí)間，降低試驗(yàn)的費(fèi)用，在這里我們對(duì)樣本進(jìn)行定時(shí)截尾試驗(yàn)，設(shè)定時(shí)截尾時(shí)間為t,(t>0).

3　總體判別的Bayes解

對(duì)于上述判別問(wèn)題，由于P(m=m0)=π0；P(m=m1)=π1,根據(jù)Bayes公式可直接得到：

當(dāng)x

當(dāng)x≥t時(shí)，由Bayes公式事件形式可得

(1)當(dāng)x

R(δ=0|x)=E[L(m,0)]=C1P(m=m1|x)=

R(δ=1|x)=E[L(m,0)]=C0P(m=m0|x)=

設(shè)判別函數(shù)為g(x)=R(δ=0|x)-R(δ=1|x)

(2)在x≥t時(shí),試驗(yàn)在t處停止,x為截尾數(shù)據(jù),此時(shí)采取決策δ的風(fēng)險(xiǎn)為：

設(shè)判別函數(shù)為g(t)=R(δ=1|t)-R(δ=0|t)

定理2分兩種情況考慮

第一種：t>η時(shí)

第二種：t<η時(shí)

[1]張俐杰，楊景平.一類(lèi)判別分析問(wèn)題的Bayes解[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，36(3)：96-101

[2]魏立力.幾何分布時(shí)間序貫檢驗(yàn)的貝葉斯推斷[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2010，22(1)：39-43.

[3]姜禮平,張國(guó)清.截尾正態(tài)分布的最小后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)的Bayes推斷[J].運(yùn)籌與管,2005,2(1)：22-25.

[4]李建軍,朱寧.定時(shí)截尾指數(shù)分布的Bayes推斷[J].河南師范大學(xué)學(xué)報(bào),2006,11(4)：101-104.

[5]張仁達(dá).截尾分布與截尾樣本的統(tǒng)計(jì)分析[J].運(yùn)籌與管理,2010，6(2)：27-30.

[責(zé)任編輯王新奇]

Bayes Analysis of the Minimum Posterior Risk ofWeibull Distribution under Type-I Censoring Sample

MIAO Fei, LIU Zhi-song

(Department of Statistics, the Pearl River College, Tianjin University of Finance and Economics, Tianjin 301830, China)

In this paper, based on the fix time censored test, according to the Bayes decision theory, Bayes analysis on the typical life distribution and the minimum posterior risk of Weibull distribution under Type-I censoring sample is carried out by making full use of the prior information of the product and combining with the loss function. In practical application, this kind of problem can be solved in the life test and reliability test of products, which can save time, save cost and reduce the loss.

Bayes analysis; life distribution; the minimum posterior risk; life test; fixed time censoring; Weibull distribution

1008-5564(2016)03-0001-04

2015-11-25

苗菲(1983—)，女，吉林通化人，天津財(cái)經(jīng)大學(xué)珠江學(xué)院統(tǒng)計(jì)系講師，碩士，主要從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究.

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